九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破11解直角三角形之“疊合式”模型（解析版）

重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破11解直角三角形之“疊合式”模型【知識(shí)梳理】【考點(diǎn)剖析】一、單選題1．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，若米，則點(diǎn)到直線距離為（

）．

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)到直線距離為米，根據(jù)正切的定義用表示出、，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到直線距離為米，在中，，在中，，由題意得，，解得，（米，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·重慶綦江·九年級(jí)重慶市綦江中學(xué)校考階段練習(xí)）一天，小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場(chǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿高度，他們首先在斜坡底部C地測(cè)得旗桿頂部A的仰角為45°，然后上到斜坡頂部D點(diǎn)處再測(cè)得旗桿頂部A點(diǎn)仰角為37°（身高忽略不計(jì)）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡長(zhǎng)為2.6米，旗桿AB所在旗臺(tái)高度EF為1.4米，旗臺(tái)底部、臺(tái)階底部、操場(chǎng)在同一水平面上．則請(qǐng)問(wèn)旗桿自身高度AB為（）米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8【答案】B【分析】如圖，作交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于．設(shè)，在中，根據(jù)，構(gòu)造方程解決問(wèn)題即可．【詳解】解：如圖，作DH⊥FC交FC的延長(zhǎng)線于H，延長(zhǎng)AB交CF的延長(zhǎng)線于T，作DJ⊥AT于J．由題意四邊形EFTB、四邊形DHTJ是矩形，∴BT=EF=1.4米，JT=DH，在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=，∴DH=1（米），CH=2.4（米），∵∠ACT=45°，∠T=90°，∴AT=TC，設(shè)AT=TC=x．則DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75，∴=0.75，解得x=2，∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用測(cè)量高度問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，要熟練掌握仰角，坡度等概念，為中考常見(jiàn)題型．二、填空題3．（2021春·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，某高速公路建設(shè)中需要測(cè)量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°．若飛機(jī)離地面的高度CO為900m，且點(diǎn)O，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為_(kāi)______．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（900﹣300）米【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AO和OB，即可求出結(jié)論．【詳解】解：由于CD∥OB，∴∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°在RtACO中，∠CAO＝60°∴AO＝＝300米，在RtOCB，∠B＝45°∴OB＝=900（米）．∴AB＝OB﹣OA＝（900﹣300）（米）故答案為：（900﹣300）米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問(wèn)題，題目難度不大，解決本題的關(guān)鍵是利用銳角三角函數(shù)求出AO和OB．4．（2020·山西太原·統(tǒng)考二模）圭表是度量日影長(zhǎng)度的一種天文儀器，由“圭”和“表兩個(gè)部件組成，垂直于地面的直桿叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以測(cè)量影長(zhǎng)的標(biāo)尺叫“圭”如圖是小彬根據(jù)學(xué)校所在地理位置設(shè)計(jì)的圭表示意圖，其中冬至?xí)r正午陽(yáng)光入射角，夏至?xí)r正午陽(yáng)光入射角．已知“表”高，則“圭”上所刻冬至線與夏至線之間的距離約為_(kāi)______．（精確到；參考數(shù)據(jù)：）【答案】10【分析】分別在與中，運(yùn)用正切函數(shù)解題，分別計(jì)算DC，BC的長(zhǎng)，再求二者的差即可解題．【詳解】根據(jù)題意，在中，，即在中，，即即故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，其中涉及銳角三角函數(shù)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．（2020秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，為了測(cè)量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊取兩個(gè)點(diǎn)B、C，測(cè)得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的長(zhǎng)為200米，則河的寬度為_(kāi)________．