2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學考點《選擇性必修第一冊常考123題》含答案解析

高中高中專題01高二上期末真題精選（?？?23題23類考點專練）用基底表示向量空間向量共面空集中兩個向量乘銳角（鈍角）借助向量證明平行（垂直）關(guān)系借助向量求點到直線距離向量法求異面直線所成角向量法解決線面角問題向量法解決二面角問題向量法解決點到平面的距離問題直線的傾斜角和斜率求直線方程兩條直線平行于垂直的判斷直線中的距離問題二元二次方程表示圓的條件求圓的方程直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系圓錐曲線中的定義問題圓錐曲線中上的點到定點的和差問題焦點三角形問題離心率問題弦長問題（含焦點弦）中點弦問題高中高中一、用基底表示向量（共3小題）1．（23-24高一下·重慶·期末）如圖，在三棱錐中，為的中點，設(shè)，則用表示為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分別是的中點，，則（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·浙江金華·期末）如圖，在四面體中，分別是上的點，且是和的交點，以為基底表示，則．二、空間向量共面（共3小題）1．（22-23高二上·遼寧丹東·期末）已知空間向量，，，若，，共面，則實數(shù)的值為（

）A． B．6 C． D．122．（22-23高二上·浙江寧波·期末）對空間中任意一點和不共線的三點，能得到在平面內(nèi)的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在空間四面體中，對空間內(nèi)任意一點，滿足，則下列條件中可以確定點與，，共面的為（

）A． B． C． D．三、空集中兩個向量乘銳角（鈍角）（共4小題）1．（23-24高一下·山西長治·期末）已知平面向量，滿足，，，夾角為，若與夾角為銳角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（20-21高三上·安徽安慶·期末）已知向量，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為．3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是.4．（23-24高一下·四川自貢·期末）已知向量．(1)證明：；(2)與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．四、借助向量證明平行垂直關(guān)系（共5小題）1．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）在直三棱柱中，四邊形是邊長為3的正方形，，，點分別是棱的中點．(1)求的值；(2)求證：．2．（23-24高二上·山東青島·期末）在正四棱柱中，，點在線段上，且，點為中點.

(1)求點到直線的距離；(2)求證：面.3．（23-24高三上·廣東深圳·期末）正方體中分別是的中點.(1)證明：平面；4．（23-24高二上·廣東深圳·期末）如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，高為4.

(1)證明：平面平面；5．（23-24高二上·北京東城·期末）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為，的中點.(1)證明：平面；五、借助向量求點到直線距離（共4小題）1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空間向量，，則B點到直線的距離為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三點，則到直線的距離為.3．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在空間直角坐標系中，，則點B到直線的距離為．4．（23-24高二上·陜西渭南·期末）直線的方向向量為，且過點，則點到的距離為．六、向量法求異面直線所成角（共5小題）1．（23-24高三上·江西·期末）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·江西上饒·期末）在正四棱柱中，，點是的中點，則與所成角的余弦值．3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是.4．（22-23高二上·湖南岳陽·期末）如圖，在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.(1)求證：平面.(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.5．（21-22高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）在四棱錐中，，，，，為正三角形，且平面平面ABCD.(1)求二面角的余弦值；(2)線段PB上是否存在一點M（不含端點），使得異面直線DM和PE所成的角的余弦值為？若存在，指出點M的位置；若不存在，請說明理由.七、向量法解決線面角問題（共7小題）1．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知四棱錐的底面為正方形，底面，點是線段上的動點，則直線與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．2．（22-23高二上·遼寧鞍山·期中）長方體中，，為線段上的動點，則與平面所成角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·云南迪慶·期末）如圖形中，底面是菱形，，與交于點，底面，為的中點，.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.4．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面體中，平面，平面.(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.5．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）如圖，在三棱柱中，底面，點到平面的距離為2.

(1)證明：.(2)若直線與之間的距離為4，求直線與平面所成角的正弦值.6．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將沿折起到位置，使得（如圖2）.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由7．（23-24高三上·寧夏石嘴山·期末）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，側(cè)面平面，，，為的中點.

(1)證明：平面；(2)點在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求的值.八、向量法解決二面角問題（共7小題）1．（23-24高二下·青?！て谀┤鐖D，在四棱錐中，底面，平面，.

(1)證明：平面.(2)若，，且直線與直線所成角的正切值為，求二面角的余弦值.2．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）如圖，在正四棱柱中，，，分別為的中點，為四邊形的中心．(1)證明：∥平面．(2)求二面角的余弦值．3．（23-24高二下·上海金山·期末）如圖，在中，.將繞旋轉(zhuǎn)得到，分別為線段的中點．(1)求點到平面的距離；(2)求二面角的正弦值．4．（23-24高二下·浙江溫州·期末）在三棱錐中，平面平面，，，分別為的中點.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.5．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知四邊形為正方形，為，的交點，現(xiàn)將三角形沿折起到位置，使得，得到三棱錐.(1)求證：平面平面；(2)棱上是否存在點，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.6．（23-24高二下·江蘇南京·期末）如圖，在直三棱柱中，為的中點．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求線段的長度．7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在長方體中，點，分別在，上，且，．(1)求證：平面；(2)當，，且平面與平面的夾角的余弦值為時，求的長．九、向量法解決點到平面的距離問題（共5小題）1．（23-24高一下·四川成都·期末）如圖，四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，E為中點，與交點為O．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)若，求點C到平面的距離．2．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點．

