人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第二冊-空間直線、平面的垂直習(xí)題課-1教案

教案教學(xué)基本信息課題空間直線、平面的垂直習(xí)題課學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級一年級教材書名：必修第二冊出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教學(xué)設(shè)計參與人員姓名單位設(shè)計者韓春禹北京市順義牛欄山第一中學(xué)實施者韓春禹北京市順義牛欄山第一中學(xué)指導(dǎo)者李淑敬、趙賀北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心課件制作者韓春禹北京市順義牛欄山第一中學(xué)其他參與者教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點、難點本節(jié)課的主要內(nèi)容是對空間直線、平面垂直習(xí)題的解答，通過習(xí)題的講解，對空間直線、平面垂直知識進行系統(tǒng)的復(fù)習(xí)和知識建構(gòu)，使學(xué)生加深對空間直線、平面垂直知識的整體認(rèn)識，對解決空間中的垂直問題形成策略和方法，掌握解決問題的通性通法，培養(yǎng)學(xué)生自身的思考與總結(jié)能力。教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入前幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有關(guān)空間直線、平面垂直的知識，今天我們進行一節(jié)空間直線、平面的垂直習(xí)題課。新課首先，我們對空間直線、平面垂直的知識進行回顧，為我們此次的習(xí)題課做好充足的知識儲備。一、異面直線所成角。如圖所示，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線，，我們把直線與所成的角叫做異面直線與所成的角（或夾角）.二、線面所成角。平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角。此定義也告訴我們?nèi)绾巫鞒鼍€面所成角，如圖，點A為斜線l與平面α的交點，在直線l上取一個異于點A的點P，過點P作平面α的垂線，垂足為O，連接AO，∠PAO為直線l與平面α所成的角。三、二面角及二面角的平面角。從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角。此定義也給出了我們作出二面角的平面角的方法。以上三個知識點，是空間中異面直線所成角、直線與平面所成角以及二面角的概念及作法。為我們研究空間中直線、平面的垂直關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。四、空間中三種垂直。如圖所示，分別為線線垂直，線面垂直和面面垂直，三種垂直情況，要做到心中有圖。五、點到平面的距離。如圖所示，過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離。六、直線到平面的距離。如圖所示，一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離。七、平行平面間的距離。如圖所示，如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離。以上三個知識點是空間中三種距離的概念及求法。下面我們來復(fù)習(xí)空間中直線、平面垂直這部分一些重要的定義、判定定理和性質(zhì)定理。八、直線與平面垂直的定義。一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α。圖形語言和符號語言如下。此定義表明，可以利用線面垂直得到線線垂直。九、直線與平面垂直的判定定理。如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直。圖形語言與符號語言如下。此判定定理表明，通過線線垂直可以得到線面垂直。十、直線與平面垂直的性質(zhì)定理。垂直于同一個平面的兩條直線平行。圖形語言與符號語言如下。此性質(zhì)定理表明，通過線面垂直，可以得到線線平行，揭示了平行與垂直的內(nèi)在聯(lián)系。十一、平面與平面垂直的判定定理。如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直。圖形語言與符號語言如下。此定理表明，通過線面垂直可以得到面面垂直。十二、平面與平面垂直的性質(zhì)定理。兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直。圖形語言與符號語言如下。此定理表明，通過面面垂直可以得到線面垂直。以上我們所復(fù)習(xí)的有關(guān)空間直線、平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理之間有著密切的關(guān)聯(lián)，我們可以將他們進行整合，作出空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化結(jié)構(gòu)圖，可以幫助我們更好地理解這些定理之間的聯(lián)系，是解決空間垂直問題非常重要的手段，為我們解決空間垂直問題奠定良好的理論基礎(chǔ)。例題例題選擇題（1）若空間中四條不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下面結(jié)論正確的是（）．（A）l1⊥l4（B）l1∥l4（C）l1，l4既不垂直也不平行（D）l1，l4的位置關(guān)系不確定分析：此題考查對空間中直線與直線垂直知識，特別是對異面直線垂直的理解。題目中對于已知條件空間中四條不同的直線l1，l2，l3，l4，（按）那么我們要具備異面直線垂直定義的知識儲備，后面的三個垂直條件都是線線垂直，我們知道通過線面垂直的定義也可以得到線線垂直，即如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直。我們以l3⊥l4為例，如果l3垂直于l4所在的平面，那么l4可以是這個平面中的任意一條直線，所以l1，l4的位置關(guān)系不確定。故此題選D。當(dāng)然我們也可以通過熟知的正方體來體會，在正方體ABCD-A1B1C1D1中l(wèi)1⊥l2，l2⊥l3，由于l3⊥平面CC1D1D，那么l4可以是平面CC1D1D內(nèi)的任意一條直線，所以l1，l4的位置關(guān)系不確定。