2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考點《導(dǎo)數(shù)與不等式》含答案解析

高中PAGE1高中清單11導(dǎo)數(shù)與不等式（含恒成立，能成立問題）（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．③轉(zhuǎn)化：，使得能成立；，使得能成立．④求最值.【清單02】分類討論法如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．【清單03】等價轉(zhuǎn)化法①當(dāng)遇到型的不等式恒成立問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.②當(dāng)遇到型的不等式有解（能成立）問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.【清單04】最值定位法解決雙參不等式問題（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立【清單05】值域法解決雙參等式問題,,使得成立①，求出的值域，記為②求出的值域，記為③則,求出參數(shù)取值范圍.【考點題型一】借助分離變量法解決恒成立問題核心方法：變量分離【例1】（24-25高三上·江西·期中）已知函數(shù)(1)求函數(shù)圖象上點到直線的最短距離；(2)若函數(shù)與的圖象存在公切線，求正實數(shù)a的最小值；(3)若恒成立，求a的取值范圍.【變式1-1】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函數(shù)，令，過點作曲線y=fx的切線，交軸于點，再過作曲線y=fx的切線，交軸于點，……，以此類推，得到數(shù)列（）.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列的前項和為，求實數(shù)的值；(3)當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍..【變式1-2】（24-25高三上·天津河北·期中）已知函數(shù)在處取得極小值.(1)求的值；(2)求函數(shù)在點處的切線方程；(3)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式1-3】（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若在處的切線方程為，求實數(shù)的取值；(2)試討論的單調(diào)性；(3)對任意的，恒有成立，求實數(shù)a的取值范圍.【考點題型二】借助分離變量法解決能成立（有解）問題核心方法：變量分離【例2】（24-25高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若時，不等式有解，求的取值范圍.【變式2-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式2-2】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處取得極值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式2-3】（23-24高二下·江蘇無錫）已知函數(shù)．（1）若在點處的切線斜率為．①求實數(shù)的值；②求的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）若存在，使得成立，求的取值范圍．【考點題型三】借助分類討論法解決恒成立問題核心方法：分類討論法【例3】（2024·福建·三模）函數(shù)，其中為整數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)當(dāng)x∈0,+∞時，恒成立，求的最大值.【變式3-1】（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·期中）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若恒成立，求a的取值范圍.【變式3-2】（24-25高三上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且．(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式3-3】（24-25高三上·河北衡水·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，試判斷在上零點的個數(shù)，并說明理由；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．【考點題型四】借助分類討論法解決能成立（有解）問題核心方法：分類討論法【例4】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）已知函數(shù)．(1)求證：；(2)過點作直線與函數(shù)的圖象均相切，求實數(shù)的值；(3)已知，若存在，使得成立，求實數(shù)的最大值．【變式4-1】（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：；(3)設(shè)，若存在實數(shù)使得，求的最大值.【變式4-2】（23-24高三上·廣西玉林·開學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，，使得.【考點題型五】最值定位法解決雙參不等式問題核心方法：最值定位法【例5】（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)試討論的極值；(2)設(shè)，若，，使得，求實數(shù)的取值范圍．【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知兩函數(shù)，，若對，，，，恒有成立，求的取值范圍.【變式5-2】（23-24高二下·安徽滁州）已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的一個公共點的橫坐標(biāo)為且兩函數(shù)圖象在點處的切線斜率之和為.（1）求的值；（2）對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式5-3】（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，時，，是定義在0,+∞的函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對于，，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．【考點題型六】等價轉(zhuǎn)化法解決問題核心方法：等價轉(zhuǎn)化法【例6】（23-24高三上·四川成都）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)若函數(shù)在處的切線方程為，求實數(shù)的值；(2)若，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式6-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=mx--lnx，mR，函數(shù)在上為增函數(shù)，且．(1)當(dāng)m=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)求θ的值;(3)若在[1，e]上至少存在一個x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范圍．【變式6-2】（23-24高二下·四川眉山·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值點；（2）設(shè)，若在上至少存在一個，使得成立，求m的取值范圍.【考點題型七】值域法解決雙參等式問題核心方法：值域法【例7】（23-24高三上·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若，求曲線在處切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）時，設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【變式7-1】（23-24高二下·重慶萬州·階段練習(xí)）函數(shù)，，若對任意，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為.【變式7-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若對于任意，都存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.提升訓(xùn)練一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)，若，當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．[0,8]3．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù)，若對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）對于，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)，，若對任意的，總存在，使得成立，則實數(shù)a的范圍是（

