2024秋高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例課堂演練含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．煉油廠某分廠若要將原油精煉為汽油，則需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，假如第x小時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時(shí)改變率的最小值是()A．8 B.eq\f(20,3) C．－1 D．－8解析：原油溫度的瞬時(shí)改變率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)改變率取得最小值－1.答案：C2．設(shè)底為等邊三角形的直三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)底面邊長(zhǎng)為()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V) C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則表面積S＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3),x)V(x>0)．所以S′＝eq\f(\r(3),x2)(x3－4V)．令S′＝0，得x＝eq\r(3,4V).答案：C3．某工廠須要建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁．要使砌墻所用材料最省，則堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為()A．16m，16m B．32m，16mC．32m，8m D．16m，8m解析：如圖所示，設(shè)場(chǎng)地一邊長(zhǎng)為xm，則另一邊長(zhǎng)為eq\f(512,x)m．因此新墻總長(zhǎng)度L＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝0，解得x＝16或x＝－16(舍去)．易得x＝16為微小值點(diǎn)．因?yàn)長(zhǎng)在(0，＋∞)上只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以它必是最小值點(diǎn)．當(dāng)x＝16時(shí)，eq\f(512,x)＝32.故當(dāng)堆料場(chǎng)的寬為16m，長(zhǎng)為32m時(shí)，可使砌墻所用的材料最省．答案：B4．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益r與年產(chǎn)量x的關(guān)系是r＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))則總利潤(rùn)最大時(shí)，年產(chǎn)量是()A．100 B．150 C．200 D．300解析：設(shè)年產(chǎn)量為x時(shí)，總利潤(rùn)為y，依題意，得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2－20000－100x，0≤x≤400，,80000－20000－100x，x>400，))即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))所以y′＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400)))由y′＝0，得x＝300.閱歷證，當(dāng)x＝300時(shí)，總利潤(rùn)最大．答案：D5．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則其高應(yīng)為()A.eq\f(20\r(3),3)cm B．100cmC．20cm D.eq\f(20,3)cm解析：設(shè)高為xcm，則底面半徑為eq\r(400－x2)cm，所以圓錐體積V＝eq\f(1,3)π·(400－x2)·x＝eq\f(π（400x－x3）,3)(cm3)，V′＝eq\f(π（400－3x2）,3)，令V′＝0，得x＝eq\f(20\r(3),3)或x＝eq\f(－20\r(3),3)(舍去)，經(jīng)推斷可得x＝eq\f(20\r(3),3)(cm)時(shí)，V最大．答案：A二、填空題6．用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，若該容器的底面一邊比高長(zhǎng)出0.5m，則當(dāng)高為_(kāi)_______m時(shí)，容器的容積最大．解析：設(shè)高為xm，則V＝x(x＋0.5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14.8,4)－0.5－2x))＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈(0，1.6)，所以V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令V′＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(4,15)(舍去)．當(dāng)0<x<1時(shí)，V′>0，當(dāng)1<x<1.6時(shí)，V′<0，所以當(dāng)x＝1時(shí)，容器的容積取得最大值．答案：17．已知某矩形廣場(chǎng)面積為4萬(wàn)平方米，則其周長(zhǎng)至少為_(kāi)_______米．解析：設(shè)廣場(chǎng)的長(zhǎng)為x米，則寬為eq\f(40000,x)米，于是其周長(zhǎng)為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))(x＞0)，所以y′＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40000,x2)))，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，這時(shí)y＝800.當(dāng)0＜x＜200時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞200時(shí)，y′＞0.所以當(dāng)x＝200時(shí)，y取得最小值，故其周長(zhǎng)至少為800米．答案：8008．輪船甲位于輪船乙的正東方向且距輪船乙75海里處，以每小時(shí)12海里的速度向西行駛，而輪船乙則以每小時(shí)6海里的速度向北行駛，假如兩船同時(shí)起航，那么經(jīng)過(guò)________小時(shí)兩船相距最近．解析：設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)兩船相距y海里，y2＝36x2＋(75－12x)2，(y2)′＝72x－24(75－12x)，令(y2)′＝0，得x＝5，易知當(dāng)x＝5時(shí)，y2取得最小值．答案：5三、解答題9.