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（+1）m【分析】直接過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用tan30°==，進(jìn)而得出答案．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵∠β=45°，∠ADC=90°，∴AD=DC，設(shè)AD=DC=xm，則tan30°=，解得：x=100（+1），答：河的寬度為100（+1）m．故答案是：100（+1）m．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、特殊角的的三角函數(shù)值，正確得出AD=CD是解題關(guān)鍵．三、解答題6．（2021秋·湖南永州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，王剛想測(cè)量樓CD的高度，樓在圍墻內(nèi)，王剛只能在圍墻外測(cè)量，他無(wú)法測(cè)得觀測(cè)點(diǎn)到樓底的距離，于是王剛在A處仰望樓頂，測(cè)得仰角為37°，再往樓的方向前進(jìn)30米至B處，測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?3°（A，B，C三點(diǎn)在一條直線上），求樓CD的高度（，，結(jié)果精確到1米，王剛的身高忽略不計(jì)）．【答案】樓CD的高度為52米【分析】設(shè)CD=xm，根據(jù)AC=BC-AB，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；【詳解】解：設(shè)CD=xm，在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AC=，同法可得：BC=，∵AC—BC=AB，∴﹣=30，解得x=52，答：樓CD的高度為52米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．7．（2020·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）科技改變生活，時(shí)代將對(duì)我們的生活產(chǎn)生意想不到的改變．某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量信號(hào)塔的高度，如圖，在起點(diǎn)處用高米(米)的測(cè)量?jī)x測(cè)得信號(hào)塔的頂端的仰角為，在同一剖面沿水平地面向前走米到達(dá)處，測(cè)得頂端的仰角為，求信號(hào)塔的高度約為多少米?(精確到米．參考數(shù)據(jù)：)【答案】該信號(hào)塔的高度約為米【分析】本題首先假設(shè)AB的長(zhǎng)度為x，繼而表示BE的長(zhǎng)度，利用正切三角函數(shù)表示DE，進(jìn)一步表示CE，最后再次利用正切三角函數(shù)列式求解．【詳解】由已知得：，，設(shè)為米，則米，在中，，，，在中，．，求解得：（米）．故該信號(hào)塔的高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于對(duì)各種三角函數(shù)概念的理解，并結(jié)合具體圖形情況，適時(shí)選取合適的三角函數(shù)以提升解題效率．8．（2020·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在一次空中表演中，水平飛行的殲——10飛機(jī)在點(diǎn)發(fā)現(xiàn)航展觀禮臺(tái)在俯角為21°方向上.飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)點(diǎn).此時(shí)測(cè)得點(diǎn)在點(diǎn)俯角為45°的方向上.請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛到點(diǎn)的正上方點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)、、在同一直線上），豎直高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：，，）【答案】豎直高度約為490米．【分析】根據(jù)題意直接利用解直角三角形的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖：∴∵∴∵∴∴．答：豎直高度約為490米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)題意利用三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．9．（2020秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，山頂上有一個(gè)信號(hào)塔AC，已知信號(hào)塔高AC＝16米，在山腳下點(diǎn)B處測(cè)得塔底C的仰角是30°，塔頂A的仰角是45°，求山高CD（點(diǎn)A，C，D在同一條豎直線上）．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】分別解和，得到、，根據(jù)即可求解．【詳解】解：在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2020秋·四川涼山·九年級(jí)階段練習(xí)）四川省委書(shū)記杜青林、國(guó)家旅游局副局長(zhǎng)張希欽2006年12月16日向獲得“中國(guó)優(yōu)秀旅游城市”稱號(hào)的西昌市授牌，并修建了標(biāo)志性建筑——馬踏飛燕，如圖．某學(xué)習(xí)小組把測(cè)量“馬踏飛燕”雕塑的最高點(diǎn)離地面的高度作為一次課題活動(dòng)，制定了測(cè)量方案，并完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)得結(jié)果如下表：課題測(cè)量“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度測(cè)量示意圖如圖，雕塑的最高點(diǎn)B到地面的高度為，在測(cè)點(diǎn)C用儀器測(cè)得點(diǎn)B的仰角為α，前進(jìn)一段距離到達(dá)測(cè)點(diǎn)E，再用該儀器測(cè)得點(diǎn)B的仰角為β，且點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)A，C，E在同一條直線上．