）A． B．C． D．7．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)m的最小值是（

）A． B． C． D．48．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知，，若，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題9．（24-25高三上·江西宜春·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是.10．（24-25高三上·安徽·期中）已知，對任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是．三、解答題11．（23-24高二下·廣東湛江·期中）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．12．（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．13．（24-25高三上·浙江金華·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．14．（2024·西藏拉薩·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最值；(2)若方程在上有解，求實數(shù)的取值范圍.15．（24-25高三上·北京西城·期中）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.16．（24-25高三上·湖北·期中）已知為函數(shù)的極小值點.(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對，，使得，求的取值范圍.17．（23-24高二下·四川雅安·期中）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若在定義域內(nèi)有兩個極值點，求證：.清單11導(dǎo)數(shù)與不等式（含恒成立，能成立問題）（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．③轉(zhuǎn)化：，使得能成立；，使得能成立．④求最值.【清單02】分類討論法如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．【清單03】等價轉(zhuǎn)化法①當(dāng)遇到型的不等式恒成立問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.②當(dāng)遇到型的不等式有解（能成立）問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.【清單04】最值定位法解決雙參不等式問題（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立【清單05】值域法解決雙參等式問題,,使得成立①，求出的值域，記為②求出的值域，記為③則,求出參數(shù)取值范圍.【考點題型一】借助分離變量法解決恒成立問題核心方法：變量分離【例1】（24-25高三上·江西·期中）已知函數(shù)(1)求函數(shù)圖象上點到直線的最短距離；(2)若函數(shù)與的圖象存在公切線，求正實數(shù)a的最小值；(3)若恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【知識點】兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、已知切線（斜率）求參數(shù)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】（1）由與平行且與相切的直線的切點到直線的距離最短，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義求切點坐標(biāo)，應(yīng)用點線距離公式求結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求、的切線方程，結(jié)合公切線列方程得，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)最值，即可得結(jié)果；（3）問題化為恒成立，導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)最值求參數(shù)范圍.【詳解】（1）設(shè)與平行且與相切的直線，與的切點為，由題設(shè)，令，知，則M到直線的距離最短，所以.（2）設(shè)點是公切線在上的切點，則，則切線方程為，即，設(shè)點是公切線在上的切點，則，則切線方程為，即，綜上，，，消去得，設(shè)函數(shù)，則，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以最大值為，則，即，所以，實數(shù)a的最小值為.（3）由，從而恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，則在上遞減且，當(dāng)時，，即單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減；所以得最大值為，則的取值范圍是.【變式1-1】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函數(shù)，令，過點作曲線y=fx的切線，交軸于點，再過作曲線y=fx的切線，交軸于點，……，以此類推，得到數(shù)列（）.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列的前項和為，求實數(shù)的值；(3)當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、求等比數(shù)列前n項和【分析】（1）根據(jù)切線方程，求得與坐標(biāo)軸的交點，整理數(shù)列遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，可得答案；（2）根據(jù)指數(shù)冪運算的運算律公式，結(jié)合（1）的結(jié)論以及等比數(shù)列，可得答案，（3）根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，可得答案.【詳解】（1）證明：由題意得曲線y=fx在點處的切線方程為，即，令，解得，則，即（），所以數(shù)列是以為首項、為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）可得（），所以，所以數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，其前4項的和為，所以實數(shù)；（3）原不等式等價于在0,+∞上恒成立，令，，則，令，，則，所以在0,+∞上遞減，所以，令h′x<0，則；令h′所以hx在0,2上遞增，在上遞減，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，二是函數(shù)的零點，不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理..