2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考點(diǎn)《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)》含答案解析

高中PAGE1高中清單12導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．【清單02】函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：?jiǎn)握{(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)【考點(diǎn)題型一】判斷函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【例1】（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù).(1)求的極值點(diǎn)；(2)判斷方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)，并說明理由.【變式1-1】（23-24高二下·廣西桂林·期末）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)判斷在1,2上是否有零點(diǎn)，并說明理由．【變式1-2】（23-24高二下·河南鄭州）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)判斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.【考點(diǎn)題型二】證明函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的唯一性【例2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：在上有唯一零點(diǎn).【變式2-1】（24-25高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：函數(shù)存在唯一零點(diǎn)．【變式2-2】（24-25高三上·浙江金華）設(shè)，已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)．【考點(diǎn)題型三】討論函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【例3】（2024·云南曲靖·二模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).【變式3-1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函數(shù).(1)若在處取得極大值，求的值；(2)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【變式3-2】（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)性；(2)若，令，討論方程的解的個(gè)數(shù)．【考點(diǎn)題型四】利用極值（最值）研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【例4】（24-25高三上·廣東梅州·期中）已知函數(shù)在處取得極大值.(1)求的值；(2)若有且只有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式4-1】（23-24高二下·湖北孝感·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【變式4-2】（23-24高二下·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上有解，求的取值范圍.【考點(diǎn)題型五】數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【例5】（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍.【變式5-1】（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn).求的取值范圍【變式5-2】（2024·貴州貴陽）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí).求在處的切線方程;(2)若方程存兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【變式5-3】（2024高二·河南南陽·專題練習(xí)）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)題型六】利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【例6】（24-25高三上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）設(shè)，若不等式在時(shí)恒成立，則k的最大值為【變式6-1】（24-25高三上·安徽·期中）已知，對(duì)任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是．【變式6-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）若a>0且關(guān)于的不等式在0,+∞上恒成立，則的取值范圍是．【考點(diǎn)題型七】導(dǎo)數(shù)中新定義題【例7】（24-25高三上·山東菏澤·期中）若函數(shù)在上存在，使得，則稱為在區(qū)間上的“奇點(diǎn)”，若存在、，使得，，則稱是上的“雙奇點(diǎn)函數(shù)”，其中、也稱為在上的奇點(diǎn).(1)已知函數(shù)是區(qū)間上的雙奇點(diǎn)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知函數(shù)，；（i）當(dāng)時(shí)，若為在區(qū)間上的“奇點(diǎn)”，證明：；（ii）求證：對(duì)任意的，在區(qū)間上存在唯一“奇點(diǎn)”.【變式7-1】（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知的子集和定義域同為的函數(shù)，．若對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，總有，則稱是的一個(gè)“關(guān)聯(lián)函數(shù)”．(1)求的所有關(guān)聯(lián)函數(shù)；(2)若是其自身的一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)對(duì)定義在R上的函數(shù)，證明：“對(duì)任意x∈R成立”的充分必要條件是“存在函數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都是的一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)”．【變式7-2】（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）定義：記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′x，若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).已知函數(shù).(1)求證：為區(qū)間上的凹函數(shù)；(2)若為區(qū)間的凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：當(dāng)時(shí)，.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高三上·山東菏澤·期中）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．0 C．3 D．22．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A．(1,+∞) B． C． D．3．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知函數(shù).若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·山東菏澤·期中）若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·山東·開學(xué)考試）若函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·山東東營(yíng)·期末）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）若點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且均在函數(shù)的圖象上，則稱是函數(shù)的一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與視為同一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”）.已知恰有兩個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”，則的取值范圍是.8．（23-24高三下·安徽黃山·階段練習(xí)）已知，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.三、解答題9．（24-25高三上·山東臨沂·期中）已知函數(shù).(1)求的導(dǎo)函數(shù)的極值；(2)不等式對(duì)任意恒成立，求k的取值范圍；(3)對(duì)任意，直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍.10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，且過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若在內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．