(1)證明：平面平面；(2)求到平面的距離．3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如圖，在直三棱柱中，是的中點.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.4．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）如圖所示，在直三棱柱中，，，，分別是的中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如圖所示，正方體的棱長是2，E、F分別是線段AB、的中點．(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離．十、直線的傾斜角和斜率（共4小題）1．（23-24高二上·河北滄州·期末）已知直線方程為，則其傾斜角為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·浙江寧波·期末）經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知兩點，若直線與線段有公共點，則直線傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）在平面直角坐標系中，是直線上不同的兩點，直線上的向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量．已知直線的一個方向向量坐標為，則直線的傾斜角為．十一、求直線方程（共5小題）1．（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知頂點，邊AC上的高BH所在直線方程為，邊AB上的中線CM所在的直線方程為.(1)求直線AC的方程；(2)求的面積.2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求過兩條直線與的交點，且分別滿足下列條件的直線方程.(1)過點；(2)平行于直線.3．（23-24高二上·四川南充·期末）已知直線．(1)若直線與直線垂直，且經(jīng)過，求直線的斜截式方程；(2)若直線與直線平行，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，求直線的一般式方程．4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的頂點的坐標分別為邊所在直線過點.(1)求邊所在直線的方程；(2)求對角線所在直線的方程.5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三個頂點分別為．(1)設(shè)線段的中點為，求中線所在直線的方程；(2)求邊上的高線的長．十二、兩條直線平行與垂直問題（共5小題）1．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知兩條不重合的直線和．若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．或12．（23-24高二上·江蘇連云港·期末）若兩條直線和平行，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．3．（23-24高一下·重慶·期末）已知直線和直線垂直，則實數(shù).4．（23-24高二上·四川綿陽·期末）已知直線：與直線：.若，則.5．（22-23高二上·遼寧·期中）已知直線：，直線：(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值．十三、直線中的距離問題（共3小題）1．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）點到直線l：的距離為（

）A． B． C． D．2．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知動點分別在直線與上移動，則線段的中點到坐標原點的距離可能為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·廣東江門·期末）已知直線與圓交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．十四、二元二次方程表示圓的條件（共4小題）1．（23-24高二上·廣東江門·期末）方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知點在圓外，則實數(shù)的取值范圍為.3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍為．4．（23-24高二上·廣東·期末）若方程表示一個圓，則實數(shù)m的取值范圍是．十五、求圓的方程（共3小題）1．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知圓過點，則圓的標準方程是（

）A．B．C．D．2．（23-24高三上·江蘇·期末）已知的頂點是，，，則的外接圓的方程是．3．（23-24高二上·河北滄州·期末）在△OAB中，O是坐標原點，，．(1)求AB邊上的高所在直線的方程；(2)求△OAB的外接圓方程十六、直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）1．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直線和曲線，當時，直線與曲線的交點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）已知直線和圓，則直線l與圓C（

）A．相切 B．相離C．相交 D．相交且過圓心3．（23-24高三上·河北秦皇島·期末）在平面直角坐標系中，若對任意，圓與直線恒相切，則直線的斜率是（

）A． B． C． D．4．（多選）（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直線與圓交于A，B兩點，則的值可以為（

）A．3 B．4 C．5 D．6十七、圓與圓的位置關(guān)系（共5小題）1．（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離2．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圓：（，）與圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．外離 D．與m的取值有關(guān)3．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）設(shè)，若圓與圓有公共點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）已知與圓：和圓：都相切的直線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍是．5．（23-24高二上·福建龍巖·期末）已知圓與圓外離，則實數(shù)a的取值范圍為.十八、圓錐曲線中的定義問題（共4小題）1．（23-24高二上·天津?qū)幒印て谀┰O(shè)橢圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，其中一個焦點在拋物線的準線上，且橢圓上的任意一點到兩個焦點的距離的和等于10，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．2．（多選）（23-24高二上·山東聊城·期末）若平面內(nèi)的動點Px,y滿足，則（

）A．時，點的軌跡為圓B．時，點的軌跡為圓C．時，點的軌跡為橢圓D．時，點的軌跡為雙曲線3．（多選）（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知圓，圓，圓，圓，直線，則（

）A．與圓都外切的圓的圓心軌跡是雙曲線的一支B．與圓外切?內(nèi)切的圓的圓心軌跡是橢圓C．過點且與直線相切的圓的圓心軌跡是拋物線D．與圓都外切的圓的圓心軌跡是一條直線4．（23-24高二下·上海寶山·期末）我國著名數(shù)學家華羅庚說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常?？梢郧擅畹亟鉀Q問題，所以“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學問題的重要思想方法之一.比如：這個代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點可得，方程的解為.十九、圓錐曲線中上的點到定點的和差問題（共6小題）1．（23-24高二上·山西太原·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，點M在C上，點N的坐標為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·山東青島·期末）設(shè)拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．53．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，點是拋物線上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．84．（多選）（21-22高二上·河北滄州·期末）已知點為雙曲線右支上一點，、分別為圓：、：上的動點，則的值可能為（

）A．2 B．6 C．9 D．125．（23-24高二上·山東臨沂·期中）已知是橢圓的左焦點，點為該橢圓上一動點，若在橢圓內(nèi)部，則的最大值為；的最小值為．6．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知，是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為．二十、焦點三角形問題（共6小題）1．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知橢圓C：的左右焦點分別為，，P是橢圓C上的動點，點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．面積的最大值是C．橢圓C的離心率為 D．最小值為2．（多選）（23-24高二上·重慶·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，上項點為B，直線與橢圓C相交于M、N兩點，點，則下列選項正確的是（

）A．四邊形的周長為12B．當時，的面積為C．直線，的斜率之積為D．若點P為橢圓C上的一個動點，則的最小值為3．（多選）（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知為橢圓上一點，分別為橢圓的上焦點和下焦點，若構(gòu)成直角三角形，則點坐標可能是（

）.A． B．C． D．4．（多選）（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓C：，，分別為橢圓的左、右焦點，A，B分別為橢圓的左、右頂點，點P是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論正確的有（

）A．存在點P使得B．的最小值為C．若，則的面積為1D．直線PA與直線PB的斜率乘積為定值5．（多選）（23-24高二下·貴州六盤水·期末）圓錐曲線具有豐富的光學性質(zhì)．雙曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點處發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線在點處反射后，反射光線所在直線經(jīng)過另一個焦點，且雙曲線在點處的切線平分．如圖，對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線過點，其左、右焦點分別為．若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上一點反射的光線為，點處的切線交軸于點，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．過點且垂直于的直線平分C．若，則D．若，則6．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知分別為雙曲線的左、右焦點，點A為雙曲線右支上任意一點，點，下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．若，則的面積為2C．過P點且與雙曲線只有一個公共點的直線有3條D．存在直線與雙曲線交于M，N兩點，且點P為中點二十一、離心率問題（共11小題）1．（23-24高二下·廣東廣州·期末）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.將油紙傘撐開后擺放在戶外場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（某時刻，陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，則該橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．2．（23-24高二下·海南?？凇て谀┮阎?，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知雙曲線的左右焦點分別為，曲線上存在一點，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·山西長治·期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為，，過點的直線交的左支于兩點，若，，成等差數(shù)列，且，則的離心率是（

