第11講 三角形內(nèi)角和

第11講三角形內(nèi)角和一、第11講三角形內(nèi)角和（練習(xí)題部分）1.計算10邊形的內(nèi)角和及外角和．2.已知四邊形的一個內(nèi)角是56°，第二個內(nèi)角是它的2倍，第三個內(nèi)角比第二個內(nèi)角小10°．求第四個內(nèi)角的大?。?.如圖，∠A=80°，∠ABC的平分線和∠ACB的外角平分線相交于D，求∠D的大?。?.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大?。?/p>

5.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大?。?.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大?。?.如圖，一條直線分別交△ABC的邊及延長線于D、E、F．∠A=20°，∠CED=100°，∠ADF=35°．求∠B的大?。?.如圖所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．求證：∠DBC=

∠A．

9.如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD交AD的延長線于E，求證：∠ABE<∠ACB．

10.如圖所示，△ABC的∠C的外角平分線與BA的延長線相交于D．求證：∠BAC>∠B．11.如圖，AB、CD相交于E，CF、BF分別為∠ACD和∠ABD的平分線，它們相交于F．求證：∠F=

(A+D)．

12.如圖，P為△ABC內(nèi)的一點．求證：∠BPC>∠A

13.一個五邊形，它的第一個內(nèi)角比第二個內(nèi)角小20°，第二個內(nèi)角比第三個內(nèi)角小20°，…，第四個內(nèi)角比第五個內(nèi)角小20°．求它的第三個內(nèi)角.14.△ABC的三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C滿足以下條件：3∠A>5∠B，3∠C≤2∠B．

（1）試找出兩組符合條件的∠A、∠B、∠C的度數(shù)；

（2）滿足條件的三角形是什么三角形?為什么?

答案解析部分一、第11講三角形內(nèi)角和（練習(xí)題部分）1.【答案】解：∵多邊形的內(nèi)角和為：（n-2）×180°，

∴10邊形的內(nèi)角和為：（10-2）×180°=1440°，

又∵多邊形的外角和為360°，

∴10邊形的外角和為360°.【解析】【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式：（n-2）×180°，將n=10代入計算即可；再由多邊形的外角和為360°可得10邊形的外角和也為360°.2.【答案】解：設(shè)第四個內(nèi)角為x，

∵四邊形的一個內(nèi)角是56°，第二個內(nèi)角是它的2倍，第三個內(nèi)角比第二個內(nèi)角小10°，

∴第二個內(nèi)角：56°×2=112°，

第三個內(nèi)角：112°-10°=102°，

又∵四邊形的內(nèi)角和為360°，

∴56°+112°+102°+x=360°，

∴x=90°.

答：第四個內(nèi)角的大小為90°.【解析】【分析】設(shè)第四個內(nèi)角為x，已知第一個內(nèi)角為56°，根據(jù)題意分別表示第二個內(nèi)角為112°，第三個內(nèi)角為102°，再由四邊形的內(nèi)角和為360°，列出方程，解之即可得出答案.3.【答案】解：如圖，

∵AD平分∠ABC，CD平分∠ACE，

∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ACE，

∵∠ACE是△ABC的一個外角，

∴∠ACE=∠A+∠ABC，

即2∠4=∠A+2∠1，①

又∵∠4是△DBC的一個外角，

∴∠4=∠1+∠D，②

聯(lián)立①②可得：∠D=∠A，

∵∠A=80°，

∴∠D=∠A=×80°=40°.【解析】【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ACE，再由三角形外角性質(zhì)得∠4=∠1+∠D；∠ACE=∠A+∠ABC，聯(lián)立可求得∠D度數(shù).4.【答案】解：連結(jié)BC，

在△EFD中，∠E+∠D+∠EFD=180°，

在△BFC中，∠1+∠2+∠BFC=180°，

∵∠EFD=∠BFC，

∴∠E+∠D=∠1+∠2，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，

=∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2，

=∠A+∠ABC+∠ACB，

=180°.【解析】【分析】連結(jié)BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠E+∠D+∠EFD=∠1+∠2+∠BFC=180°，由對頂角相等可得∠E+∠D=∠1+∠2，從而將∠E、∠D轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出答案.5.【答案】解：如圖：

∵∠1是△AFG的一個外角，

∴∠1=∠2+∠A，

又∵∠2是△CFE的一個外角，

∴∠2=∠C+∠E，

在△BDG中，

∵∠B+∠D+∠1=180°，

∴∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°，【解析】【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠1=∠2+∠A①，∠2=∠C+∠E②；在△BDG中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠B+∠D+∠1=180°，將①②兩式代入即可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).6.【答案】解：連結(jié)AD，如圖，

在△EFG中，∠E+∠F+∠EGF=180°，

在△ADG中，∠1+∠2+∠AGD=180°，

∵∠EGF=∠AGD，

∴∠E+∠F=∠1+∠2，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，

=∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠1+∠2，

=∠BAD+∠B+∠C+∠CDA，

=360°.

