九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-第23章 解直角三角形全章復(fù)習(xí)與測(cè)試（原卷版）

第23章解直角三角形全章復(fù)習(xí)與測(cè)試【知識(shí)梳理】一．銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對(duì)邊除以斜邊＝．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．（3）正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊＝．（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．二．銳角三角函數(shù)的增減性（1）銳角三角函數(shù)值都是正值．（2）當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅虎壅兄惦S著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）當(dāng)角度在0°≤∠A≤90°間變化時(shí)，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°間變化時(shí)，tanA＞0．三．同角三角函數(shù)的關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA?cosA．四．互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系在直角三角形中，∠A+∠B＝90°時(shí)，正余弦之間的關(guān)系為：①一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一個(gè)角的余弦值等于這個(gè)角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．五．特殊角的三角函數(shù)值（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．六．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）七．解直角三角形的應(yīng)用（1）通過解直角三角形能解決實(shí)際問題中的很多有關(guān)測(cè)量問．如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度．（2）解直角三角形的一般過程是：①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案．八．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．九．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個(gè)實(shí)際問題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．十．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．【考點(diǎn)剖析】一．銳角三角函數(shù)的定義（共2小題）1．（2022秋?貴池區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函數(shù)正確的是（）A．sinB＝ B．cosA＝ C．tanB＝ D．cosB＝2．（2022秋?宣州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，則tanB的值為（）A． B． C． D．二．銳角三角函數(shù)的增減性（共1小題）3．（2022秋?金安區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D沿BC自B向C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D與點(diǎn)B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，則BE+CF的值（）A．不變 B．增大 C．減小 D．先變大再變小三．同角三角函數(shù)的關(guān)系（共1小題）4．（2022秋?宣城月考）在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanA等于．四．互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系（共1小題）5．（2021秋?懷寧縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則sinB＝．五．特殊角的三角函數(shù)值（共8小題）6．（2023春?蚌埠月考）計(jì)算2sin30°的值為（）A．1 B． C．2 D．7．（2022秋?蚌山區(qū)月考）在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝2，∠C＝90°，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．45° D．60°8．（2022秋?蚌山區(qū)月考）△ABC中，∠A，∠B都是銳角，若cosA＝，tanB＝1，則∠C＝．9．（2022秋?安徽期末）計(jì)算：2sin30°﹣1＝．10．（2022秋?金安區(qū)校級(jí)月考）若tan（α+15°）＝且α是銳角，則tanα的值為．11．（2022秋?宣城月考）計(jì)算：sin245°﹣6cos60°+2tan45°﹣2sin60°．12．（2022秋?天長(zhǎng)市月考）計(jì)算：2sin60°﹣cos60°﹣sin30°?tan45°．13．（2022?無為市校級(jí)一模）計(jì)算：（1）sin60°?cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．六．解直角三角形（共6小題）14．（2023?金寨縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)N，連接BD，若CD＝6，AD＝10，則tanA的值為（）A． B． C． D．15．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，1），則sinα的值為（）A． B． C． D．16．（2022秋?天長(zhǎng)市月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinB＝．求AC的長(zhǎng)及∠A的正切值．17．（2022秋?滁州期末）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝6，求AB的長(zhǎng)．18．（2022秋?宣州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的中線，AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．（1）求AE的長(zhǎng)；（2）求tan∠DBC的值．19．（2022秋?宣城月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（20，0），點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，且OM＝10，sin∠MON＝．（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2）求cos∠MON的值．七．解直角三角形的應(yīng)用（共5小題）20．（2023?蒙城縣三模）蒙城渦河五橋橫跨渦河南北，為蒙改城標(biāo)志建筑之一，圖1是大橋的實(shí)物圖，圖2是建造大橋設(shè)計(jì)平面圖一部分，平面圖紙有橋護(hù)欄BG＝1.5米，拉索AB與護(hù)欄的夾角是26°，拉索ED與護(hù)欄的夾角是60°，兩拉索底端距離BD為168m，兩拉索頂端的距離AE＝48m，請(qǐng)求出立柱AH的長(zhǎng)（tan26°≈0.5，sin26°≈0.4，≈1.7）．21．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)模擬）近年來，隨著智能技術(shù)的發(fā)展，智能機(jī)器人已經(jīng)服務(wù)于社會(huì)生活的各個(gè)方面．圖1所示是一款智能送貨機(jī)器人，圖2是其側(cè)面示意圖，現(xiàn)測(cè)得其矩形底座ABCD的高BC為30cm，上部顯示屏EF的長(zhǎng)度為30cm，側(cè)面支架EC的長(zhǎng)度為100cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，求該機(jī)器人的最高點(diǎn)F距地面AB的高度．（參考數(shù)據(jù)sin80°≈0.98，cos80°＝0.17，tan80°≈5.67）22．（2023?