12．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）設(shè)f′x是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f″x是函數(shù)f′x的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″x=0有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)x(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù).13．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.14．（22-23高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知.(1)求的圖象的以為切點(diǎn)的切線方程；(2)過點(diǎn)可對(duì)的圖象作出三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.15．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知定義：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，我們稱函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)，如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間I上的二階導(dǎo)函數(shù)，則稱為I上的凹函數(shù);二階導(dǎo)函數(shù)，則稱為I上的凸函數(shù).若是區(qū)間I上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的，有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對(duì)任意的，有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.已知函數(shù)，.(1)試判斷在為凹函數(shù)還是凸函數(shù)?(2)設(shè)，，，，且，求的最大值;(3)已知，且當(dāng)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的所有可能取值.清單12導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．【清單02】函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：?jiǎn)握{(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)【考點(diǎn)題型一】判斷函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【例1】（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù).(1)求的極值點(diǎn)；(2)判斷方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】(1)極大值點(diǎn)為1，無極小值點(diǎn)(2)1個(gè)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、求已知函數(shù)的極值點(diǎn)【分析】（1）求出f′x，利用f′（2）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合極值、端點(diǎn)值可得答案.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，f′x>0；當(dāng)時(shí)，f′∴fx在0,1單調(diào)遞增，1,+∴fx（2）方程在區(qū)間上只有1個(gè)解，理由如下：令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以方程在區(qū)間上只有1個(gè)解.【變式1-1】（23-24高二下·廣西桂林·期末）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)判斷在1,2上是否有零點(diǎn)，并說明理由．【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為，極小值為，無極大值；(2)函數(shù)在上有零點(diǎn)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、求已知函數(shù)的極值、零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）先確定函數(shù)的的定義域，再求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間和極值；（2）根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定函數(shù)在上是否有零點(diǎn).【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，，令，得，的增區(qū)間為1,+∞，令，得，的減區(qū)間為0,1的極小值為，無極大值.（2）在上有零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在上有零點(diǎn).【變式1-2】（23-24高二下·河南鄭州）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)判斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】(1)有極大值，無極小值(2)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）先研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)，進(jìn)而得函數(shù)單調(diào)性即可求解函數(shù)極值.（2）根據(jù)（1）得函數(shù)單調(diào)性，從而根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性和最值以及端點(diǎn)值情況即可求解判斷.【詳解】（1）由題，則恒成立，所以f′x在上單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，f′x>0；x∈0,+所以在上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，所以有極大值，無極小值.（2）在上有兩個(gè)零點(diǎn)，理由如下：由（1）在上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有最大值，又，故在上有兩個(gè)零點(diǎn).【考點(diǎn)題型二】證明函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的唯一性【例2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：在上有唯一零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后轉(zhuǎn)化為最值問題，求導(dǎo)即可得到結(jié)果；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，進(jìn)而確定在上存在唯一的零點(diǎn)，分情況討論函數(shù)各區(qū)間零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即.令，x>0，因?yàn)榍?，所以在上恒成?所以在上單調(diào)遞增，所以，即.（2）考慮，則.因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，①，所以，所以，即②.令，則，所以在上單調(diào)遞增.由①得，又，且的圖象在上不間斷，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，記為.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由②知，又，所以在上存在唯一的零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.【變式2-1】（24-25高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：函數(shù)存在唯一零點(diǎn)．【答案】(1)的增區(qū)間為；(2)詳見解析.【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用【分析】（1）由題可得，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而即得；（2）由題可得時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而即得.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，設(shè)，則，由，可得，由，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的增區(qū)間為；（2）由題可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，令，則，所以存在，使，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在，，使得，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則時(shí)，函數(shù)有極大值，又，設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故，又時(shí)，，所以時(shí)，函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)；綜上，函數(shù)存在唯一零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.