A． B． C． D．5．（23-24高二下·江蘇鹽城·期末）若雙曲線C：的漸近線與圓沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點、，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最小值為.7．（23-24高二下·四川德陽·期末）已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：的右焦點，若C上存在一點P，使得為等邊三角形，則橢圓C的離心率為.8．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知橢圓的左?右焦點分別是是橢圓上兩點，四邊形為矩形，延長交橢圓于點，若，則橢圓的離心率為.9．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）已知圓與雙曲線的漸近線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為．10．（23-24高二下·貴州遵義·期末）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過點作垂直于一條漸近線的直線l，分別交兩漸近線于A，B兩點，且A，B分別在第一、四象限，若，則該雙曲線的離心率為．11．（23-24高二下·安徽·期末）在天文望遠鏡的設(shè)計中利用了雙曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點出發(fā)的入射光線經(jīng)雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為是的右支上一點，直線與相切于點.由點出發(fā)的入射光線碰到點后反射光線為，法線（在光線投射點與分界面垂直的直線）交軸于點，此時直線起到了反射鏡的作用.若，則的離心率為.

二十二、弦長問題（含焦點弦）（共10小題）1．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知直線與橢圓交于，兩點，當取最大值時的值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·廣東茂名·期末）已知直線與拋物線：交于兩點，則（

）A． B．5 C． D．3．（23-24高二上·寧夏固原·期末）直線過拋物線的焦點，且與該拋物線交于不同的兩點?，若，則弦的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（23-24高三上·河南·期末）已知拋物線，過點且斜率為的直線l交C于M，N兩點，且，則C的準線方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·山東聊城·期末）已知橢圓的上頂點為A，過點A的直線與C交于另一點B，則的最大值為．6．（23-24高三上·北京東城·期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是；直線與雙曲線相交于，兩點，則.7．（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）過點作直線與交于A，B兩點，若，則直線的傾斜角為.8．（23-24高二下·安徽安慶·期末）已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，且，過點且與x軸不重合的直線與橢圓C交于P，Q兩點，已知的周長為8．(1)求橢圓C的方程；(2)過點作直線與直線垂直，且與橢圓C交于A，B兩點，求的取值范圍.9．（23-24高二上·重慶·期末）已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，且橢圓的短軸頂點到長軸頂點的距離為．(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓左頂點的直線與橢圓相交于另一點，設(shè)點為線段的中點，點，求的取值范圍．10．（23-24高二上·河南南陽·期末）已知橢圓C：（，）的長軸為，短軸長為4．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)直線l：與橢圓C交于不同兩點A、B，且，求直線的方程．二十三、中點弦問題（共10小題）1．（多選）（23-24高二上·河南開封·期末）已知橢圓與直線相交于兩個不同的點，點為線段的中點，則（

）A． B．或C．弦長的最大值為 D．點一定在直線上2．（多選）（23-24高二上·廣東佛山·期末）設(shè)是雙曲線上的兩點，下列四個點中，可以作為線段中點的是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·山東臨沂·期末）已知橢圓的離心率為，直線與交于兩點，直線與的交點恰好為線段的中點，則的斜率為.4．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知雙曲線，過點的直線與相交于兩點，且為線段的中點，則直線的方程為.5．（23-24高二上·江西·期中）設(shè)橢圓：（）的上頂點為，左焦點為.且，在直線上.(1)求的標準方程；(2)若直線與交于，兩點，且點為中點，求直線的方程.6．（23-24高二下·貴州六盤水·期末）定義：若橢圓上的兩個點Ax1,y1,B如圖，為橢圓的“共軛點對”，已知，且點在直線上，直線過原點．

(1)求直線的方程；(2)已知是橢圓上的兩點，為坐標原點，且．（i）求證：線段被直線平分；（ii）若點在第二象限，直線與相交于點，點為的中點，求面積的最大值．7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知標準雙曲線的焦點在軸上，且虛軸長，過雙曲線的右焦點且垂直軸的直線交雙曲線于兩點，的面積為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點的直線交雙曲線于兩點，且點是線段的中點，求直線的方程.8．（23-24高二下·陜西西安·期末）已知橢圓過點，且其一個焦點與拋物線的焦點重合.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于，兩點，若點是線段的中點，求直線的方程.9．（23-24高二上·山東威海·期末）已知拋物線的焦點為，過點的直線與圓相切于點，且.(1)求；(2)若點在拋物線上，且線段的中點為，求.10．（22-23高二上·廣西貴港·期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，且線段的中點坐標為，求直線的斜率.專題01高二上期末真題精選（?？?23題23類考點專練）用基底表示向量空間向量共面空集中兩個向量乘銳角（鈍角）借助向量證明平行（垂直）關(guān)系借助向量求點到直線距離向量法求異面直線所成角向量法解決線面角問題向量法解決二面角問題向量法解決點到平面的距離問題直線的傾斜角和斜率求直線方程兩條直線平行于垂直的判斷直線中的距離問題二元二次方程表示圓的條件求圓的方程直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系圓錐曲線中的定義問題圓錐曲線中上的點到定點的和差問題焦點三角形問題離心率問題弦長問題（含焦點弦）中點弦問題一、用基底表示向量（共3小題）1．（23-24高一下·重慶·期末）如圖，在三棱錐中，為的中點，設(shè)，則用表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】用空間基底表示向量【分析】直接利用向量的線性運算和中線向量的應用求出結(jié)果．【詳解】在三棱錐中，點N為棱的中點，點M在棱PC上，且滿足故，所以，點N為棱的中點，所以，故.故選：B．2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分別是的中點，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】用空間基底表示向量、空間向量數(shù)乘運算的幾何表示、空間向量加減運算的幾何表示【分析】根據(jù)條件，利用空間向量的線性運算，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，因為分別是的中點，，又，所以，得到，故選：A.3．（23-24高二上·浙江金華·期末）如圖，在四面體中，分別是上的點，且是和的交點，以為基底表示，則．【答案】【知識點】用空間基底表示向量、空間向量的加減運算【分析】由題意首先得四邊形為平行四邊形，進一步結(jié)合線段比例分解向量成基底向量的線性組合即可求解.【詳解】因為，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，所以.故答案為：.二、空間向量共面（共3小題）1．（22-23高二上·遼寧丹東·期末）已知空間向量，，，若，，共面，則實數(shù)的值為（