【解析】【分析】連結(jié)AD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠E+∠F+∠EGF=∠1+∠2+∠AGD=180°，由對頂角相等可得∠E+∠F=∠1+∠2，從而將∠E、∠F轉(zhuǎn)化到同一個四邊形中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°即可得出答案.7.【答案】解：∵∠BFD是△ADF的一個外角，

∴∠BFD=∠A+∠ADF，

又∵∠A=20°，∠ADF=35°，

∴∠BFD=20°+35°=55°，

∵∠CED=100°，

∴∠BEF=100°，

在△BEF中，∠BEF+∠BFD+∠B=180°，

∴∠B=180°-100°-55°=25°，【解析】【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠BFD=55°，再由對頂角相等得∠BEF=100°，在△BEF中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠B度數(shù).8.【答案】解：在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=180°，

∵∠ABC=∠C，

∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=90°-∠A，

又∵BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

∴∠DBC+∠C=90°，

即∠DBC=90°-∠C，

=90°-（90°-∠A），

=∠A.【解析】【分析】在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合已知條件得∠ABC=∠C=90°-∠A，再△DBC中，根據(jù)垂直定義知∠BDC=90°，由三角形內(nèi)角和定理可知∠DBC+∠C=90°，兩式聯(lián)立計算即可得證.9.【答案】解：延長AC、BE交于點F，如圖,

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠2，

又∵CE⊥AD，

∴∠AEB=∠AEF=90°，

在△AEF中，∠F=180°-(∠2+∠AEF)，

在△AEB中，∠ABE=180°-(∠1+∠AEB)，

∴

∠ABE=∠AFE，

∵

∠ACB是△BCF的一個外角，

∴∠ACB=∠CBF+∠F=∠CBF+∠ABE>∠ABE，

即∠ABE＜∠ACB.【解析】【分析】延長AC、BE交于點F，如圖：根據(jù)角平分線性質(zhì)得∠1=∠2，由垂直的定義知∠AEB=∠AEF=90°，在△AEF和△AEB中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠ABE=∠AFE，再由三角形外角性質(zhì)即可得證.10.【答案】解：如圖，

∵CD平分∠ACE，

∴∠1=∠2，

∵∠2是△BDC的一個外角，

∴∠2=∠B+∠D＞∠B，

即∠1＞∠B，

又∵∠BAC是△ADC的一個外角，

∴∠BAC=∠1+∠D＞∠1，

∴∠BAC＞∠B.【解析】【分析】根據(jù)角平分線定義可知∠1=∠2，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可知∠2=∠1＞∠B，∠BAC＞∠1，等量代換即可得證.11.【答案】解：如圖，

∵CF、BF分別為∠ACD和∠ABD的平分線，

∴∠1=∠2=∠ACE，∠3=∠4=∠DBE，

在△AMC中，∠1+∠A+∠AMC=180°，

在△BMF中，∠3+∠F+∠FMB=180°，

∴∠1+∠A=∠3+∠F，①

在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC=180°，

在△DBE中，∠D+∠DBE+∠DEB=180°，

∴∠A+∠ACE=∠D+∠DBE，

即∠A+2∠1=∠D+2∠3，②

①×2-②得：

∠A=2∠F-∠D，

∴∠F=（∠A+∠D）.【解析】【分析】根據(jù)角平分線定義得∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形內(nèi)角和定理得∠1+∠A=∠3+∠F，①∠A+2∠1=∠D+2∠3，②聯(lián)立即可得證.12.【答案】解：如圖：延長BP交AC于點E，

∵∠BPC是△CPE的一個外角，

∴∠BPC=∠PEC+∠PCE，

又∵∠PEC是△AEB的外角，

∴∠PEC=∠A+∠ABE，

∴∠BPC=∠A+∠ABE+∠PCE＞∠A．【解析】【分析】如圖，延長BP交AC于點E，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得：∠BPC=∠PEC+∠PCE，∠PEC=∠A+∠ABE，代入即可得∠BPC＞∠A．13.【答案】解：設(shè)第一個內(nèi)角為x，依題可得其他四個內(nèi)角依次為：

x+20°，x+20°+20°，x+20°+20°+20°，x+20°+20°+20°+20°，

∵五邊形內(nèi)角和為：（5-2）×180°=540°，

∴x+x+20°+x+20°+20°+x+20°+20°+20°+x+20°+20°+20°+20°=540°，

解得：x=68°，

∴它的第三個內(nèi)角為：x+20°+20°=68°+20°+20°=108°.【解析】【分析】設(shè)第一個內(nèi)角為x，根據(jù)題意依次表示出其他四個內(nèi)角x+20°，x+20°+20°，x+20°+20°+20°，x+20°+20°+20°+20°，再由多邊形的內(nèi)角和公式可得五邊形內(nèi)角和為540°，列出方程解出x值，從而可求得第三個內(nèi)角度數(shù).14.【答案】（1）解：設(shè)3∠A=5∠B，3∠C=2∠B，

∴∠A=∠B，∠C=∠B，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B+∠B+∠B=180°，

∴∠B=54°，

∵3∠A＞5∠B，3∠C≤2∠B，

∴∠A＞90°，∠C≤36°，

∴兩組符合條件的∠A、∠B、∠C的度數(shù)為：100°，50°，30°；120°，40°，20°.

（2）解：∵3∠A＞5∠B，3∠C≤2∠B，

∴∠B＜∠A，①∠C≤∠B，②

即∠B＜∠A，

∴∠C＜∠A，③

①+③得：∠B+∠C＜∠A，

∵∠A+∠B+∠C=180