九年級數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點專項突破08相似三角形中的“一線三等角”模型（原卷版）

重難點專項突破08相似三角形中的“一線三等角”模型【知識梳理】一線三等角指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角?；蚪小癒字模型”。三直角相似可以看著是“一線三等角”中當角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進行轉(zhuǎn)化。一般類型：基本類型：同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”【考點剖析】例1.如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，，點E在邊BC上，且， AD=10，求的面積．AABCDE例2.已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的長．例3.已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中點D為頂點作， 分別交AB、AC于點E、F，AE=6，AF=4，求底邊BC的長．AABCDEF【過關(guān)檢測】一．選擇題（共3小題）1．（2020·安徽·校聯(lián)考三模）如圖，為的邊上一點，，，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2017?利辛縣一模）如圖，D、E、F分別是等腰三角形ABC邊BC、CA、AB上的點，如果AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，那么AF的長為（）A．5.5 B．4 C．4.5 D．3.53．（2022秋?瑤海區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于點E，下列結(jié)論：①△ADE與△ACD一定相似；②△ABD與△DCE一定相似；③當AD＝3時，CE＝；④0＜CE≤2．其中正確的結(jié)論有幾個？（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題（共2題）4．（2022·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個動點，連接BE，取BE的中點G，點G繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點F，連接CF，在點E從A到D的運動過程中，點G的運動路徑=________，△CEF面積的最小值是________．5．（2022秋·安徽淮北·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________三．解答題（共5小題）6．（2021秋?大觀區(qū)校級期中）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．7．（2022?碭山縣模擬）如圖1，在四邊形ABCD中，AC是對角線，且AB＝AC．F是BC邊上一動點，連接AF，DF，DF交AC于點E，其中∠DAF＝90°，∠AFD＝∠B．（1）求證：AC?EC＝BF?CF；（2）若AB＝AC＝10，BC＝16．①如圖2，若DF∥AB，求的值；②如圖3，若DF＝DC，求△DCF的面積．8．（2017秋?固鎮(zhèn)縣月考）已知：如圖．△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）如果，AB＝3，EC＝，求DC的長．9．（2022秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，于，于，試說明：（1）（2）10．（2020·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，點E是對角線AC上一動點，連接BE，作CF⊥BE分別交BE于點G，AB于