測(cè)量數(shù)據(jù)的度數(shù)的度數(shù)的長(zhǎng)度儀器（）的高31°42°3米1.65米請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度（結(jié)果保留到十分位）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】米【分析】在兩個(gè)直角三角形中，用BG表示DG、FG，進(jìn)而用DG?FG＝DF＝3列方程求出BG即可．【詳解】如圖，延長(zhǎng)DF與AB交于點(diǎn)G，設(shè)BG＝x米，在Rt△BFG中，F(xiàn)G＝，在Rt△BDG中，，由DG?FG＝DF得，，即，解得，x＝5.4，∴AB＝AG＋BG＝1.65＋5.4＝7.057.1（米），答：這座“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度為7.1米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，用BG表示DG、FG是列方程求解的關(guān)鍵．11．（2020春·新疆·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度，如果標(biāo)桿BE長(zhǎng)1.2m，測(cè)得AB=1.6m，BC=8.4m，樓高CD是多少？【答案】樓高CD是7.5m【分析】先根據(jù)題意得出△ABE∽△ACD，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出CD的值．【詳解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，，∵BE=1.2，AB=1.6，BC=8.4，∴AC=10，∴CD=7.5．答：樓高CD是7.5m．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用．12．（2019·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組欲利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量白塔的高度，測(cè)量過(guò)程如下：如圖，先在點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂仰角為，然后沿方向前行12米到達(dá)點(diǎn)處，在點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂仰角為，已知測(cè)角儀高為1米，、、三點(diǎn)在一條直線上，求塔的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】塔的高度為米.【分析】記EF的延長(zhǎng)線交CD于G，首先證明FG＝DG，在Rt△DEG中，求出x即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如解圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則.根據(jù)題意得：米，米，設(shè)米，∵在中，，∴米，在中，，∵，∴，解得，∴米，答：塔的高度為米.【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2020·河南商丘·校考模擬預(yù)測(cè)）炎黃二帝巨型塑像位于河南省鄭州市西北部三十公里之處的黃河風(fēng)景名勝區(qū)向陽(yáng)山（始祖山）上，炎黃二帝巨塑背依邙山，面向黃河．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)為測(cè)量像體的整體高度，在地面上選取兩點(diǎn)和，且點(diǎn)，及其中像體在同一平面內(nèi)，像體底部與點(diǎn)，在同一條直線上，同學(xué)們利用高1m的測(cè)傾儀在處測(cè)得像頂?shù)难鼋菫?，在處測(cè)得像頂?shù)难鼋菫?，且．根?jù)測(cè)量小組提供的數(shù)據(jù)，求該塑像的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，．）【答案】該塑像的高度約為．【分析】延長(zhǎng)CD交MN于E，則CE⊥MN，NE=BD=AC=1m，∠MDE=45°，∠MCE=35°，CD=AB=45m，在Rt△DEM中，求出ME=DE，在Rt△CEM中，利用勾股定理求出ME的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】延長(zhǎng)交于，如圖所示：由題意得：，，，，在中，，∴，在中，，∴，解得：，∴；答：該塑像的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角問(wèn)題；通過(guò)作輔助線得出直角三角形，正確求解是解題的關(guān)鍵．14．（2021·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，一艘漁船以40海里/小時(shí)的速度由西向東追趕魚(yú)群，在處測(cè)得小島在漁船的北偏東方向；半小時(shí)后，漁船到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得小島在漁船的北偏東方向．已知以小島為中心，周?chē)?8海里以內(nèi)為軍事演習(xí)著彈危險(xiǎn)區(qū)．如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群，是否有著彈危險(xiǎn)？【答案】如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群有著彈危險(xiǎn)，詳見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意可知，實(shí)質(zhì)是比較C點(diǎn)到AB的距離與18的大?。虼俗鰿D⊥AB于D點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．【詳解】有著彈危險(xiǎn)．