【變式1-2】（24-25高三上·天津河北·期中）已知函數(shù)在處取得極小值.(1)求的值；(2)求函數(shù)在點處的切線方程；(3)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、根據(jù)極值求參數(shù)、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由，求解驗證即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切點坐標(biāo)與切線斜率，即可得切線方程；（3）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值求解．【詳解】（1）由，可得，由，解得，此時，時，單調(diào)遞減，x∈0,+∞時，故是函數(shù)的極小值點，符合題意，所以.（2）由題可得：，在點1,f1處的切線方程為即（3）由恒成立，則恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)x∈0,+∞時，，所以當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．【變式1-3】（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若在處的切線方程為，求實數(shù)的取值；(2)試討論的單調(diào)性；(3)對任意的，恒有成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)1(2)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；(3)【知識點】含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接列出方程即可求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論單調(diào)性即可；（3）分，三類討論，分離出參數(shù)，右邊設(shè)，分別求出其在：和時的最值，最后得到的范圍.【詳解】（1）由，則，因為在處的切線方程為，所以，即.（2）由（1）知，，，因為，所以時，f′x<0，當(dāng)時，f′所以單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（3）若任意的x∈0,+∞，恒有即，在x∈0,+∞上恒成立，即，其中，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，，則恒成立，令，令h′x<0，即，解得，故hx在故hx<0，所以此時，又因為，故，當(dāng)時，，則恒成立，令h′x>0，即，解得，而h′x<0時，，故時，f′x時，f′x>0，此時故在時取得最小值，，即，又因為，故，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.【考點題型二】借助分離變量法解決能成立（有解）問題核心方法：變量分離【例2】（24-25高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若時，不等式有解，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)【知識點】含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)給定條件，將不等式分離參數(shù)得，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得；由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）依題意，不等式在時有解，即在時有解，令，，求導(dǎo)得，由，得；由，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，因此，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：導(dǎo)數(shù)問題往往涉及到分類討論，分類討論標(biāo)準(zhǔn)的確定是關(guān)鍵，一般依據(jù)導(dǎo)數(shù)是否有零點、零點存在時零點是否在給定的范圍內(nèi)及零點在給定范圍內(nèi)時兩個零點的大小關(guān)系來分層討論.【變式2-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；（2）由已知不等式成立，先分離參數(shù)，結(jié)合成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】（1）因為，，令f'(x)=0，解得當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）依題意，存在，使得，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，因此，故的取值范圍為．【變式2-2】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處取得極值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【知識點】根據(jù)極值點求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、根據(jù)極值求參數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算法則【分析】（1）利用題給條件列出關(guān)于a，b的方程組，解之并進(jìn)行檢驗后即可求得a，b的值；（2）利用題給條件列出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即得實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1），則．因為函數(shù)在處取得極值4，所以，解得此時．易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則是函數(shù)的極大值點，符合題意．故，．（2）若存在，使成立，則．由（1）得，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．【變式2-3】（23-24高二下·江蘇無錫）已知函數(shù)．（1）若在點處的切線斜率為．①求實數(shù)的值；②求的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）若存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】（1）①；②減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（2）.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，①根據(jù)題意得到，即可求得的值；②由①知，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，以及極值的概念與計算，即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)存在，使得成立，得到成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域為(0,+∞)，且，①因為在點處的切線斜率為，可得，解得.②由①得，令，即，解得；令，即，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，極小值為，無極大值，綜上可得，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值.（2）因為，由，即，即，設(shè)根據(jù)題意知存在，使得成立，即成立，由，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．