九年級數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點專項突破11解直角三角形之“疊合式”模型（原卷版）

重難點專項突破11解直角三角形之“疊合式”模型【知識梳理】【考點剖析】一、單選題1．（2022秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在處測得點在北偏東方向上，在處測得點在北偏東方向上，若米，則點到直線距離為（

）．

A．米 B．米 C．米 D．米2．（2021春·重慶綦江·九年級重慶市綦江中學(xué)校考階段練習(xí)）一天，小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場測量學(xué)校旗桿高度，他們首先在斜坡底部C地測得旗桿頂部A的仰角為45°，然后上到斜坡頂部D點處再測得旗桿頂部A點仰角為37°（身高忽略不計）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡長為2.6米，旗桿AB所在旗臺高度EF為1.4米，旗臺底部、臺階底部、操場在同一水平面上．則請問旗桿自身高度AB為（）米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8二、填空題3．（2021春·浙江杭州·九年級期末）如圖，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB，飛機上的測量人員在C處測得A、B兩點的俯角分別為60°和45°．若飛機離地面的高度CO為900m，且點O，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為_______．（結(jié)果保留根號）4．（2020·山西太原·統(tǒng)考二模）圭表是度量日影長度的一種天文儀器，由“圭”和“表兩個部件組成，垂直于地面的直桿叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以測量影長的標(biāo)尺叫“圭”如圖是小彬根據(jù)學(xué)校所在地理位置設(shè)計的圭表示意圖，其中冬至?xí)r正午陽光入射角，夏至?xí)r正午陽光入射角．已知“表”高，則“圭”上所刻冬至線與夏至線之間的距離約為_______．（精確到；參考數(shù)據(jù)：）5．（2020秋·九年級課時練習(xí)）如圖，為了測量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點A，又在河的另一岸邊取兩個點B、C，測得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的長為200米，則河的寬度為_________．（結(jié)果保留根號）三、解答題6．（2021秋·湖南永州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，王剛想測量樓CD的高度，樓在圍墻內(nèi)，王剛只能在圍墻外測量，他無法測得觀測點到樓底的距離，于是王剛在A處仰望樓頂，測得仰角為37°，再往樓的方向前進30米至B處，測得樓頂?shù)难鼋菫?3°（A，B，C三點在一條直線上），求樓CD的高度（，，結(jié)果精確到1米，王剛的身高忽略不計）．7．（2020·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）科技改變生活，時代將對我們的生活產(chǎn)生意想不到的改變．某數(shù)學(xué)興趣小組要測量信號塔的高度，如圖，在起點處用高米(米)的測量儀測得信號塔的頂端的仰角為，在同一剖面沿水平地面向前走米到達處，測得頂端的仰角為，求信號塔的高度約為多少米?(精確到米．參考數(shù)據(jù)：)8．（2020·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在一次空中表演中，水平飛行的殲——10飛機在點發(fā)現(xiàn)航展觀禮臺在俯角為21°方向上.飛機繼續(xù)向前飛行了800米到達點.此時測得點在點俯角為45°的方向上.請你計算當(dāng)飛機飛到點的正上方點時（點、、在同一直線上），豎直高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：，，）9．（2020秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，山頂上有一個信號塔AC，已知信號塔高AC＝16米，在山腳下點B處測得塔底C的仰角是30°，塔頂A的仰角是45°，求山高CD（點A，C，D在同一條豎直線上）．（結(jié)果保留根號）10．（2020秋·四川涼山·九年級階段練習(xí)）四川省委書記杜青林、國家旅游局副局長張希欽2006年12月16日向獲得“中國優(yōu)秀旅游城市”稱號的西昌市授牌，并修建了標(biāo)志性建筑——馬踏飛燕，如圖．某學(xué)習(xí)小組把測量“馬踏飛燕”雕塑的最高點離地面的高度作為一次課題活動，制定了測量方案，并完成了實地測量，測得結(jié)果如下表：課題測量“馬踏飛燕”雕塑最高點離地面的高度測量示意圖如圖，雕塑的最高點B到地面的高度為，在測點C用儀器測得點B的仰角為α，前進一段距離到達測點E，再用該儀器測得點B的仰角為β，且點A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一豎直平面內(nèi)，點A，C，E在同一條直線上．測量數(shù)據(jù)的度數(shù)的度數(shù)的長度儀器（）的高31°42°3米1.65米請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點離地面的高度（結(jié)果保留到十分位）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）11．（2020春·新疆·九年級?？计谀┤鐖D，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，如果標(biāo)桿BE長1.2m，測得AB=1.6m，BC=8.4m，樓高CD是多少？12．（2019·安徽·九年級專題練習(xí)）某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)興趣小組欲利用所學(xué)知識測量白塔的高度，測量過程如下：如圖，先在點處用測角儀測得塔頂仰角為，然后沿方向前行12米到達點處，在點處用測角儀測得塔頂仰角為，已知測角儀高為1米，、、三點在一條直線上，求塔的高度.（結(jié)果保留根號）13．（2020·河南商丘·校考模擬預(yù)測）炎黃二帝巨型塑像位于河南省鄭州市西北部三十公里之處的黃河風(fēng)景名勝區(qū)向陽山（始祖山）上，炎黃二帝巨塑背依邙山，面向黃河．?dāng)?shù)學(xué)活動小組的同學(xué)為測量像體的整體高度，在地面上選取兩點和，且點，及其中像體在同一平面內(nèi)，像體底部與點，在同一條直線上，同學(xué)們利用高1m的測傾儀在處測得像頂?shù)难鼋菫?，在處測得像頂?shù)难鼋菫?，且．根?jù)測量小組提供的數(shù)據(jù)，求該塑像的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，．）14．（2021·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，一艘漁船以40海里/小時的速度由西向東追趕魚群，在處測得小島在漁船的北偏東方向；半小時后，漁船到達處，此時測得小島在漁船的北偏東方向．已知以小島為中心，周圍18海里以內(nèi)為軍事演習(xí)著彈危險區(qū)．如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有著彈危險？15．（2020春·河南新鄉(xiāng)·九年級河南師大附中?？茧A段練習(xí)）某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的活動課題是“測量物體高度”．小組成員小明與小紅分別采用不同的方案測量同一個底面為圓形的古塔高度，以下是他們研究報告的部分記錄內(nèi)容：課題：測量古塔的高度小明的研究報告小紅的研究報告圖示測量方案與測量數(shù)據(jù)

