九年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點專項突破04二次函數(shù)綜合（5種題型）（解析版）

重難點專項突破04二次函數(shù)綜合（5種題型）【題型細目表】題型一：線段周長問題題型二：面積問題題型三：角度問題題型四：特殊三角形問題題型五：特殊四邊形問題【考點剖析】題型一：線段周長問題一、填空題1．（2023·安徽阜陽·校聯(lián)考模擬預測）平面直角坐標系中，將拋物線平移得到拋物線C，如圖所示，且拋物線C經(jīng)過點和，點P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，則的最大值為______．【答案】【分析】求得拋物線C的解析式，設(shè)Q（x，0），則P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：設(shè)平移后的解析式為y=-x2+bx+c，∵拋物線C經(jīng)過點A（-1，0）和B（0，3），∴，解得，∴拋物線C的解析式為y=-x2+2x+3，設(shè)Q（x，0），則P（x，-x2+2x+3），∵點P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動點，∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）=-x2+3x+3∴OQ+PQ的最大值為故答案為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平移，二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)題意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解題的關(guān)鍵．二、解答題2．（2023春·安徽六安·九年級?？茧A段練習）如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于A，B兩點，點A在y軸上，點B在x軸上，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的對稱軸交于點P．(1)點P的坐標為______；(2)點C是該二次函數(shù)圖象上A，B兩點之間的一動點，點C的坐標為，，求關(guān)于n的函數(shù)表達式和的最小值．【答案】(1)(2)，t的最小值為【分析】（1）先求得A、B兩點的坐標，再求得二次函數(shù)的對稱軸，即可求得點P的坐標；（2）利用拋物線上點的坐標的意義以及勾股定理構(gòu)造關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：把代入，得，即，把代入，得，解得，即，∵二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)對稱軸為直線，把代入，得，∴點P的坐標為，故答案為：；（2）解：∵，∴，∵點C在拋物線上，∴，∴，∴，∵，二次函數(shù)頂點坐標為，∴，∴當時，t有最小值，最小值為．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點、拋物線的頂點坐標等知識點，熟練掌握相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于、兩點，點的橫坐標為．(1)求直線和拋物線的解析式；(2)點是直線下方的拋物線上一動點不與點、重合，過點作軸的平行線，與直線交于點，連接，設(shè)點的橫坐標為．①若點在軸上方，當為何值時，是等腰三角形；②若點在軸下方，設(shè)的周長為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，當為何值時，的周長最大，最大值是多少？【答案】(1)，(2)①當時，是等腰三角形；②當時，的周長最大，最大值為9【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式；（2）①當是等腰三角形時，判斷出只有，設(shè)出點P的坐標，用建立方程組求解即可；②先表示出，然后建立的周長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，確定出最大值．【詳解】（1）解：將點代入，得，解得，∴直線的解析式為；當時，，∴將點，代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）①設(shè)，則，∵過點P作x軸的平行線，與直線交于點C，∴，∴，當點P在x軸上方時，，是鈍角，∴，∵是等腰三角形，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴或（舍去），∴當時，是等腰三角形；②當點在軸下方時，，∴∵，則，點,∴，，∵，，∴，∴當時，p最大，最大值為9，∴當時，的周長最大，最大值為9．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平面內(nèi)兩點之間的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的周長，極值的確定，解本題的關(guān)鍵是表示出的長度．4．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求，的值；(2)點是第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接，過點作的平行線，交軸于點，交軸于點，設(shè)點的橫坐標為．①若直線的解析式為，試用含的代數(shù)式表示；②若點是線段的中點，試求點的坐標．【答案】(1)(2)①，②【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出，進而求出直線的解析式是．由，得到，則直線的解析式為．再由，即可得到；②由①得直線的解析式為．求出，，再根據(jù)是線段的中點，得到，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：把，分別代入，得：，解得，；（2）解：①由（1）知拋物線的解析式為．在中，令，則．∴；設(shè)直線的解析式為，把，分別代入，得，解得∴直線的解析式是．∵，∴．∴直線的解析式為．∵點在拋物線上，點的橫坐標為，∴點，則．∴；②由①知直線的解析式為．在中，令，得．∴，在中，令，得．∴，∵是線段的中點，∴P、E兩點的縱坐標互為相反數(shù)，∴，∴，解得或（舍去），∴，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，點在x軸上，點在y軸上，以為直角邊作等腰直角，使，，且點C落在第一象限，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，C．(1)試確定二次函數(shù)的表達式；(2)已知點P是拋物線的對稱軸上的一動點，且，求點P的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出，過點C作軸于點D，再證明，可得，，從而得到點C坐標為，再利用待定系數(shù)法解答，即可求解．（2）先求出該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，可設(shè)點P坐標為，再由，得到關(guān)于m的方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵點，點，∴，過點C作軸于點D，∴，∵∴，，∴，∵，∴，∴，，∵點C在第一象限，∴點C坐標為，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，C，∴，解得，∴二次函數(shù)的表達式為；（2）解：∵，∴該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，設(shè)點P坐標為，∵，∴，∴，解得，∴點P坐標為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了全等三角形的判定和性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式等知識，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·安徽蚌埠·九年級校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)．(1)若，，且該二次函數(shù)的圖象過點，求a的值；(2)如圖所示，在平面直角坐標系中，該二次函數(shù)的圖象與x軸相交于不同的兩點，，其中，，且該二次函數(shù)的圖象的頂點在矩形的邊上，其對稱軸與x軸，AC分別交于點M，N，與y軸相交于點E，且滿足．①求關(guān)于x的一元二次方程根的判別式的值；②若，令，求T的最小值．【答案】(1)(2)①16；②【分析】（1）由題意將代入，從而求得結(jié)果；（1）①根據(jù)題意，表示出和，根據(jù)，得出，從而求得結(jié)果；②根據(jù)，從而得出，從而求得的值，進而得出，的關(guān)系式，將其代入，進一步求得結(jié)果．【詳解】（1）解：∵，，即：，把代入得：，解得：；（2）①由得，，，∴，∵拋物線的頂點坐標為：，∴，∵，∴，即：，∴，即：，∴一元二次方程根的判別式的值為16；②由①知，∴，則由題意可知對稱軸為：，，則，∴∵，則，∴，解得，∴，則，∴，∴當時，．【點睛】本題考查二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系，平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)定義等知識，解決問題的關(guān)鍵根據(jù)點的坐標表示出線段．7．