金寨縣校級(jí)模擬）如圖，為了測(cè)量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊取兩個(gè)點(diǎn)B，C，測(cè)得∠α＝37°，∠β＝55°，量得BC的長(zhǎng)為180m，求河的寬度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.80，cos55°≈0.60，tan55°≈1.40．結(jié)果精確到0.1m）23．（2023?安徽三模）如圖1是一臺(tái)電腦支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞B，C轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知AB＝10cm，BC＝6cm，當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動(dòng)到∠ABC＝90°時(shí)，∠BCD＝37°時(shí)，求點(diǎn)A到CD的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）24．（2023?安徽模擬）如圖，蘭蘭家沿著河岸圈出一片水域（即四邊形ABCD）從事水產(chǎn)養(yǎng)殖，蘭蘭測(cè)得這片水域部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：AB＝60米，BC＝10米，∠DAB＝53.1°，∠ABC＝90°，D在C的西北方向，請(qǐng)你幫助蘭蘭求出這片水域的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin53.1°≈，cos53.1°≈，tan53.1°≈）八．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共5小題）25．（2022秋?天長(zhǎng)市月考）某人沿著坡度為1：2的山坡前進(jìn)了100米，則此人所在的位置升高了（）A．100米 B．50米 C．50米 D．26．（2020秋?馬鞍山期末）某水庫(kù)大壩高20米，背水坡的坡度為1：，則背水坡的坡長(zhǎng)為．27．（2023?宿州模擬）如圖是某段河道的坡面橫截面示意圖，從點(diǎn)A到點(diǎn)B，從點(diǎn)B到點(diǎn)C是兩段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段，為改建成河道公園，改善居民生活環(huán)境，決定按照AB的坡度降低坡面BC的坡度，得到新的山坡AD，經(jīng)測(cè)量獲得如下數(shù)據(jù)：CM與水平面AN的距離為12m，坡面AB的長(zhǎng)為10m，∠BAN＝15°，坡面BC與水平面的夾角為31°，降低BC坡度后，A、B、D三點(diǎn)在同一條直線上，即∠DAN＝15°．為確定施工點(diǎn)D的位置，試求坡面AD的長(zhǎng)和CD的長(zhǎng)度．（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin31°≈0.52，cos31°≈0.88，tan31°≈0.68，結(jié)果精確到0.1米）28．（2023春?廬江縣月考）小亮和小強(qiáng)同時(shí)登青陽山，小亮從北坡山腳C處出發(fā)，以12米/分鐘的速度攀登，小強(qiáng)從南坡山腳B處出發(fā)．如圖，已知青陽山北坡的坡度i＝1：2，北坡長(zhǎng)為120米，南坡的坡角是45°．問小強(qiáng)以什么速度攀登才能和小亮同時(shí)到達(dá)山頂A？（將山路AB，AC看成線段）29．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）如圖所示，一梯子AC斜靠著墻OD，梯子與地面夾角為45°，若梯子底端A向右水平移動(dòng)1.5m至點(diǎn)B，此時(shí)梯子頂端向上移動(dòng)1m至點(diǎn)D，此時(shí)∠DBO＝58°，求OB長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）九．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共4小題）30．（2023春?桐城市月考）如圖，在水平地面上有房屋BC與一棵樹DE，在地面觀測(cè)點(diǎn)A處屋頂C與樹梢的仰角分別是45°與60°，∠DAC＝60°，在屋頂C處測(cè)得∠DCA＝90°，BC＝5米，則DE的長(zhǎng)是（）A．米 B．米 C．米 D．米31．（2023?安徽）如圖，O，R是同一水平線上的兩點(diǎn)，無人機(jī)從O點(diǎn)豎直上升到A點(diǎn)時(shí)，測(cè)得A到R點(diǎn)的距離為40m，R點(diǎn)的俯角為24.2°，無人機(jī)繼續(xù)豎直上升到B點(diǎn)，測(cè)得R點(diǎn)的俯角為36.9°．求無人機(jī)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的上升高度AB（精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．32．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)三模）某數(shù)學(xué)研究小組把測(cè)量一面墻上窗戶的高度作為一次課外課題活動(dòng)，制定了測(cè)量方案，并完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)量示意圖、測(cè)得結(jié)果如下：站在與墻垂直的筆直小路上的點(diǎn)D利用測(cè)角儀（測(cè)角儀高度0.5米）測(cè)得窗戶頂端A的仰角為63°，站在點(diǎn)C利用測(cè)角儀測(cè)得窗戶底端B的仰角為48°，并用卷尺測(cè)得OD＝2米，CD＝0.5米，請(qǐng)你根據(jù)方案提供的示意圖及相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算窗戶高度AB．（結(jié)果精確到0.1米．（參考數(shù)據(jù)：tan48°≈1.20，tan63°≈1.96，sin48°≈0.74，sin63°≈0.89）?33．（2023?蜀山區(qū)三模）如圖，某地需要經(jīng)過一座山的兩側(cè)D，E修建一條穿山隧道，工程人員先選取直線DE上的三點(diǎn)A，B，C，設(shè)在隧道DE正上方的山頂F處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為30°，C處的俯角為45°，經(jīng)測(cè)量AB＝1.4千米，BD＝0.2千米，CE＝0.5千米，求隧道DE的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1，，）一十．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共4小題）34．（2023?蕪湖一模）為鞏固農(nóng)村脫貧成果，利興村委會(huì)計(jì)劃利用一塊如圖所示的空地ABCD，培育綠植銷售，空地南北邊界AB∥CD，西邊界BC⊥AB，經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)，點(diǎn)A在C的北偏東方向，在點(diǎn)D的北偏東48°方向，BC＝780米，求空地南北邊界AB和CD的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)約：tan48°＝1.1，tan58°＝1.6）．?35．（2023?安徽模擬）如圖，在小島A處測(cè)得北偏西48°的方位上有一小島B，并測(cè)得其北偏東42°方位上有一輪船，同時(shí)在小島B處測(cè)得輪船S在其北偏東87°方位上，已知小島A到小島B所在的東西方向的距離AD是20海里，求小島B到輪船S之間的距離BS．（精確到1海里）（參考答案：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）36．（2023?安徽二模）兩巡邏艇上午9時(shí)同時(shí)從碼頭A出發(fā)，甲巡邏艇沿正北方向航行，每小時(shí)20海里，乙巡邏艇沿北偏東30°方向航行，兩小時(shí)后，乙巡邏艇發(fā)現(xiàn)航行方向上C處有救援任務(wù)，向甲巡邏艇呼救，甲巡邏艇發(fā)現(xiàn)救援點(diǎn)C在其北偏東67°方向上，立刻以每小時(shí)40海里的速度前往救援，求甲巡邏艇從B處到達(dá)救援點(diǎn)C需要多少時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）37．（2023?蜀山區(qū)二模）我國(guó)北斗導(dǎo)航裝備極大的方便了航海時(shí)輪船的定位．如圖，一貨輪由A地出發(fā)，去往B地，當(dāng)貨輪在A地時(shí)，導(dǎo)航顯示貨輪北偏東45°（即∠CAD＝45°）方向上有海島C，貨輪由A地沿正東方向航行海里到達(dá)B地，此時(shí)導(dǎo)航顯示海島C在貨輪的北偏東15°（即∠CBE＝15°）方向上，求B地與海島C之間的距離BC．