【考點題型三】借助分類討論法解決恒成立問題核心方法：分類討論法【例3】（2024·福建·三模）函數(shù)，其中為整數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)當(dāng)x∈0,+∞時，恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2)2【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解即可；（2）當(dāng)時，可得恒成立；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化問題為對于恒成立，設(shè)，，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)分析求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，而，則，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時，，則恒成立，當(dāng)時，由，得，即，則，即對于恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)時，顯然恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，滿足題意；當(dāng)時，令，即，解得，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不滿足題意.綜上所述，的最大值為2.【變式3-1】（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·期中）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況，解不等式，求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，考慮，和三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和最值，得到不等式，求出答案.【詳解】（1）因為，，①若，則恒成立，在0,+∞上單調(diào)遞增，②若，令，得，當(dāng)時，f′x<0，當(dāng)時，f′x>0，綜上所述，當(dāng)時，在0,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知，，當(dāng)時，f′x>0，所以又趨向于0時，趨向于，故不恒成立；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，由恒成立，可得，因為，所以，解得綜上，a的取值范圍為.【變式3-2】（24-25高三上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且．(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】（1）求導(dǎo)，利用賦值法求得，求得解析式，進(jìn)而可求得切線方程；（2）法一，分，，三種情況分離變量，并求得最值求得的取值范圍.法二，令，利用二次求導(dǎo)判斷恒成立應(yīng)滿足的條件，進(jìn)而求得的范圍.【詳解】（1）求導(dǎo)得，令，則，，即：．（2）方法一，，①當(dāng)時，左邊右邊，不等式顯然成立．②當(dāng)時，令當(dāng)時，在上單調(diào)遞減③當(dāng)時，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．綜上：的取值范圍為．法二，令，，令，所以恒成立，在上遞增．①若，即對在單調(diào)遞減，，與矛盾，無解，舍去．②若，即，在上遞增.故．③若即：時，使得，，即：即：，故綜上．【變式3-3】（24-25高三上·河北衡水·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，試判斷在上零點的個數(shù)，并說明理由；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)個，理由見解析(2)【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】（1）根據(jù)題意，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)極值點問題，再由零點存在定理代入計算，即可判斷；（2）根據(jù)題意，分與討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再由的正負(fù)分情況討論，代入計算，即可求解.【詳解】（1），令，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增.因為，，所以存在唯一的，使得.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以，又，所以當(dāng)時，在上有且只有一個零點.（2）①當(dāng)時，，與當(dāng)時，矛盾，故不滿足題意.②當(dāng)時，，，令，則，.記函數(shù)，，則，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，所以，所以.又因為在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增.（i）若，則，所以在上單調(diào)遞增，則，符合題意；（ii）若，則，使得，即，使得，因為，且在上單調(diào)遞增，所以存在唯一的，使得.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，其中，且.所以，因為，所以.又因為，所以，所以，滿足題意.結(jié)合①②可知，當(dāng)時，滿足題意.綜上，的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，應(yīng)用分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)問題中隱零點的處理方法判斷區(qū)間函數(shù)值符號為解決本問的關(guān)鍵.【考點題型四】借助分類討論法解決能成立（有解）問題核心方法：分類討論法【例4】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）已知函數(shù)．(1)求證：；(2)過點作直線與函數(shù)的圖象均相切，求實數(shù)的值；(3)已知，若存在，使得成立，求實數(shù)的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【知識點】兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】（1）等價變形所證不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.（2）設(shè)出直線與函數(shù)圖象相切的切點，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，再與聯(lián)立結(jié)合判別式求出值.（3）結(jié)合（1）的結(jié)論，按分類，借助導(dǎo)數(shù)討論得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，不等式，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，因此，所以.（2）依題意，，設(shè)直線與函數(shù)圖象相切的切點為，則切線的方程為：，又直線過點，于是，整理得，即，令，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)增，又，因此，切線的方程為，由與函數(shù)的圖象相切，得，即，于是，解得，所以實數(shù)的值是.（3）①當(dāng)時，，則，使，符合題意；②當(dāng)時，，，則，又由（1）知，，因此，不合題意；③當(dāng)時，令，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，則，令，求導(dǎo)得，由，得時；由，得時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，即當(dāng)時，不合題意，所以的最大值為.【變式4-1】（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：；(3)設(shè)，若存在實數(shù)使得，求的最大值.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為；(2)證明見解析；(3).