2024秋高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2.1綜合法與分析法學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-2.2.1綜合法與分析法自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入夏天，在日本東京的新宿區(qū)的一幢公寓內(nèi)，發(fā)生了一宗兇殺案，時間是下午4時左右．警方經(jīng)過三天的深化調(diào)查后，最終拘捕到一個與案件有關(guān)的疑犯，但是他向警方做不在現(xiàn)場證明時，說：“警察先生，事發(fā)當(dāng)天，我一個人在箱根游玩．直至下午4時左右，我到蘆之湖劃船．當(dāng)時適值雨后天晴，我看到富士山旁西面的天空上，橫掛著一條漂亮的彩虹，所以兇手是別人，不是我！”你知道疑犯的話露出了什么馬腳嗎？警方是怎樣證明他在說謊的呢？新知導(dǎo)學(xué)1.綜合法的定義利用__已知條件__和某些數(shù)學(xué)__定義__、__公理__、__定理__等，經(jīng)過一系列的__推理論證__，最終推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫作綜合法．2．綜合法的特點從“已知”看“__可知__”，逐步推向“__未知__”，其逐步推理，是由__因__導(dǎo)__果__，事實上是找尋“已知”的__必要__條件．3．綜合法的基本思路用__P__表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，__Q__表示所要證明的結(jié)論，則綜合法的推理形式為eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)其邏輯依據(jù)是三段論式演繹推理．4．分析法定義從要證明的__結(jié)論__動身，逐步尋求使它成立的__充分__條件，直至最終，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)，這種證明方法叫做分析法．5．分析法的特點分析法是綜合法的逆過程，即從“未知”看“__需知__”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“__已知__”，其逐步推理，事實上是要找尋“結(jié)論”的__充分__條件．分析法的推理過程也屬于演繹推理，每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理．6．分析法的基本思路分析法的基本思路是“執(zhí)果索因”，從待證結(jié)論或需求問題動身，一步一步地探究下去，最終得到一個明顯成立的條件．若用__P__表示要證明的結(jié)論，則分析法的推理形式為eq\x(P?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個明顯成立的條件)預(yù)習(xí)自測1．(2024·煙臺期中)分析法是從要證的結(jié)論動身，尋求使它成立的(A)A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[解析]∵分析法是逆向逐步找這個結(jié)論成立須要具備的充分條件；∴分析法是從要證的結(jié)論動身，尋求使它成立的充分條件．故選A．2．(2024·桃城區(qū)校級期中)下列表述：①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分析法是間接證明法；⑤分析法是逆推法．其中正確的語句是(C)A．2個 B．3個C．4個 D．5個[解析]依據(jù)綜合法的定義可得，綜合法是執(zhí)因?qū)Чǎ琼樛品?，故①②正確．依據(jù)分析法的定義可得，分析法是執(zhí)果索因法，是干脆證法，是逆推法，故③⑤正確，④不正確．故選C．3．設(shè)a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值為__9__.[解析]∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)＋eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時等號成立．4．設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab[證明]因為a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab＝3a2(a－b)＋2b2(b－a＝(3a2－2b2)(a－b即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?用綜合法證明不等式典例1(1)若a>b>0，則下列不等式中，總成立的是(A)A．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C．a(chǎn)＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)(2)在不等式“a2＋b2≥2ab”的證明中：因為a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0.所以a2＋b2≥2ab.該證明用的方法是__綜合法__.(3)已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1.求證：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).[解析](1)因為a>b>0，所以eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，所以a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a).(2)由題設(shè)知：本題中證明是從已知的不等式(a＋b)2≥0動身，經(jīng)過推理得出結(jié)論，是綜合法．(3)因為a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.