理由如下：作于，根據(jù)題意，，，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，答：如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群有著彈危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角問(wèn)題，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，掌握方位角的概念、熟記含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2020春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)河南師大附中校考階段練習(xí)）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)課題是“測(cè)量物體高度”．小組成員小明與小紅分別采用不同的方案測(cè)量同一個(gè)底面為圓形的古塔高度，以下是他們研究報(bào)告的部分記錄內(nèi)容：課題：測(cè)量古塔的高度小明的研究報(bào)告小紅的研究報(bào)告圖示測(cè)量方案與測(cè)量數(shù)據(jù)

用距離地面高度為1.6m的測(cè)角器測(cè)出古塔頂端的仰角為35°，再用皮尺測(cè)得測(cè)角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離為30m．在點(diǎn)A用距離地面高度為1.6m的測(cè)角器測(cè)出古塔頂端的仰角為17°，然后沿AD方向走58.8m到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)出古塔頂端的仰角為45°．參考數(shù)據(jù)sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，≈1.41計(jì)算古塔高度（結(jié)果精確到0.1m）30×tan35°+1.6≈22.6（m）（1）寫(xiě)出小紅研究報(bào)告中“計(jì)算古塔高度”的解答過(guò)程；（2）數(shù)學(xué)老師說(shuō)小紅的結(jié)果較準(zhǔn)確，而小明的結(jié)果與古塔的實(shí)際高度偏差較大．針對(duì)小明的測(cè)量方案分析測(cè)量發(fā)生偏差的原因；（3）利用小明與小紅的測(cè)量數(shù)據(jù)，估算該古塔底面圓直徑的長(zhǎng)度為m．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）小明測(cè)量的只是測(cè)角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，不是測(cè)量測(cè)角器所在位置與底面圓心的最短距離；（3）12．【分析】（1）設(shè)CH＝x，在Rt△CHF中根據(jù)∠CFH＝∠FCH＝45°，可知CH＝FH＝x，在Rt△CHE中根據(jù)tan∠CEH＝可得出x的值，由CD＝CH+DH即可得出結(jié)論；（2）小明測(cè)量的只是測(cè)角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，不是測(cè)量測(cè)角器所在位置與底面圓心的最短距離；（3）根據(jù)小明與小紅的計(jì)算結(jié)果得出古塔底面的半徑，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)CH＝x，在Rt△CHF中，∵∠CFH＝∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝x，在Rt△CHE中，∵tan∠CEH＝，∴＝tan17°＝0.30，∴x＝25.2，即CH＝25.2（m），∴CD＝CH+DH＝25.2+1.6＝26.8（m），答：古塔CD的高度為26.8m；（2）原因：小明測(cè)量的只是測(cè)角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，不是測(cè)量測(cè)角器所在位置與底面圓心的最短距離．（3）如圖，在EH上取一點(diǎn)P使∠CPH＝35°，則PG＝30，在Rt△CHP中，CH＝25.2，∴PH＝＝＝36，∴GH＝PH﹣PG＝6，∴該古塔底面圓直徑的長(zhǎng)度＝2×6＝12（m）．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、填空題1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個(gè)觀測(cè)站，站在站的正東方向上，從站測(cè)得船在北偏東的方向上，從站測(cè)得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是________．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，然后根據(jù)等腰三角形和判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用即可求出答案．【詳解】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，

根據(jù)題意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=4km，在Rt△CBD中，∴CD=BC?sin60°()∴船C到海岸線的距離是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用－方向角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義．2．（2023·湖北黃石·?？家荒＃┯蓝ㄋ潜本﹫@博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌．如圖，在A處測(cè)得∠CAD＝30°，在B處測(cè)得∠CBD＝45°，并測(cè)得AB＝52米，那么永定塔的高CD約是_____米．（≈1.4，≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】74【分析】首先證明BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案為74，【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．