【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．把三角形三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來的2倍，則銳角A的正弦函數(shù)值A(chǔ)．?dāng)U大為原來的2倍 B．縮小為原來的C．不變 D．不能確定2．（2023秋·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米3．（2023春·河南三門峽·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，則（

）A． B． C． D．4．汽車在沿坡比為的斜坡上前進(jìn)150米，則汽車上升的高度為（

）A．75米 B．米 C．米 D．150米5．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，公路AC、BC互相垂直，點(diǎn)M為公路AB的中點(diǎn)，為測(cè)量湖泊兩側(cè)C、M兩點(diǎn)間的距離，若測(cè)得AB的長(zhǎng)為6km，則M、C兩點(diǎn)間的距離為（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km6．在中，,，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知∠A為銳角，且sinA＝，那么∠A等于（

）A．15° B．30° C．45° D．60°8．已知一堤壩的坡度，堤壩的高度為米，則堤壩的斜坡長(zhǎng)為（

）A．米 B．米 C．米 D．米9．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在某校的科技節(jié)活動(dòng)中，九年級(jí)開展了測(cè)量教學(xué)樓高度的實(shí)踐活動(dòng)．“陽光小組”決定利用無人機(jī)A測(cè)量教學(xué)樓的高度．如圖，已知無人機(jī)A與教學(xué)樓的水平距離為m米，在無人機(jī)上測(cè)得教學(xué)樓底部B的俯角為，測(cè)得教學(xué)樓頂部C的仰角為．根據(jù)以上信息，可以表示教學(xué)樓（單位：米）的高度是（

）．A． B．C． D．10．西周時(shí)期，丞相周公旦設(shè)置過一種通過測(cè)定日影長(zhǎng)度來確定時(shí)間的儀器，稱為圭表.如圖是一個(gè)根據(jù)某地的地理位置設(shè)計(jì)的圭表，其中，立柱高為.已知冬至?xí)r某地的正午日光入射角約為，則立柱根部與圭表的冬至線的距離（即的長(zhǎng)）約為（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比是，堤高，則坡面的長(zhǎng)度是__________．12．計(jì)算：tan60°sin60°﹣cos245°＝__．13．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，，，則的值為______.14．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在一筆直的海岸線上有相距的，兩個(gè)觀測(cè)站，站在站的正東方向上，從站測(cè)得船在北偏東的方向上，從站測(cè)得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是_____．

三、解答題15．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）計(jì)算16．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是的高，，求的長(zhǎng)．17．（2023秋·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）平放在地面上的三角形鐵板的一部分被沙堆掩埋，其示意圖如圖所示，量得∠A為，∠B為，邊的長(zhǎng)為2m，BC