于是(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋c2)，所以a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2＝eq\f(1,3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號，原式得證．『規(guī)律總結(jié)』綜合法證明不等式的主要依據(jù)綜合法證明不等式所依靠的主要是不等式的基本性質(zhì)和已知的重要不等式，其中常用的有以下幾個：①a2≥0(a∈R)；②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其變形有a2＋b2≥2ab，(eq\f(a＋b,2))2≥ab，a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)；③若a，b∈(0，＋∞)，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，特殊地，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(a，b，c∈R)，由不等式a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，易得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca⑤(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，體現(xiàn)了a＋b＋c，a2＋b2＋c2與ab＋bc＋ac這三個式子之間的關(guān)系．┃┃跟蹤練習(xí)1__■在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知A＝eq\f(π,4)，bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a.求證：B－C＝eq\f(π,2).[證明]由bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a，應(yīng)用正弦定理，得sinBsin(eq\f(π,4)＋C)－sinCsin(eq\f(π,4)＋B)＝sinA，sinB(eq\f(\r(2),2)sinC＋eq\f(\r(2),2)cosC)－sinC(eq\f(\r(2),2)sinB＋eq\f(\r(2),2)cosB)＝eq\f(\r(2),2).整理得sinBcosC－cosBsinC＝1.即sin(B－C)＝1.由于0<B，C<eq\f(3π,4)，從而B－C＝eq\f(π,2).命題方向?分析法的應(yīng)用典例2設(shè)a、b為實數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．[證明]當(dāng)a＋b≤0時，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．當(dāng)a＋b＞0時，用分析法證明如下：要證eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需證(eq\r(a2＋b2))2≥[eq\f(\r(2),2)(a＋b)]2.即證a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab對一切實數(shù)恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．綜上所述，不等式得證．『規(guī)律總結(jié)』分析法證明不等式的依據(jù)、方法與技巧．(1)解題依據(jù)：分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論；(2)適用范圍：對于一些條件困難，結(jié)構(gòu)簡潔的不等式的證明，常常用綜合法．而對于一些條件簡潔、結(jié)論困難的不等式的證明，常用分析法；(3)思路方法：分析法證明不等式的思路是從要證的不等式動身，逐步尋求使它成立的充分條件，最終得到的充分條件是已知(或已證)的不等式；(4)應(yīng)用技巧：用分析法證明數(shù)學(xué)命題時，肯定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”“只需證”“即證”等詞語．┃┃跟蹤練習(xí)2__■已知a>5，求證：eq\r(a－5)－eq\r(a－3)<eq\r(a－2)－eq\r(a).[解析]要證eq\r(a－5)－eq\r(a－3)<eq\r(a－2)－eq\r(a)，只需證eq\r(a－5)＋eq\r(a)<eq\r(a－2)＋eq\r(a－3)，只需證(eq\r(a－5)＋eq\r(a))2<(eq\r(a－2)＋eq\r(a－3))2，即2a＋2eq\r(a2－5a)－5<2a－5＋2eq\r(a2－5a＋6)，即只需證eq\r(a2－5a)<eq\r(a2－5a＋6)，只需證a2－5a<a2－5即證0<6，此不等式恒成立，所以原不等式成立．命題方向?分析法證明不等式典例3(1)要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明(D)A．2ab－1－a2b2≤0B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C．eq\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0(2)(2024·鄭州高二檢測)已知非零向量a⊥b，證明：eq\f(|a|＋|b|,|a－b|)≤eq\r(2).[解析](1)∵a2＋b2－1－a2b2＝(a2－a2b2)＋(b2－1)＝a2(1－b2)＋(b2－1)＝(a2－1)(1－b2)＝－(a2－1)(b2－1)．∴要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只需證－(a2－1)(b2－1)≤0，即證(a2－1)(b2－1)≥0.(2)∵a⊥b，∴a·b＝0，要證eq\f(|a|＋|b|,|a－b|)≤eq\r(2).只需證：|a|＋|b|≤eq\r(2)|a－b|平方得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|≤2(|a|2＋|b|2)只需證：|a|2＋|b|2－2|a|·|b|≥0成立．