【變式2-2】（24-25高三上·浙江金華）設(shè)，已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出當(dāng)時(shí)，，即可證得結(jié)論成立；（2）分析出當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可證得結(jié)論成立.【詳解】，令，（1）證明：要證原不等式，只需證：當(dāng)時(shí)，．則對(duì)任意的恒成立.所以，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，因此，即原不等式成立；（2）（i）由（Ⅰ）可得當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在0,+∞上沒有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．令，．則遞增，且，，在上存在唯一零點(diǎn)，記為，當(dāng)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.，，，，在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，．在上遞增，在上遞減，且．令，當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)在上遞增，，，取，且，則，則有，又，由零點(diǎn)存在定理可得，在上存在唯一的零點(diǎn)．綜上可證：函數(shù)在0,+∞上有唯一零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.【考點(diǎn)題型三】討論函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【例3】（2024·云南曲靖·二模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）求得，，可求切線方程；（2）求導(dǎo)得，進(jìn)而可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，可作大致圖象，由圖象可得絕地求生論.【詳解】（1），，又，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，時(shí)，f′x<0，時(shí)，f∴fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)時(shí).∴fx

當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)或時(shí)，方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根.【變式3-1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函數(shù).(1)若在處取得極大值，求的值；(2)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)1【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0求出，再檢驗(yàn)即可得解；（2）分三種情況討論，討論時(shí)，列出當(dāng)變化時(shí)，的變化情況，再由零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?因?yàn)?是的極大值點(diǎn)，所以，即，解得或當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：34+00+極大值極小值此時(shí)，4是的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：46+00+極大值極小值此時(shí)4是的極大值點(diǎn)，符合題意.因此，此時(shí).（2）①當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+00+極大值極小值，因此時(shí)，，又，因此在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，因此的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，在上是增函數(shù)，又，由零點(diǎn)存在定理知，有1個(gè)零點(diǎn)，因此的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.③當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+00+極大值極小值，因此時(shí)，，又，因此在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，因此的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.綜上，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.【變式3-2】（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)性；(2)若，令，討論方程的解的個(gè)數(shù)．【答案】(1)在上遞增(2)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，并判斷在的正負(fù)，可得在上的單調(diào)性；（2）方程的解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的手段即可解決.【詳解】（1）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，所以，則當(dāng)時(shí)，，，可得，所以在上遞增．（2）因?yàn)?，，所以，，令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，有極小值．令，解得．令，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，的圖像經(jīng)過特殊點(diǎn)，，．當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，，從而．根據(jù)以上信息，我們畫出的大致圖像如圖所示．

方程的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．所以，關(guān)于方程的解的個(gè)數(shù)有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，解為0個(gè)；當(dāng)或時(shí)，解為1個(gè)；當(dāng)時(shí)，解為2個(gè)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決方程的解的個(gè)數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，畫出兩函數(shù)的圖像，采取數(shù)形結(jié)合的手段解決.【考點(diǎn)題型四】利用極值（最值）研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【例4】（24-25高三上·廣東梅州·期中）已知函數(shù)在處取得極大值.(1)求的值；(2)若有且只有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）由題意可得，可求出的值，然后就的值進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得出實(shí)數(shù)的值；（2）分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值，則，解得或.當(dāng)時(shí)，，由得或；由得.此時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，則極小值為，不合題意；當(dāng)時(shí)，，由得或；由得；所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，此時(shí)，函數(shù)極大值，合乎題意.綜上，.（2）解：由（1）可知，，，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為。所以，函數(shù)極大值，極小值，又因?yàn)橛星抑挥袀€(gè)零點(diǎn)，則，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式4-1】（23-24高二下·湖北孝感·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，將代入推出斜率，即可推出結(jié)論；（2）先設(shè)切點(diǎn)，推出切線方程為，化簡(jiǎn)整理得，記，則有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即可推出結(jié)論．【詳解】（1），所以，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為：．（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，即，由題意，上述關(guān)于方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，則有三個(gè)不同的零點(diǎn)，而，令，得或，當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減，若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則，解得，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為．