）A． B．6 C． D．12【答案】A【知識點】空間向量共面求參數(shù)【分析】根據(jù)向量共面，建立方程組，解得答案.【詳解】由，，共面，可設(shè)，則，由，解得，代入第三個方程可得：，解得.故選：A.2．（22-23高二上·浙江寧波·期末）對空間中任意一點和不共線的三點，能得到在平面內(nèi)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】空間向量的加減運算、空間共面向量定理的推論及應用【分析】用向量來判定點在平面內(nèi)，只需要滿足：（）【詳解】因為A、B、C三點不共線，則不共線，若四點共面，則存在唯一的一組實數(shù)使得，即，變形得，對于，，整理得，則，所以在平面內(nèi)，故選項正確；對于，，可得：則，故不在平面內(nèi)，故選項錯誤；對于C，，可得：，則，故不在平面內(nèi)，故選項C錯誤；對于，，可得：則，故不在平面內(nèi)，故選項錯誤；故選：3．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在空間四面體中，對空間內(nèi)任意一點，滿足，則下列條件中可以確定點與，，共面的為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】空間共面向量定理的推論及應用【分析】根據(jù)空間向量四點共面列式即可得解.【詳解】因為，所以點與，，共面等價于，即.故選：A.三、空集中兩個向量乘銳角（鈍角）（共4小題）1．（23-24高一下·山西長治·期末）已知平面向量，滿足，，，夾角為，若與夾角為銳角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】已知向量共線（平行）求參數(shù)、向量夾角的計算、數(shù)量積的運算律【分析】根據(jù)且與不共線，可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得且與不共線，則，所以，解得，當與共線時，即存在，使得，解得，因為與不共線，所以，所以且，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D.2．（20-21高三上·安徽安慶·期末）已知向量，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【知識點】用向量解決夾角問題【解析】由題意可得，且、不共線，由此求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】向量，若與的夾角為鈍角，則，且、不共線，即，求得，且，則實數(shù)的取值范圍為，故答案為：．【點睛】本題考查根據(jù)向量的夾角求參數(shù)的取值范圍，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意考慮向量共線是不成立的.3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是.【答案】【知識點】數(shù)量積的坐標表示、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】由題意可得且與不反向共線，根據(jù)向量的坐標運算即可求解.【詳解】若與共線，則，得，此時，與方向相反，因為與的夾角為鈍角，所以且與不反向共線，即且，解得且，則的取值范圍是.故答案為：.4．（23-24高一下·四川自貢·期末）已知向量．(1)證明：；(2)與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)且【知識點】數(shù)量積的坐標表示、向量垂直的坐標表示、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】（1）求出的坐標，根據(jù)平面向量垂直的坐標運算證明；（2）轉(zhuǎn)化為，且不平行.【詳解】（1）根據(jù)題意，，則，所以；（2）與的夾角為鈍角，，則，解得，若向量，則，得，經(jīng)驗證滿足同向共線，所以且.四、借助向量證明平行垂直關(guān)系（共5小題）1．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）在直三棱柱中，四邊形是邊長為3的正方形，，，點分別是棱的中點．(1)求的值；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】求空間中兩點間的距離、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得.（2）利用向量法來證得.【詳解】（1）依題意可知兩兩相互垂直，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，.（2）因為，，.2．（23-24高二上·山東青島·期末）在正四棱柱中，，點在線段上，且，點為中點.

(1)求點到直線的距離；(2)求證：面.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、點到直線距離的向量求法【分析】（1）依題建系，求得相關(guān)點和向量的坐標，利用點到直線的距離的空間向量計算公式即可求得；（2）由（1）中所建的系求出的坐標，分別計算得到和，由線線垂直推出線面垂直.【詳解】（1）

如圖,以為原點，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，正四棱柱,為中點,則點到直線的距離為：.（2）由（1）可得，則，由可得，又由可得，又，故面.3．（23-24高三上·廣東深圳·期末）正方體中分別是的中點.(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、線面角的向量求法【詳解】（1）設(shè)正方體的棱長是2，以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，令，則，所以，則，又平面，故平面.4．（23-24高二上·廣東深圳·期末）如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，高為4.