即只需證：(|a|－|b|)2≥0，它明顯成立．故原不等式得證．『規(guī)律總結(jié)』分析法證明不等式的方法與技巧范圍：對于一些條件困難，結(jié)論簡潔的不等式的證明，常常用綜合法．而對于一些條件簡潔、結(jié)論困難的不等式的證明，常用分析法方法：分析法證明不等式的思路是從要證明的不等式動身，逐步尋求它成立的充分條件，最終得到的充分條件是已知(或已證)的不等式應(yīng)用：用分析法證明數(shù)學(xué)命題時，肯定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”“只需證”“即證”等詞語．特殊提示：逆向思索是分析法證明的立體思路，通過反推，逐步探尋使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向，使問題得以解決．切記“逆向”“反推”，否則會出現(xiàn)錯誤．┃┃跟蹤練習(xí)3__■已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，若m>n>1，求證：f(m)＋f(n)>2f(eq\f(m＋n,2))．[解析]要證明f(m)＋f(n)>2f(eq\f(m＋n,2))，即證(m2－2m＋2)＋(n2－2n＋2)>2[(eq\f(m＋n,2))2－2·eq\f(m＋n,2)＋2]，即證2m2＋2n2>m2＋2mn＋n只需證m2＋n2>2mn，即證(m－n)2>0，因為m>n>1，所以(m－n)2>0明顯成立，故原不等式成立．學(xué)科核心素養(yǎng)利用分析法、綜合法證明問題綜合法和分析法各有優(yōu)缺點，從尋求解題思路來看，綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因．就表達(dá)證明過程而論，綜合法形式簡潔，條理清楚，分析法敘述煩瑣，在實際解題時，常常把分析法和綜合法綜合起來運用．先利用分析法找尋解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程．典例4已知三角形ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且三個內(nèi)角A，B，C構(gòu)成等差數(shù)列，求證：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).[思路分析]本題條件較為簡潔，但結(jié)論中的等式較為困難，故可首先用分析法，將欲證等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一個較為簡潔的式子，然后再從已知條件入手，結(jié)合余弦定理，推導(dǎo)出這個式子即可得證．[解析]要證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，化簡得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，即只需證明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需證明c2＋a2＝b2＋ac.因為三個內(nèi)角A，B，C構(gòu)成等差數(shù)列，所以2B＝A＋C，又因為A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，即B＝60°，由余弦定理可得cos60°＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，所以c2＋a2－b2＝ac，即c2＋a2＝b2＋ac成立，因此原等式成立．『規(guī)律總結(jié)』1.有些數(shù)學(xué)問題的證明，須要把綜合法與分析法結(jié)合起來運用：依據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；依據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng).若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立，這種邊分析邊綜合的證明方法，稱為分析綜合法，或者稱“兩頭湊法”．2．在證明過程中，分析法能夠發(fā)覺證明的思路，但解題的表述過程較為煩瑣，而綜合法表述證明過程則顯得簡潔，因此在實際解題過程中，常常將分析法和綜合法結(jié)合起來運用，先利用分析法探求得到解題思路，再利用綜合法條理地表述解題過程.┃┃跟蹤練習(xí)4__■在某兩個正數(shù)x，y之間插入一個數(shù)a，使x，a，y成等差數(shù)列，插入兩數(shù)b，c，使x，b，c，y成等比數(shù)列，求證：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．[證明]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝x＋y，,b2＝cx，,c2＝by，))則x＝eq\f(b2,c)，y＝eq\f(c2,b)，即x＋y＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，從而2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b).要證(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需證a＋1≥eq\r(b＋1c＋1)，即證a＋1≥eq\f(b＋1＋c＋1,2)，也就是證2a≥b＋c，因為2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，則只需證eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)≥b＋c成馬上可，即b3＋c3＝(b＋c)(b2－bc＋c2)≥(b＋c)·bc，即證b2＋c2－bc≥bc，即證(b－c)2≥0成立．上式明顯成立，故(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．易混易錯警示留意隱含條件的挖掘典例5設(shè)a＋b＞0，n為偶數(shù)，求證：eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).[錯解]eq\f(bn－1,an