【變式4-2】（23-24高二下·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上有解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)極值求參數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)和函數(shù)極值，列出方程組，即可求得答案；（2）由題意求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，即得答案.【詳解】（1）依題意可得，又當(dāng)時(shí)，取得極值，所以，即；解得，則，當(dāng)或時(shí)，f′x>0；當(dāng)時(shí)，f′即在上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為的極小值點(diǎn)，極小值為，符合題意，所以；（2）由（1）可知，令，可得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示：0,22,3f單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為，若在區(qū)間上有解，則的范圍即為的值域，所以.【考點(diǎn)題型五】數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【例5】（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】令.參變分離.然后構(gòu)造函數(shù).將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)問題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.然后作圖可知.【詳解】令.得.記.則.記.因?yàn)?所以hx在R上單調(diào)遞減.又.所以.當(dāng)時(shí).hx>0.即.單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí).hx<0.即.單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，有最大值.而.又當(dāng)時(shí).恒成立.所以可得函數(shù)的草圖如圖所示.由圖可知.當(dāng)時(shí).函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).所以有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí).a的取值范圍為0,1.【變式5-1】（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn).求的取值范圍【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【分析】將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)問題.利用導(dǎo)數(shù)研究并作出函數(shù)hx的圖象.即得的取值范圍.【詳解】令gx=0得設(shè)，則.當(dāng)x∈0,1時(shí).在0,1上遞減；當(dāng)x∈1,+∞時(shí).在1,+則.又因時(shí)，，，時(shí)作出函數(shù)的圖象.由圖可得.要使直線與函數(shù)hx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).須使.即.故的取值范圍是0,1.【變式5-2】（2024·貴州貴陽）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí).求在處的切線方程;(2)若方程存兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）方程進(jìn)行分離參數(shù)變形為，引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)圖象得出結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以在處的切線方程為：，即．（2）由得，，易知，顯然當(dāng)時(shí)等式不成立，所以當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，作出的大致圖象，如圖，由的圖象可知當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以的取值范圍是．.【變式5-3】（2024高二·河南南陽·專題練習(xí)）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)極值求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用，解方程即可得答案；（2）作出函數(shù)的圖象，直線與函數(shù)圖象需有3個(gè)交點(diǎn)，即可得答案.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，所以，解得，得到解析式為，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以所求函數(shù)解析式為.（2）由（1）可知令，得或當(dāng)變化時(shí)，f′x、的變化情況如下表：f＋－＋↗↘↗因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值，所以大致圖象如圖所示，又因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)實(shí)數(shù)解，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【考點(diǎn)題型六】利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【例6】（24-25高三上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）設(shè)，若不等式在時(shí)恒成立，則k的最大值為【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】利用同構(gòu)法整理不等式，構(gòu)造函數(shù)并研究單調(diào)性，可化簡(jiǎn)不等式，利用分離參數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)，利用單調(diào)性，可得答案.【詳解】由于在時(shí)恒成立，則在時(shí)恒成立.令，，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，則；當(dāng)時(shí)，由，則顯然成立；綜上所述：，可得，即.令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，所以，則的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用冪指恒等代換進(jìn)同構(gòu)整理，由此構(gòu)造函數(shù)即可.【變式6-1】（24-25高三上·安徽·期中）已知，對(duì)任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性得到，分離參數(shù)，求出，，的最大值即可【詳解】由條件得，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)得，令得，于是當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f′x>0因?yàn)椋?，所以，，根?jù)，得到，分離參數(shù)得對(duì)恒成立，只需構(gòu)造函數(shù)，，對(duì)其求導(dǎo)得，令得，于是當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，于是，因此k的取值范圍是故答案為：【變式6-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）若a>0且關(guān)于的不等式在0,+∞上恒成立，則的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，由a>0得在0,+∞單調(diào)遞增，將題目中不等式轉(zhuǎn)化為，由單調(diào)性得出，再構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍即可．【詳解】由，所以，設(shè)，由a>0得在0,+∞單調(diào)遞增，所以，設(shè)，則，顯然單調(diào)遞增，令，得，①當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)，，則在單調(diào)遞減，在時(shí)，，則在單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，不合題意；②當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，在0,+∞單調(diào)遞增，所以，令得，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合題意；綜上所述，，故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造，將轉(zhuǎn)化為，簡(jiǎn)化運(yùn)算進(jìn)而求解．【考點(diǎn)題型七】導(dǎo)數(shù)中新定義題【例7】（24-25高三上·山東菏澤·期中）若函數(shù)在上存在，使得，則稱為在區(qū)間上的“奇點(diǎn)”，若存在、，使得，，則稱是上的“雙奇點(diǎn)函數(shù)”，其中、也稱為在上的奇點(diǎn).(1)已知函數(shù)是區(qū)間上的雙奇點(diǎn)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知函數(shù)，；（i）當(dāng)時(shí)，若為在區(qū)間上的“奇點(diǎn)”，證明：；（ii）求證：對(duì)任意的，在區(qū)間上存在唯一“奇點(diǎn)”.