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎獟佄锞€與直線相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點M為線段下方拋物線上一動點，過點M作∥軸交于點G．(1)當∥軸時，①求點A、B的坐標；②求的值；(2)當時，的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；【答案】(1)①，；②(2)是定值，理由見解析【分析】（1）①利用軸，則，將代入拋物線的解析式求得值，則點，的橫坐標可求，縱坐標為8，結(jié)論可得；②設(shè)，分別用A，B，M，G的坐標表示出線段，，，代入運算即可得出結(jié)論；（2）將兩解析式聯(lián)立求得A，B的坐標，設(shè)，則，分別用A，B，M，G的坐標表示出線段，，，代入運算即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①當軸時，，則，對于，當時，，解得，，．②∵點為線段下方拋物線上一動點，設(shè)，則，，，，．（2）是定值．∵，∴直線：，設(shè)，則，．令，解得，，∵點A在點B的左側(cè)，點為線段下方拋物線上一動點，，，，，，．∴當時，的值為定值，這個定值為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線上點的坐標的特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象與軸交于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B和二次函數(shù)圖象上另一點A．其中點A的坐標為（4，3）．（1）求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）若拋物線上的點P在第四象限內(nèi)，過點P作軸的垂線PQ，交直線AB于點Q，求線段PQ的最大值．【答案】（1），；（2）【分析】（1）先根據(jù)A點坐標求出一次函數(shù)的解析式，然后求出B點坐標，再根據(jù)A、B的坐標即可求出拋物線的解析式；（2）設(shè)，則，然后可以得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：（1）直線經(jīng)過A（4，3），∴∴，∴直線的解析式為，又∵直線與x軸交于B點，令即，解得∴B（-2，0）拋物線經(jīng)過點A（4，3）、B（-2，0），則

∴拋物線為

（2）設(shè)，則

∴∵

∴當時，PQ取得最大值．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.9．（2023·安徽·九年級專題練習）已知如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A，C兩點，交y軸于點，此拋物線的對稱軸交x軸于點D，點P為y軸上的一個動點，連接．(1)求a的值；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把點代入，即可求解；（2）連接AB，過點D作DH⊥AB于點H，交y軸于點P，先求出點A、C、D的坐標，可得，從而得到的最小值為PD+PH=DH的長，求出DH，即可求解．（1）解：把點代入得：，解得：；（2）解：連接AB，過點D作DH⊥AB于點H，交y軸于點P，由（1）得：二次函數(shù)的解析式為，令y=0，則，解得：，∴點A（-3，0），C（5，0），∴拋物線的對稱軸為直線，∴點D（1，0），∴AD=4，∵點，∴，∴，∴AB=2OA，∵∠AOB=90°，∴∠OBA=30°，∴，∴的最小值為PD+PH=DH的長，∵DH⊥AB，∠OAB=60°，∴∠ADH=30°，∴，∴，∴的最小值為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短解決線段和的最小值問題．解題的關(guān)鍵是作輔助線，轉(zhuǎn)化的最小值為PD+PH=DH的長．10．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）已知：拋物線與軸交于點A、B（點B在軸正半軸），頂點為C，且．(1)求a的值；(2)求的面積；(3)若點為拋物線上一點，軸交直線于點，求的最小值．【答案】(1)；(2)的面積為8；(3)最小值為．【分析】（1）先求得拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，利用，即可求解；（2）由（1）得到拋物線的解析式，點A、B的坐標，對稱軸為，求得頂點，利用三角形的面積公式即可求解；（3）設(shè)，求得，利用兩點之間的距離公式求得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：令，則，即，解得，，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，拋物線的解析式為，點，對稱軸為，∴頂點，∴的面積為；（3）解：設(shè)，∵軸，∴，

∵，∴，∵，∴當時，取得最小值，最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及平行的知識，解決（3）問需要求出的長，利用二次函數(shù)的求解．11．（2023·安徽蕪湖·一模）已知拋物線與直線交于點(1)若拋物線經(jīng)過時，求拋物線解析式；(2)設(shè)P點的縱坐標為，當取最小值時，拋物線上有兩點，，，比較與的大?。?3)若線段兩端點坐標分別是，，當拋物線與線段有公共點時，求出m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）將代入解析式求解．（2）將代入解析式求出點P縱坐標，通過配方可得取最小值時m的值，再將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解．（3）分別將點A，B坐標代入解析式求解．【詳解】（1）解：將代入得：，解得，；（2）將代入得，時，取最小值，，時，y隨x增大而減小，，；（3），拋物線頂點坐標為，拋物線隨m值的變化而左右平移，將代入得，解得或，將代入得，解得或，時，拋物線對稱軸在點A左側(cè)，拋物線與線段有交點，時，拋物線對稱軸在點A右側(cè)，拋物線與線段有交點．或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．12．（2023春·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知拋物線：與直線交于、兩點（M在N的左側(cè)）．(1)求拋物線的解析式；(2)在直線的上方的拋物線上有一點C，若，求點C的坐標；(3)如圖2，將拋物線平移后得到新的拋物線，的頂點為原點，為拋物線第一象限內(nèi)任意一點，直線與拋物線交于A、B兩點，直線與y軸交于點G，分別與直線PA、PB交于E、F兩點．若，求點P的橫坐標．【答案】(1)(2)或；(3)點橫坐標為．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）過點C作軸交于點G，設(shè)，則，可得，即可求出點C的坐標；（3）先求平移后的函數(shù)解析式為，設(shè)，聯(lián)立方程組，分別求出，，再由待定系數(shù)法分別求出直線的解析式、直線的解析式，可求，，從而建立方程求解即可．【詳解】（1）解：將代入，∴，解得，∴，將代入，，∴，將，代入，∴，解得，∴；（2）解：過點C作軸交于點G，設(shè)，則，∴，∴，解得或，∴C點在直線上方，∴或，∴或；（3）解：∵，∴拋物線的頂點為∵的頂點為原點，∴拋物線向左平移個單位，向上平移個單位，∴平移后的函數(shù)解析式為，設(shè)，聯(lián)立方程組，解得或，∴，，∵直線與y軸交于點G，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，同理可求直線的解析式為，∴，，∴，，∵，∴解得，∴，∴點橫坐標為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，拋物線平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·安徽淮北·淮北市第二中學?？级＃佄锞€與軸交于點，，直線與拋物線交于，兩點．(1)求拋物線的解析式．(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得的周長最小？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)若點為直線上方的拋物線上的一個動點（不與點，重合），將直線上方的拋物線部分關(guān)于直線對稱形成愛心圖案，動點關(guān)于直線對稱的點為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)存在，，理由見詳解(3)【分析】（1）將，代入拋物線求解即可：（2）連接BC，BC與對稱軸的交點即點P，此時的周長最小；（3）過點E作軸，進而得到，由三角函數(shù)即可求解；【詳解】（1）解：將，代入拋物線得，解得：，∴拋物線的解析式為：．（2）由解得：，∴，，設(shè)BC的解析式為：，將，代入得，解得：，∴，拋物線的對稱軸為：，當點P在BC上時，的周長最小，∴將代入中，，∴．（3）設(shè)點，由，可求得CD的解析式為：，過點E作軸，∴，將代入得，，將代入得，，∴，∵軸，∴，∴，∴，當時，最大，∵，∴，∴的取值范圍為：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用、三角函數(shù)的應用，掌握相關(guān)知識并靈活應用是解題的關(guān)鍵．題型二：面積問題一、單選題1．（2023·安徽合肥·?？