2024秋高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示達(dá)標(biāo)練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGE5-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列說法中正確的是()A．任何三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個單位正交基底B．不共面的三個向量就可構(gòu)成空間的單位正交基底C．單位正交基底中的基向量的模為1，且相互垂直D．不共面且模為1的三個向量可構(gòu)成空間的單位正交基底解析：因為單位正交基底中的三個向量必需是模等于1，且兩兩相互垂直．故只有C正確.答案：C2．已知點A在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)是(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是()A．(12，14，10) B．(10，12，14)C．(14，12，10) D．(4，3，2)解析：eq\o(OA,\s\up14(→))＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.答案：A3．在空間直角坐標(biāo)系中，點P(1，2，3)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為()A．(－1，2，3) B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，3) D．(－1，2，－3)解析：在空間坐標(biāo)系中，點P關(guān)于x軸的對稱點橫坐標(biāo)不變，其余坐標(biāo)為原來的相反數(shù)．答案：B4.如圖所示，在四面體O-ABC中，eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝c，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點，則eq\o(MN,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c解析：連接ON，eq\o(MN,\s\up14(→))＝eq\o(ON,\s\up14(→))－eq\o(OM,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.答案：B5．已知點O，A，B，C為空間不共面的四點，且向量a＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))，向量b＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是()A.eq\o(OA,\s\up14(→)) B.eq\o(OB,\s\up14(→)) C.eq\o(OC,\s\up14(→)) D.eq\o(OA,\s\up14(→))或eq\o(OB,\s\up14(→))答案：C二、填空題6．已知向量a，b，c是空間的一個單位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空間的另一組基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)是(1，3，4)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為________．答案：(2，－1，4)7.如圖所示，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點，G是AE的中點，若eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))，eq\o(OC,\s\up14(→))分別記為a，b，c，則eq\o(OG,\s\up14(→))＝________(用a，b，c表示)．解析：如圖所示，連接OE.eq\o(OG,\s\up14(→))＝eq\o(OE,\s\up14(→))＋eq\o(EG,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(EA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))－eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))－eq\f(1,4)(eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))－eq\f(1,4)(eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))－2eq\o(OA,\s\up14(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c8．三棱錐P-ABC中，∠ABC為直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M為PC的中點，N為AC中點，以{eq\o(BA,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(BP,\s\up14(→))}為基底，則eq\o(MN,\s\up14(→))的坐標(biāo)為________．解析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．eq\o(BA,\s\up14(→))＝(1，0，0)，eq\o(BP,\s\up14(→))＝(0，0，1)，eq\o(BC,\s\up14(→))＝(0，1，0)．eq\o(MN,\s\up14(→))＝eq\o(BN,\s\up14(→))－eq\o(BM,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up14(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up14(→))，即eq\o(MN,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))三、解答題9．在空間直角坐標(biāo)系中，給定點M(1，－2，3)，求它分別關(guān)于坐標(biāo)平面、坐標(biāo)軸和原點的對稱點的坐標(biāo)．解：M(1，－2，3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz對稱的點的坐標(biāo)分別為(1，－2，－3)，(1，2，3)，(－1，－2，3)；M(1，－2，3)關(guān)于x軸、y軸、z軸對稱的點的坐標(biāo)分別為(1，2，－3)，(－1，－2，－3)，(－1，2，3)；M(1，－2，3)關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點的坐標(biāo)為(－1，2，－3)．10．如圖所示，四棱錐P-OABC的底面為一平行四邊形，設(shè)eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OC,\s\up14(→))＝b，eq\o(OP,\s\up14(→))＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點，試用向量a，b，c表示eq\o(BF,\s\up14(→))，eq\o(BE,\s\up14(→))，eq\o(AE,\s\up14(→))，eq\o(EF,\s\up14(→)).解析：eq\o(BF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up14(→))＋eq\o(OP,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CE,\s\up14(→))＝－a＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up14(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up14(→))＋eq\o(OP,\s\up14(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\o(AP,\s\up14(→))＋eq\o(PE,\s\up14(→))＝eq\o(AO,\s\up14(→))＋eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(EF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)a.B級實力提升1．若向量eq\o(MA,\s\up14(→))，eq\o(MB,\s\up14(→))，eq\o(MC,\s\up14(→))的起點M和終點A，B，C互不重合且無三點共線，則能使向量eq\o(MA,\s\up14(→))，eq\o(MB,\s\up14(→))，eq\o(MC,\s\up14(→))成為空間一組基底的關(guān)系是()A.eq\o(OM,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up14(→))B.eq\o(MA,\s\up14(→))＝eq\o(MB,\s\up14(→))＋eq\o(MC,\s\up14(→))C.eq\o(OM,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))D.eq\o(MA,\s\up14(→))＝2eq\o(MB,\s\up14(→))－eq\o(MC,\s\up14(→))答案：C2．設(shè)a，b，c是三個不共面的向量，現(xiàn)在從①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中選出訪其與a，b構(gòu)成空間的一個基底，則可以選擇的向量為________(填序號)．解析：構(gòu)成基底只要三個向量不共面即可，這里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以選擇的．答案：③④⑤3．如圖所示，已知線段AB在平面α內(nèi)，線段AC⊥平面α，線段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，線段BD與平面α所成的角為30°，求CD的長．解析：由AC⊥平面α，可知AC⊥AB，如圖所示，過點D作DD1⊥平面α，D1為垂足，連接BD1，則∠DBD1為BD與平面α所成的角，即∠DBD1＝30°，所以∠BDD1＝60°.因為AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，所以〈eq\o(CA,\s\up14(→))，eq\o(DB,\s\up14(→))〉＝60°，所以〈eq\o(CA,\s\up14(→))，eq\o(BD,\s\up14(→))〉＝120°.又eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))，所以|eq\o(CD,\s\up14(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→)))2＝|eq\o(CA,\s\up14(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up14(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up14(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up14(→))·eq\o(AB,\s\up14(→))＋2eq\o(CA,\s\up14(→))·eq\o(BD,\s\up14(→))＋2eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(BD,\s\up14(→)).因為BD⊥A