【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】（1）求出f′x，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)得到函數(shù)（2）利用分析法轉(zhuǎn)化要證結(jié)論，要證，即證，令，即證，利用導(dǎo)數(shù)判斷hx單調(diào)性，求出最大值即可得證；（3），分別討論當(dāng)時和時是否存在使得，即可求解.【詳解】（1）的定義域為，所以當(dāng)時，f′x>0；當(dāng)時，f所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為1,+∞.（2）要證，即證，令，即證，，令，則，所以在R上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，；當(dāng)時，.在上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，，所以，即得證.（3）當(dāng)時，，即存在滿足題意；當(dāng)時，由（2）知，，此時gx<0綜上，所以的最大值為.【變式4-2】（23-24高三上·廣西玉林·開學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，，使得.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，再分類討論求解單調(diào)區(qū)間作答.（2）由（1）求出函數(shù)在的最大值，結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推理作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，，當(dāng)時，恒有，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，得或，單調(diào)遞減，由，得，單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得或，單調(diào)遞減，由，得，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，取得最大值，于是當(dāng)時，，使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，即當(dāng)時，成立，令函數(shù)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，于是函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時，成立，所以當(dāng)時，，使得.【考點題型五】最值定位法解決雙參不等式問題核心方法：最值定位法【例5】（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)試討論的極值；(2)設(shè)，若，，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【知識點】求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題【分析】（1）先討論的單調(diào)性，再確定極值（2），，使得等價于，分別求出與，即可求解【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，．當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)，此時函數(shù)不存在極值．當(dāng)時，由，解得，故在上單調(diào)遞增．由，解得，故在上單調(diào)遞減．此時函數(shù)在處取得極大值．無極小值．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)不存在極值．當(dāng)時，函數(shù)在處取得極大值，無極小值．（2）由（1）知當(dāng)時，在上為增函數(shù)，故無最大值，此時不符合題意；當(dāng)時，．易知在上單調(diào)遞減，所以．因為，，使得，所以，即解得，所以實數(shù)a的取值范圍是．【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知兩函數(shù)，，若對，，，，恒有成立，求的取值范圍.【答案】【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題【分析】轉(zhuǎn)化對，，，，恒有成立為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)分別求解兩個函數(shù)的最小值，代入解不等式即可【詳解】若對，，，，恒有成立，只需在，上，即可.，，，在，，，，故與，是單調(diào)遞增區(qū)間.在，，故，是單調(diào)遞減區(qū)間.因此的極小值為又，所以所以，解得的范圍為.【變式5-2】（23-24高二下·安徽滁州）已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的一個公共點的橫坐標(biāo)為且兩函數(shù)圖象在點處的切線斜率之和為.（1）求的值；（2）對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題【分析】（1）由題意列方程組，解出的值；（2）把對任意，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，分別求出和，建立不等式，即可求出k的范圍.【詳解】解：（1）因為，所以，即，

又，所以，由題意得，所以由得（2）由（1）得，對任意的，恒成立，所以，因為，令得，令得或.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.而，所以，而，當(dāng)時，，故，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有，則的值域是值域的子集．【變式5-3】（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，時，，是定義在0,+∞的函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對于，，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題【分析】（1）根據(jù)奇偶性概念即可求出解析式；（2）將對于，，使得成立轉(zhuǎn)化為，然后求出函數(shù)的最值，解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，又是奇函數(shù)，所以，所以，又，所以（2）由題意得．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以．對于，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等式成立．所以，所以，整理得，所以實數(shù)a的取值范圍是．【考點題型六】等價轉(zhuǎn)化法解決問題核心方法：等價轉(zhuǎn)化法【例6】（23-24高三上·四川成都）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)若函數(shù)在處的切線方程為，求實數(shù)的值；(2)若，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】（1）首先對函數(shù)求導(dǎo)，再求出在處的導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)題目所給直線的斜率即可求解.（2）首先構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)題意的分析，只要即可，然后通過對分類討論，求出的最小值即可.【詳解】（1）由題意，知，則.因為函數(shù)在處的切線方程為，所以，解得.（2）令，則，即，所以，即因為，使得成立，即，使得成立，所以.①當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.②當(dāng)時，令，解得；令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，故.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【變式6-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=mx--lnx，mR，函數(shù)在上為增函數(shù)，且．(1)當(dāng)m=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)求θ的值;(3)若在[1，e]上至少存在一個x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范圍．【答案】(1)增區(qū)間是，減區(qū)間為，函數(shù)有極大值;(2)(3)【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】（1）由，得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解；（2）根據(jù)題意得到在上恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立求解；（3）令分，，討論求解.【詳解】（1）解：∵，∴，，∴．令，則．∴，和的變化情況如下表：+0遞增極大值遞減