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)“奇點(diǎn)”的定義分析可知，方程在有兩解，令，根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）（i）根據(jù)“奇點(diǎn)”的定義以及已知條件推導(dǎo)出，將要證的不等式變形為，即，令，可變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立；（ii）令，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得出函數(shù)值的范圍結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，則，由，所以有兩解，即在有兩解，令，所以，解得：.（2）（i）因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，，所以，，即，要證，即證，即，令，因?yàn)?，所以，設(shè)，所以，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以，即證.（ii）令，即，因?yàn)?，，所以，所以在區(qū)間是單調(diào)遞減的，因?yàn)?，令，所以，所以，設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即在0,1上單調(diào)遞減，1,+∞上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，，所以；同理，因?yàn)?，，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，且在區(qū)間是單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，即對(duì)任意的，在區(qū)間上的“奇點(diǎn)”是唯一的.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).【變式7-1】（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知的子集和定義域同為的函數(shù)，．若對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，總有，則稱是的一個(gè)“關(guān)聯(lián)函數(shù)”．(1)求的所有關(guān)聯(lián)函數(shù)；(2)若是其自身的一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)對(duì)定義在R上的函數(shù)，證明：“對(duì)任意x∈R成立”的充分必要條件是“存在函數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都是的一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)”．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、函數(shù)新定義【分析】（1）要根據(jù)“S關(guān)聯(lián)函數(shù)”的定義找出滿足條件的函數(shù)；（2）需要利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合定義求出m的取值范圍；（3）要從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行證明.【詳解】（1）設(shè)是的關(guān)聯(lián)函數(shù).對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以，設(shè)，則，令，，那么.所以的關(guān)聯(lián)函數(shù)為.（2）因?yàn)槭瞧渥陨淼囊粋€(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù).對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，.設(shè)，（），則.展開得.對(duì)求導(dǎo)，.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立.即在上恒成立，設(shè)，.令，得.在上遞減，在上遞增，.所以.（3）充分性：假設(shè)存在函數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都是的一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù).當(dāng)時(shí)，.對(duì)于任意，取，，當(dāng)（足夠大時(shí)）.有，當(dāng)時(shí)，，即.

必要性：若，定義.對(duì)于任意正整數(shù)，對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)..因?yàn)?，所?故命題得證.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)新定義的題型要注意一下幾點(diǎn)：（1）讀懂定義所給的主要信息篩選出重要的關(guān)鍵點(diǎn)（2）利用好定義所給的表達(dá)式以及相關(guān)的條件（3）含有參數(shù)是要注意分類討論的思想.【變式7-2】（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）定義：記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′x，若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).已知函數(shù).(1)求證：為區(qū)間上的凹函數(shù)；(2)若為區(qū)間的凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù)的定義證明；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù)的定義求解；（3）由題意得到，分，，討論證明；【詳解】（1）由題意得，，記f′x的導(dǎo)函數(shù)為f則，所以f′x在區(qū)間0,+所以為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù).（2）由題意得，，則，令，則，故.令，則，故在上單調(diào)遞增，故，則，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）由題意得，.當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，則即證，即證，設(shè)，則，所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故.故當(dāng)時(shí)，，即成立.當(dāng)時(shí)，由（1）知在0,+∞上單調(diào)遞增，又，所以，使得，所以，因?yàn)?，所以，所?i）當(dāng)時(shí)，，即證，設(shè)，則，所以Fx在上單調(diào)遞減，所以.ii）當(dāng)時(shí)，，即，即證，設(shè)，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，則，故在上單調(diào)遞增，則，則，則在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問關(guān)鍵是由時(shí)，根據(jù)在0,+∞上單調(diào)遞增，利用零點(diǎn)存在定理，得到，使得，再分和而得證.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高三上·山東菏澤·期中）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．0 C．3 D．2【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可判斷出答案.【詳解】由，可得，即定義域?yàn)?1,1，所以，由于，故，即f′x≥0即在?1,1上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以僅有一個(gè)零點(diǎn)．故選：A．2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A．(1,+∞) B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】通過對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，判斷出函數(shù)在定義域上的零點(diǎn)，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，由，解得或，且有，，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，則需，所以；當(dāng)時(shí)，令，解得或，且有，，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；又,所以僅有一個(gè)負(fù)數(shù)零點(diǎn)，所以滿足題意；綜上，的取值范圍是或．故選：D.3．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知函數(shù).若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】利用導(dǎo)數(shù)畫出的圖象，結(jié)合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，所以函數(shù)fx在上單調(diào)遞減，.當(dāng)時(shí)，，令解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此畫出、的大致圖象如下圖所示，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍是.故選：C.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：在通過圖象判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，容易由于圖象的不準(zhǔn)確或?qū)?shù)符號(hào)變化的錯(cuò)誤判斷，導(dǎo)致零點(diǎn)個(gè)數(shù)錯(cuò)誤．