(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、線面角的向量求法、證明面面垂直【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證明，，再利用面面垂直的判定定理證明即可；【詳解】（1）以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，因為，，所以，，即，，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；5．（23-24高二上·北京東城·期末）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為，的中點.(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析【知識點】面面角的向量求法、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用法向量與方向向量的關(guān)系即可求證，【詳解】（1）因為是直三棱柱，所以底面.因為底面，底面，所以，.因為，如圖建立空間直角坐標系.設(shè)，則A2,0,0，，，，.因為D，E分別為，的中點，所以，.所以，.因為底面，所以是平面的一個法向量.因為，所以.因為平面，所以平面.五、借助向量求點到直線距離（共4小題）1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空間向量，，則B點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】點到直線距離的向量求法【分析】利用點到直線的空間向量距離公式求出答案.【詳解】，，故在上的投影向量的模為，故B點到直線的距離為.故選：A2．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三點，則到直線的距離為.【答案】/【知識點】點到直線距離的向量求法【分析】根據(jù)條件，利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】因為，，所以，得到，所以到直線的距離為，故答案為：.3．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在空間直角坐標系中，，則點B到直線的距離為．【答案】【知識點】點到直線距離的向量求法【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標運算，結(jié)合點到直線的距離公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，可得在方向上的投影為，又，由勾股定理可得點到直線的距離為.故答案為：4．（23-24高二上·陜西渭南·期末）直線的方向向量為，且過點，則點到的距離為．【答案】【知識點】點到直線距離的向量求法【分析】根據(jù)給定條件，利用點到直線距離的向量求法計算即得.【詳解】依題意，，所以點到的距離.故答案為：六、向量法求異面直線所成角（共5小題）1．（23-24高三上·江西·期末）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】異面直線夾角的向量求法【分析】建立空間直角坐標系，假定的坐標，結(jié)合已知解出的坐標，利用線線角的向量求法求解即可.【詳解】如圖，找底面圓心，作與底面垂直，//，，故以為原點，建立空間直角坐標系，規(guī)定，，設(shè)，，易知底面圓方程為，則，，故，，故，設(shè)到面的距離為，設(shè)面的法向量，故有，，解得，，，故，由點到平面的距離公式得，已知四面體的體積為，故得，解得(負根舍去)，易得，故，，，，設(shè)直線與所成角為，故有.故選：D2．（23-24高二上·江西上饒·期末）在正四棱柱中，，點是的中點，則與所成角的余弦值．【答案】/【知識點】異面直線夾角的向量求法【分析】設(shè)，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值.【詳解】不妨設(shè)，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則B1,0,0、C1,1,0、、，則，，所以，.因此，與所成角的余弦值為.故答案為：.3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是.【答案】/【知識點】異面直線夾角的向量求法【分析】建立空間直角坐標系，用向量法求異面直線所成的角.【詳解】直三棱柱，且，以為原點，分別以，，為軸，軸，軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則A2,0,0，，，，，，設(shè)直線與成的角為，則，直線與所成角的余弦值為.故答案為：.4．（22-23高二上·湖南岳陽·期末）如圖，在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.(1)求證：平面.(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.【答案】(1)證明見解析(2)或2【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、已知線線角求其他量【分析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面；（2）設(shè)，且，則,0,，由直線與直線所成角的余弦值，利用向量法能求出線段的長．【詳解】（1）如圖，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則,0,，,0,，,4,，,2,，,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，設(shè)平面的法向量,,，則，取，得,0,，，平面，平面．（2）設(shè)，且，則,0,，,,，,2,，則，整理得解得或，所以線段AH的長為或2．5．（21-22高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）在四棱錐中，，，，，為正三角形，且平面平面ABCD.(1)求二面角的余弦值；(2)線段PB上是否存在一點M（不含端點），使得異面直線DM和PE所成的角的余弦值為？若存在，指出點M的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，點M位置為【知識點】已知線線角求其他量、面面角的向量求法、面面垂直證線面垂直、求平面的法向量【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的余弦值；（2）設(shè)，利用向量法求異面直線的夾角，得到，解方程即得解.【詳解】（1）設(shè)是中點，為正三角形，則.因為平面平面ABCD，平面平面，又平面PAD，所以面ABCD.又因為，，所以為正三角形，所以，以為原點，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，于是，，.設(shè)平面PEC的法向量為，由即可取.平面EBC的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則由圖知為為鈍角，所以二面角的余弦值為.（2）設(shè)，則，，，所以，解得或0（舍），所以存在點M使得.七、向量法解決線面角問題（共7小題）1．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知四棱錐的底面為正方形，底面，點是線段上的動點，則直線與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】線面角的向量求法【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，因為為正方形，且底面，以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)，則，所以，設(shè)，，則，所以，即，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，因為單調(diào)遞增，所以當時，最大，此時，即直線與平面所成角的最大值為.故選:C2．（22-23高二上·遼寧鞍山·期中）長方體中，，為線段上的動點，則與平面所成角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】線面角的向量求法【分析】以為坐標原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，設(shè)出點的坐標，然后利用空間向量求解即可.【詳解】以為坐標原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，則，因為平面，所以平面的一個法向量為，設(shè)的橫坐標為，則，所以（），設(shè)與平面所成角的為，則，令（），對稱軸為，所以的最小值為，所以的最大值為，因為，所以的最大值為，故選：D3．（23-24高二上·云南迪慶·期末）如圖形中，底面是菱形，，與交于點，底面，為的中點，.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面平行、線面角的向量求法【分析】（1）連接，得到為的中位線，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）以所在的直線分別為軸，以過點作的垂線所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，因為底面是菱形，且與交于點，則點為的中點，因為為的中點，所以為的中位線，可得，又因為平面，平面，所以平面.（2）解：以所在的直線分別為軸，以過點作的垂線所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，所以，又由，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】4．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面體中，平面，平面.(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【知識點】線面角的向量求法、線面平行的性質(zhì)、證明線面平行、線面垂直證明線線平行【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定性質(zhì)推理即得.（2）結(jié)合已知可得直線兩兩垂直，以點為原點建立空間直角坐標系，求出平面法向量，再利用線面角的向量求求解即得.【詳解】（1）由平面，平面，得，而平面，平面，則平面，又平面，平面平面，所以.（2）令，則，有，于是，由已知得直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.5．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）如圖，在三棱柱中，底面，點到平面的距離為2.

(1)證明：.(2)若直線與之間的距離為4，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】面面垂直證線面垂直、線面角的向量求法、證明線面垂直【分析】（1）結(jié)合已知線面垂直的判定定理證明平面，利用面面垂直的判定定理得平面平面，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面，從而得出均為直角三角形，利用勾股定理求解即可.（2）建立空間直角坐標系，利用線面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）底面平面，

，又平面，平面，又平面，平面平面.過作交于，又平面平面，平面，平面．點到平面的距離為.在中，，設(shè)，則.均為直角三角形，且，，解得，，即.（2），，過作交于，則為的中點.由直線與之間的距離為4，得，在中，.以為坐標原點，直線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

則，，，顯然n=0,1,0為平面設(shè)直線與平面所成角為，則則直線與平面所成角的正弦值為.6．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將沿折起到位置，使得（如圖2）.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【答案】(1)證明見解析(2)存在，【知識點】證明面面垂直、已知線面角求其他量、線面角的向量求法【分析】（1）連接、，由平面幾何的知識得到，即，，即可得到，從而得到平面，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)，利用空間向量法得到方程，求出，即可得解.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，則，則，又P為的中點，連接，則且，，所以為菱形，同理可得為菱形，所以，所以，連接，則，又，所以，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）線段上存在點，使得與平面所成角的正弦值為.因為平面，所以，，兩兩互相垂直，如圖，以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，，設(shè)，因為，，所以，設(shè)與平面所成角為，則，即，，解得或（舍去），所以線段上存在點，且，使得與平面所成角的正弦值為.7．（23-24高三上·寧夏石嘴山·期末）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，側(cè)面平面，，，為的中點.