用距離地面高度為1.6m的測角器測出古塔頂端的仰角為35°，再用皮尺測得測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離為30m．在點A用距離地面高度為1.6m的測角器測出古塔頂端的仰角為17°，然后沿AD方向走58.8m到達點B，測出古塔頂端的仰角為45°．參考數(shù)據(jù)sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，≈1.41計算古塔高度（結(jié)果精確到0.1m）30×tan35°+1.6≈22.6（m）（1）寫出小紅研究報告中“計算古塔高度”的解答過程；（2）數(shù)學(xué)老師說小紅的結(jié)果較準(zhǔn)確，而小明的結(jié)果與古塔的實際高度偏差較大．針對小明的測量方案分析測量發(fā)生偏差的原因；（3）利用小明與小紅的測量數(shù)據(jù)，估算該古塔底面圓直徑的長度為m．【過關(guān)檢測】一、填空題1．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個觀測站，站在站的正東方向上，從站測得船在北偏東的方向上，從站測得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是________．

2．（2023·湖北黃石·?？家荒＃┯蓝ㄋ潜本﹫@博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌．如圖，在A處測得∠CAD＝30°，在B處測得∠CBD＝45°，并測得AB＝52米，那么永定塔的高CD約是_____米．（≈1.4，≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）二、解答題3．（2023秋·九年級單元測試）如圖所示，在一個坡度的山坡的頂端處豎直立著一個電視發(fā)射塔．為測得電視發(fā)射塔的高度，小明站在山腳的平地處測得電視發(fā)射塔的頂端的仰角為40°，若測得斜坡長為米，點到點的水平距離米，求電視發(fā)射塔的高度．（參考數(shù)值：，，，結(jié)果保留整數(shù)）4．（2022春·北京東城·八年級?？茧A段練習(xí)）一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，試求CD的長．5．（2022春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習(xí)）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂測得處的俯角為，處的俯角為，乙在山下測得，之間的距離為100米．已知，，在同一水平面的同一直線上，求山高（結(jié)果保留根號）．6．（2021·貴州銅仁·統(tǒng)考三模）如圖，小明去觀賞一棵千年古銀杏樹，當(dāng)走到點A處時，測得銀杏樹CD的仰角為30°，當(dāng)向樹前進40米到B處時，又測得樹頂端C的仰角為75°．請求出這棵千年古銀杏樹的高．（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：tan75°＝2+，＝1.732，＝1.414）7．（2021秋·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點處測得小島在北偏東方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛到達處，這時小島在船的北偏東方向海里處．（1）求輪船從處到處的航速．（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過多少時間輪船才恰好位于小島的東南方向？8．（2023春·重慶渝北·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌，小明在斜坡的坡腳處測得宣傳牌底部的仰角為，沿斜坡向上走到處測得宣傳牌頂部的仰角為，已知斜坡的坡度，米，米，求宣傳牌的高度．（測角器的高度忽略不計，參考數(shù)據(jù)：，，9．（2023春·湖南永州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，學(xué)?？萍夹〗M計劃測量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到達點B，測得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛離地面1.6m，你能計算出塔的高度DE嗎？寫出計算過程．10．（2022·河南周口·周口市第一初級中學(xué)校考模擬預(yù)測）（如圖所示，城關(guān)幼兒園為加強安全管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45°降為30°，已知原滑滑板AB的長為4米，點D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板會加長多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造是否可行？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，以上結(jié)果均保留到小數(shù)點后兩位）11．（2023春·江蘇南京·九年級南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1是某商場從一樓到二樓的自動扶梯，圖2是側(cè)面示意圖，MN是二樓樓頂，MN∥PQ，點C在MN上，且位于自動扶梯頂端B點的正上方，BC⊥MN．測得AB＝10米，在自動扶梯底端A處測得點C的仰角為50°，點B的仰角為30°，求二樓的層高BC（結(jié)果保留根號）（參考數(shù)據(jù)：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）12．（2023·廣東·模擬預(yù)測）某校初三課外活動小組，在測量樹高的一次活動中，如圖所示，測得樹底部中心到斜坡底的水平距離為.在陽光下某一時刻測得米的標(biāo)桿影長為，樹影落在斜坡上的部分.已知斜坡的坡比i=1：，求樹高.(結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，≈1.73)13．（2022秋·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考期末）2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，成都市天府廣場舉行了盛大的升旗儀式.我市部分學(xué)生有幸見證了這一激動人心的時刻，并在現(xiàn)場作了如下測量工作；身高1.8米的某同學(xué)（圖中AE部分）在護旗手開始走正步的點A處測得旗桿頂部D的仰角為，在護旗手結(jié)束走正步的點B處測得旗桿