在分析圖象時(shí)，要特別注意極值點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.4．（24-25高三上·山東菏澤·期中）若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】問題轉(zhuǎn)化為有3個(gè)不同的根，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性和極值，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由方程有3個(gè)不同的根，即有3個(gè)不同的根，令，，則，令f′x>0，解得或，令f′x所以函數(shù)在和1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，作出圖象如下：所以，即.故選：B.5．（24-25高三上·山東·開學(xué)考試）若函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并且通過導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的極值，從而求出的范圍．【詳解】由題意可得：．令，則或，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值，當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極小值，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．6．（23-24高二下·山東東營(yíng)·期末）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、求已知函數(shù)的極值、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【分析】先利用導(dǎo)數(shù)刻畫的圖像，再根據(jù)直線與y=fx的圖像有3個(gè)不同的交點(diǎn)可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在，1,+∞上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故的極大值為，的極小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的圖像如圖所示：故，故選：A.二、填空題7．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）若點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且均在函數(shù)的圖象上，則稱是函數(shù)的一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與視為同一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”）.已知恰有兩個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”，則的取值范圍是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而有有兩個(gè)不同的正根，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間符號(hào)，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，要使恰有兩個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”，只需與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的正根，令且，則，所以時(shí)，即在上遞減；時(shí)，即在上遞增；又時(shí)，時(shí)，且最小值，所以，要使有兩個(gè)不同的正根，只需，所以.故答案為：8．（23-24高三下·安徽黃山·階段練習(xí)）已知，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】首先設(shè)，則方程轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為分析函數(shù)和和的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.【詳解】，設(shè)，則，，得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1，如圖，畫出函數(shù)的圖象，由，即，則，恒過點(diǎn)，如圖，畫出函數(shù)的圖象，設(shè)過點(diǎn)的切線與相切于點(diǎn)，則，得，即切點(diǎn)0,1，所以切線方程為，如圖，則與有2個(gè)交點(diǎn)，，則，如圖可知，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則，，則，所以，綜上可知，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查嵌套零點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是需通過換元，轉(zhuǎn)化為內(nèi)外層函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.三、解答題9．（24-25高三上·山東臨沂·期中）已知函數(shù).(1)求的導(dǎo)函數(shù)的極值；(2)不等式對(duì)任意恒成立，求k的取值范圍；(3)對(duì)任意，直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí),有極小值2，無極大值.(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，得到極值；（2）參變分離后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可；（3）有唯一解，構(gòu)造函數(shù)參變分離，有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以的定義域?yàn)榱睿瑒t，注意到為增函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí),有極小值2，無極大值.（2）由題意可知對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，設(shè)，則設(shè)，則因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.（3）由題意可知有唯一解，設(shè)注意到，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),所以至少有一個(gè)解.因?yàn)橛形ㄒ唤?，所以有唯一解，設(shè)，因?yàn)?，所以為單調(diào)函數(shù)，則恒成立，設(shè)，則恒成立,則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，注意到所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增；故只需即可，所以10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，且過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、已知切線（斜率）求參數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切點(diǎn)在曲線上建立方程組，解出即可；（2）先將問題轉(zhuǎn)化為在切點(diǎn)處的切線方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性和極值即可；【詳解】（1）由題意得，故，（2）過點(diǎn)向曲線作切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，，則切線方程為，將代入上式，整理得.過點(diǎn)可作曲線的三條切線，方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根.記，，令，得或1，則，，的變化情況如下表：01+0-0+極大極小當(dāng)，有極大值；，有極小值，由題意有，當(dāng)且僅當(dāng)即解得時(shí)函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn).此時(shí)過點(diǎn)可作曲線的三條不同切線.故的取值范圍是.11．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若在內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)【分析】（1）求導(dǎo)，得出在x0,fx0處的切線方程，過可得，根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性以及，即可得出；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由在內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)x1、x2，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的解，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，通過分析二次函數(shù)在給定區(qū)間的值域，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，，且定義域?yàn)椋畡t在x0,fx0則，即．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以，又，且在上單調(diào)遞減，所以.（2）由（1）知，.令，得有兩個(gè)不同的解．令，所以，即函