二、解答題3．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在一個(gè)坡度的山坡的頂端處豎直立著一個(gè)電視發(fā)射塔．為測(cè)得電視發(fā)射塔的高度，小明站在山腳的平地處測(cè)得電視發(fā)射塔的頂端的仰角為40°，若測(cè)得斜坡長(zhǎng)為米，點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離米，求電視發(fā)射塔的高度．（參考數(shù)值：，，，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】85米【分析】如圖，根據(jù)坡比設(shè)BE=x，EC=2x，在RtBEC中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程求出BE和CE；在中，利用正切的定義求出AE問(wèn)題得解．【詳解】解：如圖，作交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，∵，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得，解得，∴（米），（米），∴（米），在中，∵，∴，∴（米），答：電視發(fā)射塔的高度約為85米．【點(diǎn)睛】本題考查了坡比的概念、仰角概念及銳角三角函數(shù)定義，要求學(xué)生能借助仰角、坡比構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．4．（2022春·北京東城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，試求CD的長(zhǎng)．【答案】15﹣5【分析】過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC?tan60°＝10，∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．∴BM＝BC?sin30°＝10×＝5，CM＝BC?cos30°＝10×＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)．關(guān)鍵是能通過(guò)解直角三角形求出線段CM，MD的長(zhǎng)．5．（2022春·江蘇鹽城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）為了測(cè)量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂測(cè)得處的俯角為，處的俯角為，乙在山下測(cè)得，之間的距離為100米．已知，，在同一水平面的同一直線上，求山高（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】米【分析】設(shè)，由題意可知，，CD=100米，即可得，，在中，由可得，由此即可求得，即可得山高為米．【詳解】解：設(shè)，由題意可知：，，∴∴，在中，∴，∴解得：，∴山高為米．【點(diǎn)睛】本考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（2021·貴州銅仁·統(tǒng)考三模）如圖，小明去觀賞一棵千年古銀杏樹(shù)，當(dāng)走到點(diǎn)A處時(shí)，測(cè)得銀杏樹(shù)CD的仰角為30°，當(dāng)向樹(shù)前進(jìn)40米到B處時(shí)，又測(cè)得樹(shù)頂端C的仰角為75°．請(qǐng)求出這棵千年古銀杏樹(shù)的高．（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：tan75°＝2+，＝1.732，＝1.414）【答案】27.3米【分析】通過(guò)解直角△ACD得到：AD=CD；通過(guò)解直角△BCD得到BD=【詳解】設(shè)CD=x米．在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴tan30°=，∴AD=x，∴BD=AD-AB=x-40，在Rt△BCD中，tan75°=，∴2+=，解得x≈27.3，答：這棵千年古銀杏樹(shù)的高為27.3米．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．7．（2021秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點(diǎn)處測(cè)得小島在北偏東方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛到達(dá)處，這時(shí)小島在船的北偏東方向海里處．（1）求輪船從處到處的航速．（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過(guò)多少時(shí)間輪船才恰好位于小島的東南方向？【答案】（1）海里/小時(shí)．（2）小時(shí)．【分析】（1）過(guò)作，利用特殊三角函數(shù)解直角三角形，分別求得OC、BC、AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)速度=路程÷時(shí)間解答即可；（2）如圖，根據(jù)題意可判斷△OCD為等腰直角三角形，則CD=OC，進(jìn)而可得BD的長(zhǎng)，再由時(shí)間=路程除速度求解即可．【詳解】（1）過(guò)作，由題意得海里，，，（海里），（海里），（海里），（海里），速度：（海里/小時(shí)）．（2）如圖，由題意，，點(diǎn)在的東南方向，∴△OCD為等腰直角三角形，∴（海里），（海里），（小時(shí)），經(jīng)過(guò)小時(shí)后到達(dá)．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，理解方位角的概念，熟練運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形是解答的關(guān)鍵．8．（2023春·重慶渝北·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌，小明在斜坡的坡腳處測(cè)得宣傳牌底部的仰角為，沿斜坡向上走到處測(cè)得宣傳牌頂部的仰角為，已知斜坡的坡度，米，米，求宣傳牌的高度．