寄M預測）如圖，垂直于x軸的直線AB分別與拋物線：（x≥0）和拋物線：（x≥0）交于A，B兩點，過點A作CD∥x軸分別與y軸和拋物線C2交于點C，D，過點B作EF∥x軸分別與y軸和拋物線C1交于點E，F(xiàn)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)點橫坐標為,則點縱坐標為點的縱坐標為軸，∴點縱坐標為∵點是拋物線上的點，∴點橫坐標為軸,∴點縱坐標為∵點是拋物線上的點，∴點橫坐標為故選：D.2．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸交于點A，B兩點，與y軸負半軸交于點C，其頂點為M，點D，E分別是的中點，若與的面積比為9∶10，則c的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，，由點D是的中點，與的面積比為9∶10，得到，由中點坐標公式得，，，M為頂點，求得點M的橫坐標，代入解析式，由縱坐標相等得到關(guān)于c的方程，解之即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，，∵點D是的中點，∴，∵與的面積比為9∶10，∴，∴，∵E是的中點，∴由中點坐標公式得，，當時，，∴，∴，∵，，∴，∵M為頂點，∴，將代入得，，解得，故選：C【點睛】此題考查了二次函數(shù)的面積綜合題，求得是解題的關(guān)鍵．二、解答題3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預測）如圖，將邊長為的正方形沿其對角線剪開，再把沿著方向平移，得到．設(shè)平移的距離為，兩個三角形重疊部分(陰影四邊形)的面積為(1)當時，求的值．(2)試寫出與間的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值．(3)是否存在的值，使重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為：？如果存在，請求出此時的平移距離；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，最大值為(3)或【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得到和都為直角邊為的等腰直角三角形，從而判定出也為等腰直角三角形，得到，從而得到的長，由四邊形的面積公式底乘以高的一半即可求出；（2）同理得到從而得到的長為，由四邊形的面積公式底乘以高的一半即可表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）由正方形的性質(zhì)得到和都為等腰直角三角形，根據(jù)直角邊方程為和，分別表示出鄰邊和，進而表示出兩者之比等于已知的比值，列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值．【詳解】（1）解：如圖所示，由題意可知和都為等腰直角三角形，且，，又由平移可知，也為等腰直角三角形，，，又∵，；（2）由題意可知和都為等腰直角三角形，，又由平移可知，也為等腰直角三角形，，當時，有最大值，其最大值為；（3）存在．理由如下：由題意得到和都為等腰直角三角形，，，或，解得：或，或時，重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽黃山·九年級校聯(lián)考階段練習）已知關(guān)于x的二次函數(shù)（m是常數(shù)）．(1)若該二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，①求m的值；②若該二次函數(shù)的圖像與x軸交于點B，C（點B在點C的左側(cè)），求的面積；(2)若該二次函數(shù)的圖像與y軸交于點P，求點P縱坐標的最大值；【答案】(1)①；②(2)2【分析】（1）①直接利用待定系數(shù)法求解，再由二次函數(shù)的定義即可得出結(jié)果；②先求出二次函數(shù)與x軸的交點，然后求面積即可；（2）先確定縱坐標的解析式，然后化為頂點式即可求解．【詳解】（1）解：①關(guān)于x的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，，整理得，解得，，，，；②，該二次函數(shù)表達式為，當時，即，解得，，點B在點C的左側(cè)，點B坐標為，點C坐標為，的面積；（2）當時，，點P的縱坐標為，又∵，，拋物線開口向下，時，y有最大值2，點P縱坐標的最大值為2．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，包括待定系數(shù)法確定解析式，與坐標軸的交點，一般式化為頂點式等，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖1，在中，，，，點D在邊上（不與點B重合），以為一邊作正方形，連接．(1)如圖2，當時，①求正方形的邊長；②求證：；(2)當點D在上運動時，求面積的最大值．【答案】(1)①，②見解析(2)8【分析】（1）①判定是直角三角形，再用勾股定理即可求得；②根據(jù)正方形的性質(zhì)得到全等條件，可證，從而可得證；（2）過作交的延長線于，可證，從而可證，設(shè)長為，則，根據(jù)面積公式即可求解．【詳解】（1）解：①如圖，，，，，是直角三角形，，，，在中；②由①可知，四邊形是正方形，，，，，在和中，．（2）解：過作交的延長線于，，，，在和中，，，設(shè)長為，則，，，當時，．【點睛】本題考查了動點的二次函數(shù)最值、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理及其逆定理等，掌握性質(zhì)及判定方法，“化動為靜”找出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．6．（2023·安徽池州·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝－x＋bx＋c的圖象與坐標軸相交于A、B、C三點，其中點A坐標為（3，0），點B坐標為（－1，0），連接AC、BC，動點P從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接PQ，設(shè)運動時間為t秒．(1)求b、c的值；(2)在P、Q運動的過程中，當t為何值時，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為多少？【答案】(1)(2)t=2時；最小值為4【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點P作PH⊥x軸，垂足為E，利用S四邊形BCPQ＝S△ABC?S△APQ表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y＝?x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A（3，0），B（?1，0），∴，解得：；（2）由（1）得：拋物線表達式為y＝?x2＋2x＋3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，由點P的運動可知：，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖所示：，即H（3?t，0），又∵Q（?1＋t，0），∴S四邊形BCPQ＝S△ABC?S△APQ＝×4×3?×[3?(?1＋t)]t＝（t?2）2＋4∵，，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，∴，∴當t=2時，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為4．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，用△ABC的面積減去△APQ的面積得出四邊形BCPQ的面積，是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽·九年級專題練習）已知直線與x軸交于A點、與y軸交于B點，點P是線段AB上任意一點．(1)求A、B兩點的坐標；(2)設(shè)P點的坐標為（m，n），且以P為頂點的拋物線W經(jīng)過C（﹣2，0）和D（d，0），求m與n的函數(shù)關(guān)系式及△PCD面積的最大值．【答案】(1)A（6，0），B（0，3）(2)，8【分析】（1）當x＝0時，y＝3可得B點坐標；當y＝0時，x＝6，可得A點坐標；（2）將點P的坐標代入直線AB的解析式，即可得到m和n的函數(shù)關(guān)系式；由于拋物線是關(guān)于對稱軸對稱的，可得，再表示出△PCD的面積，求最值即可．（1）當x＝0時，y＝3；當y＝0時，即，解得x＝6，∴A（6，0），B（0，3）；（2）∵P在線段AB上，∴，∴m與n的關(guān)系式為：，以P為頂點的拋物線W的對稱軸為，∵C（﹣2，0），D（d，0）是拋物線與x軸的兩交點，∴，∴，∴當時，取得最大值，最大面積為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，掌握二次函數(shù)關(guān)于對稱軸對稱是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點兩點，和y軸相交于點B，連接、．(1)求拋物線的解析式（關(guān)系式）；(2)在直線上方的拋物線上，找一點D，使，并求出此時點D的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求出，進而求出，過點作軸于點，利用進行計算即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點兩點，∴，解得：，∴拋物線的表達式為：；（2）解：，當時，，∴，∵，∴，∵，∴；如圖所示，設(shè)在直線上方的拋物線上，找一點的坐標為，作軸于點，連接，則：．