即函數(shù)增區(qū)間是，減區(qū)間為，函數(shù)有極大值是;（2）由已知在上恒成立，即，在上恒成立，∵，∴，故在上恒成立，只需，即，∴只有，由，知；（3）令當(dāng)時，由，則，，此時不存在，使得成立當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，令，則，所以實數(shù)m的取值范圍是.【變式6-2】（23-24高二下·四川眉山·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值點；（2）設(shè)，若在上至少存在一個，使得成立，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、求已知函數(shù)的極值點【分析】（1）求出（），再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值點即可.（2）構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時，得出在不存在使不等式成立；當(dāng)時，判斷，判斷函數(shù)在單調(diào)遞增，只需即可.【詳解】解：（1）因為（）由，得，令，解得，，解得，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極小值點（2）構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時，，，，所以在不存在使得成立.當(dāng)時，因為，∴，，所以在恒成立，故在單調(diào)遞增，，所以只需，解之得，故的取值范圍.【考點題型七】值域法解決雙參等式問題核心方法：值域法【例7】（23-24高三上·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若，求曲線在處切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）時，設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）見詳解；（3）【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求切線方程，；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）由題意可知的值域是，值域是，，所以分別求兩個函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化為子集問題求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由已知時，，，，，故曲線在處切線的方程是，即.（2）定義域為0,+∞，，當(dāng)時，恒成立，所以在0,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時恒成立，時恒成立，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上述，當(dāng)時，在0,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）由已知，轉(zhuǎn)化為在的值域和在的值域滿足：，易求.又且，在上單調(diào)遞增，故值域.所以，解得，即.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程和討論函數(shù)的單調(diào)性，本題第三問考查雙變量的問題，對任意，存在問題求參數(shù)的取值范圍，若滿足，，使，只需滿足，若是，只需滿足.【變式7-1】（23-24高二下·重慶萬州·階段練習(xí)）函數(shù)，，若對任意，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識點】常見（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的函數(shù)值域、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題【分析】，在，上單調(diào)遞增，即可得出函數(shù)的值域．再求出的導(dǎo)函數(shù)，即可得到的解析式，令，，，設(shè)函數(shù)的值域為．利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得．根據(jù)題意：對任意，，總存在，，使得成立，可得．進(jìn)而得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：，在，上單調(diào)遞增，，．的值域．因為所以，，令，，，設(shè)函數(shù)的值域為．對任意，，總存在，，使得成立，．．，．又．．解得：，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【變式7-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若對于任意，都存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題【分析】（1）求的導(dǎo)函數(shù)，判斷的單調(diào)性，確定單調(diào)區(qū)間，從而確定最小值點以及最小值；（2）由題意可知值域為值域的子集且，求出的值域進(jìn)行運算即可.【詳解】（1），則且，所以時或，，則在和4,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以當(dāng)時，有最小值.（2）由題意可知值域為值域的子集且則，在單調(diào)遞增即解得.【點睛】結(jié)論點睛：一般地，已知函數(shù)，若，，有，則的值域是值域的子集.提升訓(xùn)練一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】先化簡不等式，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，求出直線與曲線相切時的值，最后作出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因為不等式恒成立，所以不等式恒成立．設(shè)，則由題意知函數(shù)的圖象恒不在直線的下方.易知，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．直線恒過點，當(dāng)直線與曲線相切時，設(shè)切點為，則解得或，故當(dāng)直線與曲線相切時的值為或．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出直線與函數(shù)的圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合，可知，實數(shù)的取值范圍為，故選：A．【點睛】方法點睛：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系，先求出直線與曲線相切時的值最后作出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)，若，當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．