(1)證明：平面；(2)點在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面垂直、已知線面角求其他量、面面垂直證線面垂直【分析】（1）根據(jù)條件得到平面，從而得出，再利用條件得到四邊形是菱形，從而有，利用線面垂直的判定定理即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)，求出及平面的一個法向量，利用線面角的向量法及條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，O為AD的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因為，，所以四邊形是菱形，得到，又，平面，平面，所以平面.（2）取中點，連接，因為是等腰梯形，所以，以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，，易得，則，所以，，令，所以，得到，由（1）知平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，整理得到，解得或（舍），所以.八、向量法解決二面角問題（共7小題）1．（23-24高二下·青海·期末）如圖，在四棱錐中，底面，平面，.

(1)證明：平面.(2)若，，且直線與直線所成角的正切值為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】線面垂直證明線線垂直、面面角的向量求法、證明線面垂直、線面平行的性質(zhì)【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理證明；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算，即可求解二面角的余弦值.【詳解】（1）因為底面，底面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，又平面，平面平面，所以，所以平面.（2）因為，所以直線與直線所成的角為，因為底面，底面，所以，所以，即，設(shè)為2個單位長度，以為原點，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，

設(shè)平面的法向量為，則取，則，，得，易得平面的一個法向量為，由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為.2．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）如圖，在正四棱柱中，，，分別為的中點，為四邊形的中心．(1)證明：∥平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【知識點】證明線面平行、面面角的向量求法【分析】（1）由題意易得四邊形為平行四邊形，進而可證平面．（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，求得平面與平面的一個法向量，利用向量法可求二面角的余弦值.【詳解】（1）連接．因為為四邊形的中心，所以為的中點．又為的中點，所以，因為為的中點，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，則．又平面，平面，所以平面．（2）在正四棱柱中，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為，所以，則．設(shè)平面的法向量為，則令，得，即．連接．易知是平面的一個法向量，則．因為二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．3．（23-24高二下·上海金山·期末）如圖，在中，.將繞旋轉(zhuǎn)得到，分別為線段的中點．(1)求點到平面的距離；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)；(2)【知識點】面面角的向量求法、求點面距離【分析】（1）取的中點，連接，作，垂足為.證明平面，即點到平面的距離為的長度．求出即可.（2）以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出關(guān)鍵點和法向量坐標，用向量法可解.【詳解】（1）取的中點，連接，作，垂足為因為為的中點，所以.又，所以平面.因為平面，所以．又，所以平面，即點到平面的距離為的長度.易知平面，所以．因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又，所以，所以．（2）以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，可得，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，可得，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，則二面角的正弦值為.4．（23-24高二下·浙江溫州·期末）在三棱錐中，平面平面，，，分別為的中點.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【知識點】面面角的向量求法、證明線面垂直【分析】（1）結(jié)合中點，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，從而利用線面垂直的性質(zhì)定理得，最后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）過作交于點，設(shè)，建立空間直角坐標系，然后利用向量法求解二面角的正弦值即可.【詳解】（1），為中點，.又平面平面，平面平面，平面，平面，而平面，.又為的中點，，又，.又平面，平面.（2）過作交于點，設(shè)，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，故，，，.設(shè)為平面的法向量，則，即，，取，則，是平面的一個法向量.設(shè)為平面的法向量，則，即，，取，則，是平面的一個法向量.設(shè)二面角的大小為，則，，二面角的正弦值為.5．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知四邊形為正方形，為，的交點，現(xiàn)將三角形沿折起到位置，使得，得到三棱錐.(1)求證：平面平面；(2)棱上是否存在點，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在滿足題意的點，且.【知識點】已知面面角求其他量、證明面面垂直【分析】（1）線線垂直得到線面垂直，然后得到面面垂直；（2）由三直線兩兩垂直建立空間直角坐標系，設(shè)點坐標求得面的法向量，由法向量與面面角的余弦值建立等式，解出點的位置，得到比值.【詳解】（1）在正方形中，，又∵，∴，∴即，，且，平面，平面，∴平面，由∵平面，∴平面平面（2）由（1）可知，，，∴以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標系，則向量是平面的一個法向量，設(shè)，則A1,0,0，，∵在線段上，∴，∴，∴，，設(shè)是平面的一個法向量，則，∴，∴，設(shè)為平面與平面夾角，則，則，則，為中點，∴.6．（23-24高二下·江蘇南京·期末）如圖，在直三棱柱中，為的中點．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求線段的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)6.【知識點】證明線面垂直、已知面面角求其他量、面面角的向量求法【分析】（1）應用線面垂直判定定理證明即可；（2）設(shè)邊長，應用空間向量法求出二面角余弦值即可求出邊長.【詳解】（1）由題意知平面，又平面，所以，因為四邊形是平行四邊形，且，所以四邊形為正方形，所以，因為平面，所以平面．又平面，所以，因為，所以，又因為平面，所以平面．（2）以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：設(shè)，則，所以，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以，設(shè)二面角的大小為，則，解得，所以線段的長為6．7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在長方體中，點，分別在，上，且，．(1)求證：平面；(2)當，，且平面與平面的夾角的余弦值為時，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面垂直、已知面面角求其他量【分析】（1）由長方體的性質(zhì)得到平面，即可得到，結(jié)合，得到平面，從而得到，同理可證，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）因為，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因為，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面.（2）依題意，建立以為原點，以，，分別為，，軸的空直角坐標系，設(shè)，則，，，則，，，由（1）平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得（負值舍去），所以平面與平面的夾角的余弦值為時.九、向量法解決點到平面的距離問題（共5小題）1．（23-24高一下·四川成都·期末）如圖，四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，E為中點，與交點為O．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)若，求點C到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【知識點】證明線面垂直、證明線面平行、點到平面距離的向量求法、證明面面垂直【分析】（1）只需證明，結(jié)合線面平行的判定定理即可得解；（2）只需證明平面，在結(jié)合面面垂直的判定定理即可得解；（3）首先證明面，由等體積法即可列方程求解.【詳解】（1）設(shè)，連結(jié)，∵E為中點，O為中點，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）連結(jié)，∵，O為中點，∴，又∵底面為菱形，∴，∵且兩直線在平面內(nèi)，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（3）由（2）得：，由，同理可得：，而平面，∴面可求：，，，∴，而中，，可求：，，可求：，而，則，則即為所求點C到平面的距離．2．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點．