即，解得．∴點的坐標為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．9．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的頂點縱坐標的最小值；(2)若，點P為拋物線上一點，且在A、B兩點之間運動．①是否存在點Р使得，若存在，求出點P坐標，若不存在，請說明理由；②如圖2，連接，相交于點M，當?shù)闹底畲髸r，求直線的表達式．【答案】(1)(2)①存在點Р使得，點P的坐標為或②直線的解析式為【分析】（1）把拋物線解析式化為頂點式可得，拋物線的頂點縱坐標為，根據(jù)，可知，當時，的值最小，最后進行求值即可；（2）①如圖1，連接、，由可得拋物線的解析式為，即可求出A、B點的坐標，從而求出的長，再設(shè)點P的坐標為可得，根據(jù)求出a的值，即可求出點P的坐標；②由圖2可知，當?shù)闹底畲髸r，則的值最大，設(shè)點P的坐標為，再根據(jù)，，可得時，有最大值，即可求出點P的坐標，再設(shè)直線的解析式為，把P、B的坐標代入解析式，利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：拋物線，∴拋物線的頂點縱坐標為，，，∴當時，的值最小，最小值為，∴拋物線的頂點縱坐標的最小值是；（2）解：①存在點Р使得，如圖1，連接、，當，則，設(shè)點P的坐標為，∵拋物線與x軸相交于點A、B，∴時，即，解得：，，∴點B的坐標為，點A的坐標為，，，，，且，，即，解得：，，∵當時，，當時，，∴存在點Р使得，點P的坐標為或；②由圖2可知，當?shù)闹底畲髸r，的值最大，即的值最大，∵拋物線與y軸相交于點C，當時，，∴點C的坐標為，，由①可知，點B的坐標為，點A的坐標為，，，，，設(shè)點P的坐標為，

，，時，有最大值，最大值為2，時，，∴點P的坐標為，設(shè)直線的解析式為，∵直線的圖象經(jīng)過點，，∴把P、B的坐標代入解析式可得：，解得，∴直線的解析式為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合運用、解一元二次方程、二次函數(shù)的最值問題和利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，把二次函數(shù)解析式化為頂點式求最值，確定點P的坐標是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽六安·校聯(lián)考一模）已知拋物線：經(jīng)過點，．(1)求拋物線的解析式．(2)將拋物線向上平移4個單位長度得到拋物線，拋物線與x軸交于，，兩點（其中點在點的左側(cè)），與y軸交于點，連接．為第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點．①當面積最大時，求點的坐標．②拋物線的對稱軸交x軸于點，過點作于點，交x軸點于．當點在線段上時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①點的坐標為；②【分析】（1）將，，代入得，，求解的值，然后代入即可；（2）①由題意可知平移后拋物線的解析式為．令，則，可得．令，可得，解得或，可得，．如圖1，過作軸，交于．設(shè)直線的解析式為，待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)，則，，令到的距離為，到的距離為，則，根據(jù)，以及，可得的面積最大時的值，進而可得點坐標；②如圖2，由題意知，，為等腰直角三角形，則．為等腰直角三角形．計算當點與點、點分別重合時，對應的的值，根據(jù)交點從點到點對應的三角形面積逐漸增大，進而可得面積的取值范圍．【詳解】（1）解：將，，代入得，，解得，，∴拋物線的解析式為．（2）①解：由題意可知平移后拋物線的解析式為．令，則，∴．令，可得，解得或，∴，．如圖1，過作軸，交于．設(shè)直線的解析式為，將點坐標代入得，，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，則，，令到的距離為，到的距離為，則，∴，∵，∴當時，的面積最大，點的坐標為．②如圖2，由題意知，，∵，，∴為等腰直角三角形，∴．∵，，∴，∴為等腰直角三角形．當點與重合時，．在中，由勾股定理得，∴，

∴；當點與重合時，．在中，由勾股定理得，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與面積綜合，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．11．（2023·安徽合肥·合肥市第四十八中學?？家荒＃┤鐖D1，二次函數(shù)的圖像與軸交于點，，與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點為拋物線上一動點．①如圖2，過點作軸的平行線與拋物線交于另一點，連接，．當時，求點的坐標；②如圖3，若點在直線上方的拋物線上，連接與交于點，求的最大值．【答案】(1)(2)①或；②【分析】（1）將，，代入解析式即可得到答案；（2）①根據(jù)得到點到直線的距離是點到直線距離的2倍，求出直線的解析式，過點作的平行線與軸交于點，設(shè)直線的解析式為：，根據(jù)C點坐標求出點，直線解出的解析式，根據(jù)平移規(guī)律即可得到答案；②過點作軸的平行線與交于點，設(shè)點，則點，根據(jù)平行得到，表示出，利用函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；【詳解】（1）解：∵的圖像與軸交于點，，∴，解得：，；（2）①，點到直線的距離是點到直線距離的2倍，令，則，，，，直線的解析式為：，如圖，過點作的平行線與軸交于點，設(shè)直線的解析式為：，軸，，，在直線上，，，直線的解析式為：，直線可看作是將直線向上平移2個單位得到，將直線向下平移4個單位得到直線：，則它與拋物線的交點就是滿足條件的點，（將直線向上平移4個單位得到直線，它與拋物線沒有交點）令，解得：，，當時，；當時，，點的坐標為或；②如圖，過點作軸的平行線與交于點，設(shè)點，則點，，軸，，，，的最大值為．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，主要有待定系數(shù)法求解析式，動點圍成三角形面積問題及線段問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解．12．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖，經(jīng)過點的拋物線與直線相交于點兩點，并與邊長為2的正方形相交于點．(1)試求拋物線和直線的函數(shù)解析式；(2)若拋物線在第一象限的圖像上有一點，它的橫坐標為．①請用含的式子表示的面積；②若點到直線的距離最遠，請直接寫出此時點的坐標．【答案】(1)拋物線和直線的函數(shù)解析式分別為，(2)①，②【分析】（1）先得到，，再根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）①令，過點作軸交于點，則，表示出，從而可表示出的面積；②要使點到直線的距離最遠，則面積取得最大值，從而可得到點的坐標．【詳解】（1）解：經(jīng)過點的拋物線與直線相交于點兩點，并與邊長為2的正方形相交于點，，，代入得：，解得：，，令，解得：，，把、代入得：，解得，，答：拋物線和直線的函數(shù)解析式分別為，；（2）解：①令，過點作軸交于點，，則，此時面積為，②，要使點到直線的距離最遠，則面積取得最大值，由①得，當時，最大，此時，．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，采用數(shù)形結(jié)合的思想，添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．13．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考二模）已知拋物線：經(jīng)過點．(1)求拋物線的解析式．(2)將拋物線向上平移4個單位長度得到拋物線，與x軸交于A，B兩點（其中點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接，D為第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點．①當面積最大時，求點D的坐標；②拋物線的對稱軸交x軸于點G，過點D作于點E，交x軸于點F．當點F在線段上時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）①由面積，即可求解；②證明為等腰直角三角形，則，進而即可求解．【詳解】（1）解：將代入，得：，解得：，故拋物線的解析式為：；（2）解：由題意可知拋物線的表達式為：，當時，，即點，令，解得：或3，即點A、B的坐標分別為：；①由點B、C的坐標得，直線的表達式為：，過點D作軸交于點H，如圖，設(shè)點，則點，，∴當時，面積最大，此時點；②由點B、C的坐標知，，則，∴為等腰直角三角形，則，當點F和點A重合時，，則；當點F和點G重合時，，則．∴的取值范圍為：．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移等知識．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．14．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標；