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x，y(單位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8m2，問(wèn)x，y分別為多少(精確到0.001)時(shí)用料最少？解：依題意，有xy＋eq\f(1,2)·eq\f(x2,2)＝8，所以y＝eq\f(8－\f(x2,4),x)＝eq\f(8,x)－eq\f(x,4)(0<x<4eq\r(2))，于是框架用料長(zhǎng)度為l＝2x＋2y＋2·eq\f(\r(2)x,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋\r(2)))x＋eq\f(16,x).l′＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)－eq\f(16,x2).令l′＝0，即eq\f(3,2)＋eq\r(2)－eq\f(16,x2)＝0，解得x1＝8－4eq\r(2)，x2＝4eq\r(2)－8(舍去)．當(dāng)0<x<8－4eq\r(2)時(shí)，l′<0；當(dāng)8－4eq\r(2)<x<4eq\r(2)時(shí)，l′>0，所以，當(dāng)x＝8－4eq\r(2)時(shí)，l取得最小值．此時(shí)，x＝8－4eq\r(2)≈2.343，y≈2.828.即當(dāng)x約為2.343，y約為2.828時(shí)，用料最?。?0．甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v千米/時(shí)的平方成正比，比例系數(shù)為b(b>0)；固定部分為a元．(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解：(1)依題意汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間為eq\f(s,v)，全程運(yùn)輸成本為y＝a·eq\f(s,v)＋bv2·eq\f(s,v)＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，所以所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，v∈(0，c]．(2)由題意知s，a，b，v均為正數(shù)．令y′＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(a,v2)))＝0得v＝eq\r(\f(a,b))，v∈(0，c]．①若eq\r(\f(a,b))≤c，則當(dāng)v＝eq\r(\f(a,b))時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最小；②若eq\r(\f(a,b))>c，則v∈(0，c]，此時(shí)y′<0，即y在(0，c]上為減函數(shù)．所以當(dāng)v＝c時(shí)，y最?。C上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)eq\r(\f(a,b))≤c時(shí)，行駛速度v＝eq\r(\f(a,b))；當(dāng)eq\r(\f(a,b))>c時(shí)，行駛速度v＝c.B級(jí)實(shí)力提升1．某銀行打算新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為0.0486，且假設(shè)銀行汲取的存款能全部放貸出去．設(shè)存款利率為x，x∈(0，0.0486)，若使銀行獲得最大效益，則x的取值為()A．0.0162B．0.0324C．0.0243D．0.0486解析：依題意，存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，貸款的收益是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486)．所以銀行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，則y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．當(dāng)0<x<0.0324時(shí)，y′>0；當(dāng)0.0324<x<0.0486時(shí)，y′<0.所以當(dāng)x＝0.0324時(shí)，y取得最大值，即當(dāng)存款利率為0.0324時(shí)，銀行獲得最大收益．答案：B2．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1(萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成正比．假如在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站________千米處．解析：依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1＝eq\f(k1,x)，每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2＝k2x，其中x是倉(cāng)庫(kù)到車站的距離，k1，k2是比例系數(shù)．于是由2＝eq\f(k1,10)，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝eq\f(4,5).因此，兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)(x＞0)，y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f(4,5)，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞5時(shí)，y′＞0.因此，當(dāng)x＝5時(shí)，y取得微小值，也是最小值．故當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車站5千米處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最?。鸢福?3．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為20000元，每生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品需增加投入100元，已知總收益滿意函數(shù)R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2（0≤x≤400），,80000（x＞400），))其中x是該產(chǎn)品的月產(chǎn)量(單位：噸)．(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，該公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？解：(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20000（0≤x≤400），,60000－100x（x＞400）.))(2)當(dāng)0