（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，【答案】宣傳牌的高度為2米．【分析】過(guò)E分別作CD、AC的垂線，設(shè)垂足為F、C，則CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可．【詳解】解：過(guò)分別作、的垂線，設(shè)垂足為、，則，，在中，斜坡的坡度，米，設(shè)米，米，，，米，米，在中，，米，（米），在中，（米），（米）．答：宣傳牌的高度為2米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問(wèn)題，正確作出輔助線、構(gòu)建直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題化歸為解直角三角形的問(wèn)題是解答此類(lèi)題的關(guān)鍵．9．（2023春·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，學(xué)?？萍夹〗M計(jì)劃測(cè)量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測(cè)得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛離地面1.6m，你能計(jì)算出塔的高度DE嗎？寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程．【答案】出塔的高度DE為131.6m．過(guò)程見(jiàn)解析．【分析】先根據(jù)等腰三角形的判定可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】解：由題意得：，，，，，在中，，，即塔的高度DE為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，線段和差等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．10．（2022·河南周口·周口市第一初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（如圖所示，城關(guān)幼兒園為加強(qiáng)安全管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45°降為30°，已知原滑滑板AB的長(zhǎng)為4米，點(diǎn)D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板會(huì)加長(zhǎng)多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米長(zhǎng)的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長(zhǎng)的空地，像這樣改造是否可行？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，以上結(jié)果均保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）【答案】（1）1.66米；（2）這樣改造能行．【分析】（1）滑滑板增加的長(zhǎng)度實(shí)際是（AD﹣AB）的長(zhǎng)．在Rt△ABC中，通過(guò)解直角三角形求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而在Rt△ACD中求出AD的長(zhǎng)得解；（2）分別在Rt△ABC、Rt△ACD中求出BC、CD的長(zhǎng)，即可求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出改造后滑滑板前方的空地長(zhǎng)．若此距離大于等于3米則這樣改造安全，反之則不安全．【詳解】（1）在Rt△ABC中，，∴，Rt△ACD中，，，（米）答：改善后滑滑板會(huì)加長(zhǎng)1.66米；（2）Rt△ACD中，，，∵．∴這樣改造能行．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，在直角三角形中正確利用三角函數(shù)，特別是特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1是某商場(chǎng)從一樓到二樓的自動(dòng)扶梯，圖2是側(cè)面示意圖，MN是二樓樓頂，MN∥PQ，點(diǎn)C在MN上，且位于自動(dòng)扶梯頂端B點(diǎn)的正上方，BC⊥MN．測(cè)得AB＝10米，在自動(dòng)扶梯底端A處測(cè)得點(diǎn)C的仰角為50°，點(diǎn)B的仰角為30°，求二樓的層高BC（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）【答案】米【分析】延長(zhǎng)CB交PQ于點(diǎn)D，在Rt△ADB中，求出BD，AD的長(zhǎng)，然后在直角△CDA中利用三角函數(shù)即可求得CD的長(zhǎng)，則BC即可得到．【詳解】解：延長(zhǎng)CB交PQ于點(diǎn)D．∵M(jìn)N∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．在Rt△ABD中，∵AB＝10米，∠BAD＝30°，∴（米），（米），在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝50°，∴（米），∴（米）．【點(diǎn)睛】本題考查仰角和坡度的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．12．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）某校初三課外活動(dòng)小組，在測(cè)量樹(shù)高的一次活動(dòng)中，如圖所示，測(cè)得樹(shù)底部中心到斜坡底的水平距離為.在陽(yáng)光下某一時(shí)刻測(cè)得米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為，樹(shù)影落在斜坡上的部分.已知斜坡的坡比i=1：，求樹(shù)高.