（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數(shù)的表達式為：y=x2﹣4x+3；（2）點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）當點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表達式；（2）先求出點B的坐標，再根據(jù)勾股定理求得BC的長，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分別根據(jù)這三種情況求出點P的坐標；（3）設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點P在y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，①當CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當PB=PC時，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③當BP=BC時，∵OC=OB=3∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．15．（2023·安徽·模擬預測）如圖，直線交軸于點，交軸于點，拋物線經(jīng)過點，點，且交軸于另一點．(1)求拋物線的解析式；(2)在直線上方的拋物線上有一點，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標．【答案】(1)(2)8，【分析】（1）確定代入解析式計算即可．（2）過點M作軸，垂足為E，交直線于點D，設(shè)，則，計算，表示四邊形的面積為，構(gòu)造二次函數(shù)計算即可．【詳解】（1）∵直線交軸于點，交軸于點，∴，代入解析式得，解得，∴拋物線的解析式為．（2）過點M作軸，垂足為E，交直線于點D，設(shè)，則，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∴=，故當時，面積取得最大值，且最大值為8，此時即，∴四邊形的面積最大值為8，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，構(gòu)造二次函數(shù)求面積的最值，熟練掌握待定系數(shù)法，正確利用函數(shù)解析式表示四邊形的面積是解題的關(guān)鍵．16．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學?？家荒＃┤鐖D，拋物線過點，，且與y軸交于點C，點E是拋物線對稱軸與直線的交點(1)求拋物線的解析式；(2)求證：；(3)若點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一動點，設(shè)點P的橫坐標為x，以點B、E、P為頂點的的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)；【分析】（1）將點A、B坐標代入列方程求出a、b即可得；（2）由、且，利用平行線分線段成比例定理可得；（3）利用待定系數(shù)法求得直線解析式，從而求得點E的坐標，作軸于點F，軸于點G，設(shè)點，根據(jù)的面積為列出函數(shù)解析式，配方成頂點式可得答案．【詳解】（1）解：將點，代入，得：，解得：，則拋物線的解析式為；（2）解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，則、，∵，∴，即；（3）解：∵點、，∴設(shè)直線解析式為，則，解得：，∴直線解析式為；當時，，∴，如圖，作軸于點F，軸于點G，設(shè)點，則的面積為：，，∴當時，S取得最大值，最大值為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行線分線段成比例定義及割補法求三角形的面積．17．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸正半軸交于點，與軸交于點，且經(jīng)過點，拋物線的對稱軸為直線．(1)求拋物線的解析式．(2)若是拋物線上位于第四象限上的點，求點到直線距離的最大值．(3)已知，，線段以每秒1個單位長度的速度向右平移，同時拋物線以每秒1個單位長度的速度向上平移，秒后，若拋物線與線段有兩個交點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)經(jīng)過點，對稱軸為直線，分別列方程解出即可；（2）連接，，，過點作軸交于點，設(shè)，，表示出的面積，并求出最大值，然后根據(jù)面積求點到直線距離的最大值即可；（3）秒后，，，拋物線的解析式為．若拋物線與線段有兩個交點，則點在拋物線上（或右側(cè)），且點在拋物線上（或左側(cè)），分類討論列方程即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得解得∴拋物線的解析式為．（2）解：如圖，連接，，，過點作軸交于點．∵拋物線的解析式為，∴，，∴．設(shè)，易得直線的解析式為，∴，∴，∴，當時，的面積最大，最大值為，此時點到的距離最大，最大距離為．（3）解：秒后，，，拋物線的解析式為．若拋物線與線段有兩個交點，則點在拋物線上（或右側(cè)），且點在拋物線上（或左側(cè)），當點恰好在拋物線上時，則，∴，∴，（舍去）．當點恰好在拋物線上時，則，解得或7（舍去），∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，相關(guān)知識點有：待定系數(shù)法求函數(shù)表達式、求最大距離、圖像的平移等，熟悉二次函數(shù)的知識點是解題關(guān)鍵．18．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，其中．

(1)當該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，求此時函數(shù)圖像的頂點A的坐標；(2)求證：二次函數(shù)的頂點在第三象限；(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數(shù)的圖像與y軸的負半軸的交點為B，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）將代入函數(shù)解析式求出函數(shù)解析式，接可求出頂點坐標；（2）結(jié)合函數(shù)解析式求出頂點橫坐標，代入解析式即可求得頂點縱坐標，即可求得頂點坐標，結(jié)合分析，即可證明；（3）如圖，過作軸于，由題意設(shè)平移后的函數(shù)解析式為，則其頂點坐標橫為，代入直線解析式即可求得，由于B在y軸的負半軸故，再由可得，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解．【詳解】（1）解：將代入函數(shù)解析式得：，解得：或，，，故函數(shù)解析式為：，函數(shù)頂點橫坐標為：，當時，，；（2）二次函數(shù)，頂點的橫坐標為：，當時，，，，，，即：二次函數(shù)的頂點在第三象限；（3）如圖，過作軸于，設(shè)平移后的函數(shù)解析式為：，其頂點坐標橫為：，當時，，則的頂點坐標為：，在直線上，，解得：，，B在y軸的負半軸，，，，，，當時，，此時有最大值，最大值為．

【點睛】此題考查了求二次函數(shù)解析式及頂點坐標，平移的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的特征，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識，綜合求解．題型三：角度問題一、解答題1．（2023·安徽宣城·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的頂點D的坐標為，并與x軸交于點A，點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P是拋物線上一點（不與點D重合），直線將的面積分成兩部分，求點P的坐標；(3)點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度在y軸運動，運動時間為t秒，當時，求t的值．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的表達式為：，再把點B的坐標代入，求a，即可；（2）先求出，然后分兩種情況討論：當點P在點D的右側(cè)時；當點P在點D的左側(cè)時，分別求出對應的直線的表達式，即可求解；（3）在線段上取點N，使，連接，可得，從而得到，過點N作于點H，先求出，在中，可得，從而得到，進而得到，然后分兩種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵頂點D的坐標為，∴可設(shè)拋物線的表達式為：，將點B的坐標代入上式得：，解得：，∴拋物線的表達式為：；（2）解：令，，解得：，∴點，∴，當點P在點D的右側(cè)時，設(shè)直線交x軸于點T，如圖，∵直線將的面積分成兩部分，∴將的面積分成兩部分，即點T將分為兩部分，∴，∴，即點，設(shè)直線的表達式為：，把點，代入得：，解得：，∴直線的表達式為：，聯(lián)立：解得：或，∴此時點P的坐標為；當點P在點D的左側(cè)時，同理得，直線的表達式為：，聯(lián)立，解得：或，∴點P的坐標為，綜上，點P的坐標為或；（3）解：如圖，在線段上取點N，使，連接，∴，當時，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，過點N作于點H，∵，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴，當點Q在x軸下方時，∴，∴點Q的坐標為，∴，∵點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度在y軸運動，∴；當點Q在x軸上方時，同理得，點Q的坐標為，∴，∵點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度在y軸運動，∴；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積問題，解直角三角形，利用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽合肥·九年級?？