(1)證明：平面平面；(2)求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、點到平面距離的向量求法【分析】（1）以為原點，以AD，DC所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面一個的法向量，根據(jù)平面法向量平行可得證（2）根據(jù)到平面的距離的空間向量公式即得【詳解】（1）以為原點，以AD，DC所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標系，，，，，，，，．

設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，則，所以設(shè)可得平面的一個法向量，則，即，令，則，所以，因為，兩平面又不重合，所以平面平面．（2）因為，所以，由（1）知平面的一個法向量，則．3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如圖，在直三棱柱中，是的中點.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】點到平面距離的向量求法、證明線面平行【分析】（1）連接交于，連接，由三角形中位線性質(zhì)得，再由線面平行的判定定理即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件，建立空間直角坐標系，由條件求得平面的法向量和，再利用空間距離的向量法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連接交于，連接，在三角形中，是三角形的中位線，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由是直三棱柱，且，故，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，又，則，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z由，得到，令，得，所以，又，設(shè)點到平面的距離為，則.4．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）如圖所示，在直三棱柱中，，，，分別是的中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、點到平面距離的向量求法、證明線面平行【分析】（1）利用空間向量方法證明即可；（2）利用空間法向量求解點面距離即可.【詳解】（1）證明：如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則因為，分別是，的中點，所以，，所以，平面的一個法向量為，因為，又因為平面，所以平面；（2）由（1）知，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以平面的一個法向量為.所以點到平面的距離為，故點到平面的距離為5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如圖所示，正方體的棱長是2，E、F分別是線段AB、的中點．(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面平行、點到平面距離的向量求法【分析】（1）取中點M，連AM，MF，由四邊形AEFM是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系．求得平面的法向量n=x,y,z，由點到平面的距離求解.【詳解】（1）證明：如圖，取中點M，連AM，MF，則易證，且，所以四邊形AEFM是平行四邊形，從而，又面，面，所以平面．（2）以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立如圖的空間直角坐標系．則，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量n=x,y,z由，即，令，得，則，所以點到平面的距離十、直線的傾斜角和斜率（共4小題）1．（23-24高二上·河北滄州·期末）已知直線方程為，則其傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】直線的傾斜角、直線的一般式方程及辨析【分析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題知直線斜率為，若直線的傾斜角為，則，∵，∴，故選：D．2．（23-24高二上·浙江寧波·期末）經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【知識點】已知兩點求斜率、斜率與傾斜角的變化關(guān)系【分析】利用斜率公式和傾斜角與斜率的關(guān)系求解.【詳解】解：因為直線經(jīng)過，所以經(jīng)過該兩點的直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因為，所以，故選：D3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知兩點，若直線與線段有公共點，則直線傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【知識點】斜率與傾斜角的變化關(guān)系、已知兩點求斜率【分析】求出直線恒過的定點，根據(jù)斜率公式即可求解.【詳解】由直線，變形可得，由，解得，可得直線恒過定點，則，結(jié)合圖象可得：若直線與線段有公共點，則直線斜率的取值范圍為，由斜率定義，可得直線傾斜角的取值范圍為.故選：D.4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）在平面直角坐標系中，是直線上不同的兩點，直線上的向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量．已知直線的一個方向向量坐標為，則直線的傾斜角為．【答案】【知識點】直線的傾斜角、根據(jù)直線的方向向量求直線方程、斜率與傾斜角的變化關(guān)系【分析】根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系可求出直線的傾斜角.【詳解】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，因為，所以，即直線的傾斜角為.故答案為：十一、求直線方程（共5小題）1．（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知頂點，邊AC上的高BH所在直線方程為，邊AB上的中線CM所在的直線方程為.(1)求直線AC的方程；(2)求的面積.【答案】(1)；(2)24.【知識點】直線的點斜式方程及辨析、求點到直線的距離、由兩條直線垂直求方程、求直線交點坐標【分析】（1）利用點斜式求得直線的方程.（2）先求得兩點的坐標，結(jié)合點到直線的距離公式、兩點間的距離公式求得三角形的面積.【詳解】（1）由邊上的高所在直線方程為，得直線的斜率為，所以直線的方程為，即.（2）邊上的中線所在的直線方程為，由，解得，即，設(shè)，則，所以，解得，即，，到的距離為，所以的面積為.2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求過兩條直線與的交點，且分別滿足下列條件的直線方程.(1)過點；(2)平行于直線.【答案】(1)(2)【知識點】由兩條直線平行求方程、求直線交點坐標、直線的點斜式方程及辨析、直線兩點式方程及辨析【分析】（1）求出兩條直線與的交點，利用兩點式方程整理計算即可;（2）求出平行于的直線斜率，利用點斜式方程整理計算即可.【詳解】（1）由解得,即兩直線的交點坐標為.直線經(jīng)過點和，由兩點式方程得，，化簡得所求直線方程為.（2）由可得直線的斜率為，故平行于直線的直線的斜率為，結(jié)合（1）問可得：兩條直線與的交點為，由點斜式方程得，，化簡得所求直線方程為.3．（23-24高二上·四川南充·期末）已知直線．(1)若直線與直線垂直，且經(jīng)過，求直線的斜截式方程；(2)若直線與直線平行，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，求直線的一般式方程．【答案】(1)(2)【知識點】直線的斜截式方程及辨析、由兩條直線平行求方程、由兩條直線垂直求方程、直線圍成圖形的面積問題【分析】（1）根據(jù)垂直設(shè)，代入得到直線方程，再化成斜截式即可；（2）設(shè)，得到面積表達式求出值即可.【詳解】（1）由題意設(shè)直線的方程為:，由直線經(jīng)過得:，解得:，直線的方程為:，即.（2）由題意設(shè)直線的方程為:，令，則;令，則，所以直線兩坐標軸圍成的三角形的面積三角形的面積，解得:，所以直線的一般式方程為.4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的頂點的坐標分別為邊所在直線過點.