[0,8]【答案】D【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】將化為，由此令，則，則原問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，繼而結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解．【詳解】不妨設(shè)，因為對一切都成立，所以對一切都成立，令，則．定義域為，則原問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增；，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，需在上恒成立，即在上恒成立，對于圖象過定點，對稱軸為，故要使得在上恒成立，需滿足a>0且，解得，綜合可得，即的取值范圍為,．故選：D.【點睛】方法點睛：遇到雙變量函數(shù)不等式，需要集中變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大小關(guān)系，從而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)單調(diào)性判斷問題，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性即可得所求.3．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù)，若對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】問題等價于在單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的等價條件求解即可.【詳解】解：設(shè).由對任意，都有，即，也就是，所以在單調(diào)遞增.當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，又因為，所以，所以只需即可，所以或，所以.在單調(diào)遞增，還應(yīng)該滿足，即或，又因為，所以.故選：A4．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】利用導(dǎo)函數(shù)證明在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得出的值域；同理得出的單調(diào)區(qū)間和值域，由題意可知，這兩個函數(shù)值域需要有交集，得出不等式組，從而得出范圍.【詳解】，∴時，f′x>0∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，令，則，令，則，∵，∴時，h′x>0，∴∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，由題意可知，∴.故選：B5．（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）對于，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】由得，，同構(gòu)函數(shù)由得：，再參變分離，轉(zhuǎn)化為借助導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【詳解】已知，由得，，構(gòu)造函數(shù)則是R上的增函數(shù)，則由得：，即，令，，當(dāng)則單調(diào)遞減，當(dāng)，則單調(diào)遞增，∴，則又則.故選：C.6．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)，，若對任意的，總存在，使得成立，則實數(shù)a的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】利用導(dǎo)數(shù)求的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍，依題意有，解不等式得實數(shù)a的范圍.【詳解】函數(shù)，因為，，所以f′x≥0，故在上單調(diào)遞增，所以.又，所以在上也是單調(diào)遞增，所以.因為對任意的，總存在，使成立，等價于，所以，解得，故實數(shù)a的范圍是.故選：D.7．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)m的最小值是（

）A． B． C． D．4【答案】D【知識點】函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值即可.【詳解】由能成立，問題轉(zhuǎn)化為，令，由；由，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，則，故m的最小值為4．故選：D.8．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知，，若，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）【分析】由題意可知：，利用導(dǎo)數(shù)求，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，因為，則，注意到，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，又因為，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，可得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、填空題9．（24-25高三上·江西宜春·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題【分析】分離參數(shù)可得在區(qū)間上有解，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值即可求.【詳解】,不等式，即在區(qū)間上有解.設(shè)，，則，令，設(shè)，,，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即.故要使在區(qū)間上有解，則.即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.10．（24-25高三上·安徽·期中）已知，對任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是．【答案】【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性得到，分離參數(shù)，求出，，的最大值即可【詳解】由條件得，構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)得，令得，于是當(dāng)時，f′x<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，f′x>0因為，，所以，，根據(jù)，得到，分離參數(shù)得對恒成立，只需構(gòu)造函數(shù)，，對其求導(dǎo)得，令得，于是當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，于是，因此k的取值范圍是故答案為：三、解答題11．（23-24高二下·廣東湛江·期中）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為和(1,+∞)，減區(qū)間為(2)【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可；（2）由（1）得，，由題意得，即，解出不等式即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，令得或．當(dāng)(1,+∞)時，，當(dāng)?1,1時，，所以的單調(diào)增區(qū)間為和(1,+∞)，減區(qū)間為?1,1．（2）由（1）得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，故，在上恒成立，即，故，即，即，解得或，故實數(shù)a的取值范圍為．12．（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)．(2)．【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成