茧A段練習）如圖，已知拋物線的頂點M（0，4），與x軸交于A（－2，0）、B兩點，(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點C（0，2），P為拋物線上一點，過點P作PQy軸交直線BC于Q（P在Q上方），再過點P作PRx軸交直線BC于點R，若△PQR的面積為2，求P點坐標；(3)如圖2，在拋物線上是否存在一點D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D點坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)P（1，3）；(3)存在，D點坐標為（，）．【分析】（1）先設(shè)出拋物線的頂點式，再代入點A的坐標，即可得出拋物線的解析式；（2）由頂點M（0，4），A（?2，0）可得B（2，0），則OC＝OB，可得∠OCB＝∠OBC＝45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠PQR＝∠PRQ＝45°，則PQ＝PR，根據(jù)△PQR的面積為2可得PQ＝2，求出直線BC的解析式為y＝?x＋2，設(shè)P（m，），則Q（m，?m＋2），PQ＝，解方程求出m的值即可；（3）過點M作MN⊥AD于N，過點N分別作NE⊥y軸于E，NF⊥x軸于F，證明△MNE≌△ANF（AAS），可得NE＝NF，設(shè)N（n，?n＋2），則n＝?n＋2，求出n＝1，可得N（1，1），求出直線AN的解析式為y＝，聯(lián)立即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點M（0，4），∴設(shè)拋物線的解析式為：，∵拋物線與x軸交于A（?2，0），∴4a＋4＝0，解得a＝?1，∴拋物線的解析式為：；（2）解：∵頂點M（0，4），A（?2，0），∴B（2，0），∵點C（0，2），∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQy軸，PRx軸，∴∠PRQ＝∠OBC＝45°，∠PQR＝∠OCB＝45°，∴∠PRQ＝∠PQR＝45°，∴PQ＝PR，∵△PQR的面積為2，∴PR·PQ＝＝2，∴PQ＝2，∵C（0，2），∴設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋2，代入B（2，0）得：0＝2k＋2，解得：k＝－1，∴直線BC的解析式為y＝?x＋2，設(shè)P（m，），則Q（m，?m＋2），∴PQ＝，解得：m＝1或0（舍去），∴P（1，3）；（3）解：存在；過點M作MN⊥AD于N，過點N分別作NE⊥y軸于E，NF⊥x軸于F，∴NE⊥NF，∠MEN＝∠AFN＝90°，∴∠MNE＝∠ANF，∵∠MAD＝45°，MN⊥AD，∴MN＝AN，∴△MNE≌△ANF（AAS），∴ME＝AF，NE＝NF，設(shè)N（n，n），則ME＝4－n，AF＝n＋2，∴4－n＝n＋2，解得：n＝1，∴N（1，1），∵A（?2，0），設(shè)直線AN的解析式為y＝kx＋b，∴，解得，∴直線AN的解析式為y＝，聯(lián)立，解得：（舍去）或，∴D點坐標為（，）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)知識點，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知．（1）求m的值和直線對應的函數(shù)表達式；（2）P為拋物線上一點，若，請直接寫出點P的坐標；（3）Q為拋物線上一點，若，求點Q的坐標．【答案】（1），；（2），，；（3）【分析】（1）求出A，B的坐標，用待定系數(shù)法計算即可；（2）做點A關(guān)于BC的平行線，聯(lián)立直線與拋物線的表達式可求出的坐標，設(shè)出直線與y軸的交點為G，將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長度，可得到直線，聯(lián)立方程組即可求出P；（3）取點，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作于點，得直線對應的表達式為，即可求出結(jié)果；【詳解】（1）將代入，化簡得，則（舍）或，∴，得：，則．設(shè)直線對應的函數(shù)表達式為，將、代入可得，解得，則直線對應的函數(shù)表達式為．（2）如圖，過點A作∥BC，設(shè)直線與y軸的交點為G，將直線BC向下平移GC個單位，得到直線，由（1）得直線BC的解析式為，，∴直線AG的表達式為，聯(lián)立，解得：（舍），或，∴，由直線AG的表達式可得，∴，，∴直線的表達式為，聯(lián)立，解得：，，∴，，∴，，．（3）如圖，取點，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作于點，∵，∴AD=CD，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，則，．設(shè)，∵，，∴．由，則，即，解之得，．所以，又，可得直線對應的表達式為，設(shè)，代入，得，，，又，則．所以．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線交x軸于點A、B，交y軸于點，其中點B坐標為，同時拋物線還經(jīng)過點．（1）拋物線的解析式為_____________；（2）設(shè)拋物線的對稱軸與拋物線交于點E，與x軸交于點H，連接，將拋物線向下平移n個單位，當平分時，則n的值為_____________．【答案】或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出平移后點E的坐標為，平移后點C的坐標為，再證明，得到，則，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）由題意得，∴，∴拋物線解析式為，故答案為：；（2）∵原拋物線解析式為，∴平移后的拋物線解析式為，∴平移后點E的坐標為，平移后點C的坐標為，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．題型四：特殊三角形問題一、單選題1．（2022秋·安徽合肥·九年級?？茧A段練習）如圖，點A是拋物線與y軸的交點，軸交拋物線另一點于B，點C為該拋物線的頂點，若為等邊三角形，則a值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】過點C作于點D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，將點代入拋物線解析式，即可求解．【詳解】如圖，過點C作于點D，∵拋物線的對稱軸為為等邊三角形，且軸，∴．∵當時，，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022秋·安徽合肥·九年級校聯(lián)考期末）拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點M（x1，0），N（x2，0），且經(jīng)過點A（0，1），其中0＜x1＜x2．過點A的直線l與x軸交于點C，與拋物線交于點B（異于點A），滿足△CAN是等腰直角三角形，且S△BMN＝S△AMN．求該拋物線的解析式_____________．【答案】【分析】由點及是等腰直角三角形，可知，，由、兩點坐標可求直線，由，可知點縱坐標為，代入直線解析式可求點橫坐標，將、、三點坐標代入中，可求拋物線解析式．【詳解】解：如圖，由拋物線經(jīng)過，，，，，其中，可知拋物線開口向上，與軸兩交點在正半軸，點，是等腰直角三角形，，，設(shè)直線解析式為，將、兩點坐標代入，得，解得，直線解析式為，，兩三角形同底，的高為1，的高為，即點縱坐標為，把代入中，得，即，，把、、三點坐標代入中，得，解得，所以，拋物線解析式為，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷拋物線開口方向及大致位置，根據(jù)特殊三角形求直線解析式，根據(jù)面積法求點坐標，運用待定系數(shù)法求拋物線解析式．三、解答題3．（2022秋·安徽滁州·九年級校考階段練習）如圖，拋物線的對稱軸為，拋物線與x軸相交于A、B兩點與y軸交于點C，其中點A的坐標為(1)求點B的坐標；(2)若點P在AC下方的拋物線上，且，求點P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點G，使△ACG是直角三角形？若存在，求出符合條件的G點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，的坐標為或或或．