(1)求邊所在直線的方程；(2)求對角線所在直線的方程.【答案】(1)BC所在直線方程為，AD所在直線方程為(2)【知識點】已知兩點求斜率、直線的點斜式方程及辨析、直線一般式方程與其他形式之間的互化、由兩條直線垂直求方程【分析】（1）求出，由點斜式求出直線方程；（2）求出的中點坐標，再根據(jù)垂直關(guān)系得到，利用點斜式寫出直線方程，得到答案.【詳解】（1）由菱形的性質(zhì)可知，則.所以邊所在直線的方程為，即；邊所在直線的方程為，即.（2）線段的中點為，由菱形的幾何性質(zhì)可知，且為的中點，則，所以對角線所在直線的方程為，即.5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三個頂點分別為．(1)設(shè)線段的中點為，求中線所在直線的方程；(2)求邊上的高線的長．【答案】(1)(2)【知識點】直線的點斜式方程及辨析、求點到直線的距離【分析】（1）由中點坐標公式可得線段的中點為的坐標，再根據(jù)點斜式即得中線所在直線的方程；（2）由題意可得直線的斜率，由直線的點斜式可得方程，然后由點到直線的距離公式代入可求得邊上的高線的長.【詳解】（1）設(shè)的坐標為，則，，即，所以，則中線所在直線方程為，即．（2）由題意得．則直線的方程為，即中，邊上的高線的長就是點到直線的距離．十二、兩條直線平行與垂直問題（共5小題）1．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知兩條不重合的直線和．若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．或1【答案】B【知識點】已知直線平行求參數(shù)【分析】根據(jù)平行可解得實數(shù)，驗證可得正確的選項.【詳解】因為，故，故或，當時，的方程均為，它們重合，故舍去；當時，，，它們平行，故選：B.2．（23-24高二上·江蘇連云港·期末）若兩條直線和平行，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知識點】已知直線平行求參數(shù)【分析】由直線平行求出，注意檢驗重合情形即可.【詳解】因為兩直線平行，所以，解得或，當時，兩直線重合，舍去，故選：D3．（23-24高一下·重慶·期末）已知直線和直線垂直，則實數(shù).【答案】【知識點】已知直線垂直求參數(shù)【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，從而求得的值.【詳解】由于，所以，解得，所以的值為.故答案為：4．（23-24高二上·四川綿陽·期末）已知直線：與直線：.若，則.【答案】2【知識點】已知直線垂直求參數(shù)【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，由此求得的值.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：2.5．（22-23高二上·遼寧·期中）已知直線：，直線：(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值．【答案】(1)；(2)或.【知識點】已知直線平行求參數(shù)、已知直線垂直求參數(shù)【分析】（1）（2）利用直線平行、垂直的判定列方程求參數(shù)值，對于平行情況需要驗證所得參數(shù)是否符合要求.【詳解】（1）由，則，即，所以或，當，，，兩線重合，不合題設(shè)；當，，，符合題設(shè)；綜上，（2）由，則，即，所以，即或.十三、直線中的距離問題（共3小題）1．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）點到直線l：的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求點到直線的距離【分析】由點到直線的距離公式求解即可.【詳解】點到直線l：的距離為.故選：A2．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知動點分別在直線與上移動，則線段的中點到坐標原點的距離可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【知識點】由兩條直線平行求方程、求點到直線的距離、求平行線間的距離【分析】根據(jù)直線平行可得在直線上運動，即可根據(jù)點到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：動點分別在直線與上移動，又線段的中點為，，在直線上運動，到直線的距離．到坐標原點的距離大于等于．故選：CD．3．（23-24高二下·廣東江門·期末）已知直線與圓交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．【答案】（答案不唯一）【知識點】求點到直線的距離、圓的弦長與中點弦、三角形面積公式及其應用、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】利用圓的弦長求法，結(jié)合面積可得方程求解即可.【詳解】由圓可知，圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，由垂徑定理可知，由面積為知：，解得或，則由點到直線的距離公式得：，當時，有，解得：，當時，有，解得：，故答案為：（取這三個中的任何一個都算對，答案不唯一）.十四、二元二次方程表示圓的條件（共4小題）1．（23-24高二上·廣東江門·期末）方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系【分析】由計算即可得.【詳解】，即.故選：D.2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知點在圓外，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識點】點與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、圓的一般方程與標準方程之間的互化、二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系【分析】由點和圓的位置關(guān)系，圓的一般方程可表示圓的條件，列出兩個不等式進行求解即可.【詳解】由表示圓，標準方程是,所以，解得，由點在圓外，即，所以或，綜上.故答案為：.3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【知識點】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系【分析】根據(jù)圓的一般方程條件計算即可得到答案.【詳解】方程表示一個圓，則，得.故答案為：4．（23-24高二上·廣東·期末）若方程表示一個圓，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【知識點】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系、圓的一般方程與標準方程之間的互化【分析】將圓的一般方程寫成標準方程，在根據(jù)等號右邊的式子大于0求解.【詳解】原方程可化為，方程表示圓，則有，即.故答案為：十五、求圓的方程（共3小題）1．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知圓過點，則圓的標準方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【知識點】求過已知三點的圓的標準方程、由圓心（或半徑）求圓的方程【分析】由題意可得圓心，半徑，即可得圓的標準方程.【詳解】由在圓上，故圓心在直線上，由在圓上，故圓心在直線上，即圓心，半徑，故方程為.故選：A.2．（23-24高三上·江蘇·期末）已知的頂點是，，，則的外接圓的方程是．【答案】【知識點】求圓的一般方程【分析】設(shè)圓的一般方程為，分別將三個點坐標代入圓的方程，解方程組求出，即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)所求圓的一般方程為，因為點，，在圓上，所以，解得，則所求圓的一般方程為：，.故答案為：.3．（23-24高二上·河北滄州·期末）在△OAB中，O是坐標原點，，．(1)求AB邊上的高所在直線的方程；(2)求△OAB的外接圓方程【答案】(1)(2)【知識點】直線的點斜式方程及辨析、求圓的一般方程、由兩條直線垂直求方程【分析】（1）先求出邊上的高線的斜率，再利用點斜式求出邊上的高所在直線的方程；（2）設(shè)的外接圓的方程為（），則把的坐標代入求得的值，可得圓的方程．【詳解】（1）∵直線AB的斜率，∴AB邊上的高所在直線的斜率，又AB邊上的