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸為，點，即可求得點的坐標；（2）待定系數(shù)法求得拋物線解析式，進而求得的坐標，求得直線的解析式為，過點作軸的垂線，交于點，設(shè)，則，根據(jù)建立方程，解方程求得的值，即可求得點的坐標；（3）設(shè)，根據(jù)勾股定理求得的長，分三種情況討論，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）∵拋物線的對稱軸為，拋物線與x軸相交于A、B兩點，，∴（2）∵拋物線，中，，，∴拋物線解析式為，令，得，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，如圖，過點作軸的垂線，交于點，設(shè)，則，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴當時，，當時，，∴的坐標為：，；（3）∵拋物線對稱軸為，設(shè)，由，∴，，，設(shè)在拋物線的對稱軸上存在點G，使△ACG是直角三角形，則①當為斜邊時，即解得：∴的坐標為或②當為斜邊時，，即，解得，∴的坐標為，③當為斜邊時，，即，解得，∴的坐標為；綜上所述，點的坐標為或或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，面積問題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·安徽亳州·九年級?？茧A段練習）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．(1)求A點和點B的坐標；(2)判斷的形狀，證明你的結(jié)論；【答案】(1)；(2)是直角三角形，理由見解析．【分析】（1）令進行求解即可；（2）根據(jù)（1）以及題意可得A、B、C的坐標，然后根據(jù)兩點的距離公式及勾股定理的逆定理進行求解即可．【詳解】（1）解：當時，，，；（2）解：是直角三角形．理由如下：，，，，，，，△ABC是直角三角形．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，勾股定理的逆運用以及兩點距離公式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市廬陽中學校考期中）如圖1的平面直角坐標系中，等腰直角三角形的斜邊落在y軸的正半軸上，，點A與原點O重合．二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在y軸的正半軸依次取點，，，…，，使得以，，，…，，為斜邊的等腰直角三角形，，，…，的頂點，，，…，分別落在二次函數(shù)的圖象上（如圖2）．完成下列填空：______，______；(3)根據(jù)（2）觀察分析得到的規(guī)律，試寫出的長：______（用n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)(2)4，6(3)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的定義，先求出點的坐標，再將點的坐標代入即可；（2）分別過點、作y軸的垂線，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，將點、的坐標表示出來，載代入二次函數(shù)表達式即可求解；（3）根據(jù)（2）觀察分析得到的規(guī)律，即可進行解答．【詳解】（1）解：過點作軸，∵為等腰直角三角形，，，∴，即，解得：，∵軸，∴，根據(jù)勾股定理可得：，∴，將點代入得：，∴二次函數(shù)的解析式為：．（2）過點作軸，設(shè)點，∵為等腰直角三角形，軸，∴，∵．∴，則點，∵點在反比例函數(shù)上，∴，解得：或（舍），∴，過點作軸，設(shè)點，∵為等腰直角三角形，軸，∴，∵，，∴，則點，∵點在反比例函數(shù)上，∴，解得：或（舍），∴，故答案為：4，6．（3），，，……觀察地出：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式的方法以及等腰直角三角形三線合一的性質(zhì)．6．（2022秋·安徽蚌埠·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像交坐標軸于A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-4）三點，點P是直線BC下方拋物線上的一動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；（3）動點P運動到什么位置時，四邊形PBOC面積最大？求出此時點P坐標和四邊形PBOC的最大面積．【答案】（1）；（2）存在滿足條件的P點，其坐標為；（3）16．【分析】（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點縱坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標；（3）過P作PE⊥x軸，交x軸于點E，交直線BC于點F，用P點坐標可表示出PF的長，則可表示出四邊形PBOC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得四邊形PBOC面積的最大值及P點的坐標【詳解】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點坐標代入可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2-3x-4；（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖2，∴PO=PC，此時P點即為滿足條件的點，∵C（0，-4），∴D（0，-2），∴P點縱坐標為-2，代入拋物線解析式可得x2-3x-4=-2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在滿足條件的P點，其坐標為（，-2）．（3）∵點P在拋物線上，∴可設(shè)P（t，t2-3t-4），過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖1，∵B（4，0），C（0，-4），∴直線BC解析式為y=x-4，∴F（t，t-4），∴PF=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2+4t，∴==PF?OE+PF?BE+×OC?BO=PF(OE+BE)+×4×4=PF?OB+8=（-t2+4t）×4+8=-2（t-2）2+16，∴當t=2時，最大值為16，此時t2-3t-4=-6，∴當P點坐標為（2，-6）時，四邊形PBOC的最大面積為16．【點睛】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、方程思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應用，在（2）中確定出P點的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點坐標表示出四邊形PBOC的面積是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·安徽安慶·九年級校聯(lián)考階段練習）拋物線與x軸交于A，B兩點（OA＜OB），與y軸交于點C．(1)求點A，B，C的坐標；(2)點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時點E也從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，設(shè)點P的運動時間為t秒（0＜t＜2）．①過點E作x軸的平行線，與BC相交于點D（如圖所示），當t為何值時，的值最小，求出這個最小值并寫出此時點E，P的坐標；②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A（2，0），B（4，0），C（0，2）(2)①t=1時，有最小值1，此時E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）【分析】（1）在拋物線的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到結(jié)果；（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，通過△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得結(jié)果；②存在，求得拋物線的對稱方程為x=3，設(shè)F（3，m），當△EFP為直角三角形時，①當∠EPF=90°時，②當∠EFP=90°時，③當∠PEF=90°時，根據(jù)勾股定理列方程即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：在拋物線的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在拋物線的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）解：①由題意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴，，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始終為正數(shù)，且t=1時，有最大值1，∴t=1時，有最小值1，即t=1時，有最小值1，此時OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵拋物線的對稱軸方程為x=3，設(shè)F（3，m），∴，=，=，當△EFP為直角三角形時，當∠EPF=90°時，，即，解得：m=2，當∠EFP=90°時，，即，解得；m=0或m=1，不合題意舍去，∴當∠EFP=90°時，這種情況不存在，當∠PEF=90°時，，即，解得：m=7，綜上所述，F(xiàn)（3，2），（3，7）．【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的解析式求點的坐標，相似三角形的判定和性質(zhì)，求代數(shù)式的最值，勾股定理，存在性問題，在求有關(guān)存在性的問題是注意分類討論．8．（2023秋·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；（3）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積．【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）存在，P（，﹣2）；（3）當P點坐標為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．【分析】（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點縱坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標；（3）過P作PE⊥x軸，交x軸于點E，交直線BC于點F，用P點坐標可表示出PF的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△PBC面積的最大值及P點的坐標．【詳解】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點坐標代入可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖1，∴PO=PD，此時P點即為滿足條件的點，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點縱坐標為﹣2，代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在滿足條件的P點，其坐標為（，﹣2）；（3）∵點P在拋物線上，∴可設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC解析式為y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴當t=2時，S△PBC最大值為8，此時t2﹣3t﹣4=﹣6，∴當P點坐標為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．9．（2023·安徽六安·?？级＃┤鐖D，拋物線y＝ax2＋bx＋c與坐標軸交于點A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），點P為拋物線上動點，設(shè)點P的橫坐標為t．(1)若點C與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求C點的坐標及拋物線的解析式；(2)若點P在第四象限，連接PA、PE及AE，當t為何值時，△PAE的面積最大？最大面積是多少？(3)是否存在點P，使△PAE為以AE為直角邊的直角三角形，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)C（2，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3(2)當t時，S有最大值(3)存在，（﹣2，5）或（1，﹣4）【分析】（1）拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點B（﹣1，0）、E（3，0），則拋物線的對稱軸為x＝1，再利用拋物線的對稱性即可求得C點坐標；設(shè)拋物線的解析式為交點式y(tǒng)＝a（x﹣3）（x+1），把點A的坐標代入即可求得a的值，從而求得解析式；（2）如圖，過點P作y軸的平行線交AE于點H，由點A，E的坐標可求得直線AE的表達式；設(shè)點P（t，t2﹣2t﹣3），則可得點H的坐標，由△PAE的面積SPH×OE可得關(guān)于t的二次函數(shù)，即可求得最大值；（3）分∠PEA＝90°、∠PAE＝90°兩種情況，分別求解即可．【詳解】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點B（﹣1，0）、E（3，0），∴拋物線的對稱軸為x＝1，∵點C與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點A（0，﹣3），∴C（2，﹣3），設(shè)拋物線表達式為y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），把點A的坐標代入上述解析式中，得﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）如圖，過點P作y軸的平行線交AE于點H，由點A，E的坐標得直線AE的表達式為y＝x﹣3，設(shè)點P（t，t2﹣2t﹣3），則點H（t，t﹣3），∴△PAE的面積SPH×OE（t﹣3﹣t2+2t+3）（﹣t2+3t），∴當t時，S有最大值；（3）∵OE=OA=3，OE⊥OA，∴∠AEO＝∠EAO=45°，①當∠PEA＝90°時，∵PE⊥AE，∴直線PE與x軸的夾角為45°，∴PE與y軸的夾角為45゜∴PE與y軸交點的坐標為(0，3)設(shè)直線PE的表達式為y＝mx+3，將點E的坐標代入并解得m＝?1，∴直線PE的表達式為y＝﹣x+3，聯(lián)立得，解得x＝﹣2或x=3（不合題意，舍去）故點P的坐標為（﹣2，5），②當∠PAE＝90°時，∵PA⊥AE，∠EAO=45°，∴直線PE與y軸的夾角為45°，∴PE與x軸的夾角為45゜∴PE與x軸交點的坐標為(?3，0)設(shè)直線PE的表達式為y＝nx?3，將點(?3，0)代入并解得n＝?1，∴直線PE的表達式為y＝﹣x?3，聯(lián)立得，解得x＝1或x=0（不合題意，舍去）∴點P（1，﹣4），綜上，點P的坐標為（﹣2，5）或（1，﹣4）．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合運用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)及三角形的面積等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·安徽·統(tǒng)考二模）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y＝x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．（1）求該拋物線的解析式；（2）當0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值；（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C、P、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請寫出所符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）E（，﹣）；（3）（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）或（2，）【分析】（1）用直線表達式求出點B、C的坐標，將點B、C的坐標代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；（3）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝3，故點B、C的坐標為（3，0）、（0，3），將點B、C的坐標代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+3，令y＝0，則x＝1或3，故點A（1，0），點P（2，﹣1）；（2）過點E作EH∥y軸交BC于點H，設(shè)點E（x，x2﹣4x+3），則點H（x，﹣x+3）S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，當x＝時，S△CBE有最大值，點E（，﹣）；（3）點C（0，3）、點P（2，﹣1），設(shè)點M（2，m），CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，①當CM＝CP時，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；②當CP＝PM時，同理可得：m＝﹣1±2；③當CM＝PM時，同理可得：m＝；故點M坐標為：（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．11．（2022秋·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知拋物線經(jīng)過A、B（-3，0）、C（0，3）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使點M到點O和點C的距離之和最小，求出此時點M的坐標；（3）設(shè)點P為拋物線的對稱軸上的一個動點，直接寫出使△BPC為直角三角形時點P的坐標．【答案】（1）；（2）M（-1，）；（3），，，【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法先把點B、C兩點坐標代入拋物線解析式，解方程組即可求得拋物線的解析式；（2）過C作對稱軸x=-1的對稱點D，根據(jù)OM+CM=OM+MD≤OD，當D、M、O三點共線時其和最短，求出直線OD的解析式為：，求當x=-1時，即可．；（3）設(shè)P（-1，m），又因為B（-3，0），C（0，3），PB=，PC=，BC=,再分三種情況，以點P為直角頂點，以點C為直角頂點，以點B為直角頂點分別討論構(gòu)造方程,求出符合題意m值，即可求出點P的坐標．【詳解】解：（1）把B（-3，0）、C（0，3）分別代入中，

得．∴．∴拋物線的解析式為：；（2）∵拋物線的對稱軸是直線x=-1，作點C（0，3）關(guān)于直線x=-1的對稱點D（-2，3）．拋物線的對稱軸上找一點M，使點M到點O和點C的距離之和最小，OM+CM=OM+MD≤OD，當D、M、