本題小結(jié)：通過此題的分析，我們可以深切地體會到，高中所學(xué)習(xí)的立體幾何知識，可以拓寬我們的視野，增加我們對幾何認(rèn)知的維度，提升我們空間想象能力．（2）已知α，β是兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的（）．（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件分析：本題顯然考查我們對于面面垂直與線面垂直的關(guān)系，也就是考查面面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的理解與掌握。我們知道，如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直。反過來，兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直。我們再結(jié)合圖形語言，最終可以判斷已知m⊥β可以得到α⊥β，但是僅有α⊥β，如果直線m不垂直于交線l，是不能得到m⊥β的。故本題選B.本題小結(jié)：通過這個題目，我們可以感受到定理之間密切的聯(lián)系，所以對于解決此類空間垂直問題，充分理解并掌握定理是至關(guān)重要的．例題如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P，Q分別為棱AD，CC1的中點．求證A1P⊥BQ．分析：這是一道證明線線垂直的問題。在我們剛剛復(fù)習(xí)過的知識中，對于線線垂直我們有兩個辦法可供選擇，一個是利用異面直線所成角的定義，過B1作B1E∥A1P，證明B1E⊥BQ即可。第二種思路是利用線面垂直的定義證明線線垂直，那么我們要思考的是去證明A1P⊥BQ所在平面？還是BQ⊥A1P所在平面？都不是很方便，這兩條直線所在的平面也不是很好尋找，所以相對來說，我們選擇思路一比較適合。下面我們來看一下解題過程。證明：如圖，設(shè)E為BC的中點，連接B1E，易證A1P∥B1E，又知在正方形BCC1B1中B1E⊥BQ．所以A1P⊥BQ．（提示：Rt△B1BE≌Rt△BCQ）本題小結(jié)：本題考查我們對證明空間中兩直線垂直方法的理解與掌握．可供我們選擇的方法有兩種，一種是異面直線所成角的定義，一種是線面垂直的性質(zhì)定理，我們要選擇一個適合題目的方法進行解答，這也要求我們不但要熟練掌握這些定理與方法，同時還要正確且迅速的做出選擇．例題如圖，在三棱錐P-ABC中，CD⊥AB，垂足為D，PO⊥底面ABC，垂足為O，且O在CD上，求證AB⊥PC．分析：此題也是一道證明線線垂直的題目，和剛剛的例題一樣。仍然是這兩種辦法，但是我們選擇哪一個呢？我們一起來分析一下。與上一道例題不同的是，我們發(fā)現(xiàn)如果選擇用異面直線所成角的定義方法，我們需作出直線AB，PC的平行線，才能找到這兩條異面直線所成角，有些繁瑣和困難。那么通過線面垂直的判定和定義能否能讓這道題迎刃而解呢？下面我們從問題出發(fā)，如果要證AB⊥PC，線線垂直，我們只需證明線面垂直，即AB⊥PC所在平面或者PC⊥AB所在平面，此時我們選擇哪一個呢？如果選擇AB⊥PC所在平面，根據(jù)線面垂直的判定定理，我們就得在PC所在平面內(nèi)尋找兩條都與AB垂直的相交直線，如果選擇PC⊥AB所在平面，根據(jù)線面垂直的判定定理，我們就得在AB所在平面內(nèi)尋找兩條都與PC垂直的相交直線，當(dāng)我們猶豫的時候可以再回頭看看已知條件，能否給我們一些啟示，題目中有CD⊥AB，提供給我們一條與AB垂直的直線CD，那么只需證明AB⊥平面PCD即可，現(xiàn)在需要在平面PCD中找一條與AB垂直的直線，已知條件中沒有與AB垂直的直接條件，那么我們可以根據(jù)定理尋找題目中有沒有線面垂直的條件，通過線面垂直的定義可以得到線線垂直，題目中給出PO⊥底面ABC，并且PO平面PCD，可以得到PO⊥AB，這樣我們對于這道題的解題思路就捋順清楚了。下面來看一下具體的解題過程。證明：∵PO⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PO⊥AB．又CD⊥AB，PO∩CD=O，PO平面PDC，CD平面PDC，∴AB⊥平面PDC．又PC平面PDC，∴ AB⊥PC．本題小結(jié)：本題雖然和上一道例題都是證明線線垂直的問題，但是方法上有所不同，相比較異面直線所成角的方法，通過線線垂直與線面垂直之間的聯(lián)系解決本題更為恰當(dāng)，我們采取了從問題出發(fā)的方式，也就是分析法，分析法對于證明題的分析非常地有針對性．在我們以后解決問題時，也可以多多使用．在整個分析過程中，我們發(fā)現(xiàn)有一些條件是直接能給我們一些啟發(fā)的，方便進行方法上的選擇，有一些條件則需要我們進一步挖掘它所產(chǎn)生的結(jié)論，給我們的證明過程提供充足的條件，所以我們在解題時，一定要果斷決策，多看條件，逐步分析，串聯(lián)過程．例題如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（1）B1D⊥平面A1BC1；（2）B1D與平面A1BC1的交點H是△A1BC1的重心．分析：例題的第一個問是一道證明線面垂直的問題。線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，在空間中垂直知識結(jié)構(gòu)中有著承上啟下的作用。要證B1D⊥平面A1BC1，那么我們就要尋找在平面A1BC1中與B1D垂直的兩條相交直線，平面A1BC1中最明顯的三條直線A1C1，A1B，BC1。由于三條線段是正方體三個面的對角線，所以我們只研究一條直線就可以。不妨我們以A1C1為研究對象，要證明B1D⊥A1C1線線垂直，一種辦法是可以通過線面垂直的定義得到，即需要證明A1C1⊥B1D所在的平面，由于正方體每條棱都有兩個與之垂直的平面，每個面對角線都垂直，所以A1C1⊥B1D1，A1C1⊥DD1，所以A1C1⊥平面D1DB1，得到A1C1⊥B1D。另外一種辦法是我們可以利用異面直線所成角的定義。下面我們來看第一問具體的解答過程。證明：（1）方法一：連接B1D1，則B1D1⊥A1C1，又DD1⊥平面A1B1C1D1，∴DD1⊥A1C1．∴ A1C1⊥平面D1DB1．∴A1C1⊥B1D．同理可證B1D⊥A1B，∴B1D⊥平面A1BC1．證明：（1）方法二：連接B1D1交A1C1于點O，取DD1中點E，連接EO，EC1，設(shè)正方體棱長為a．∵點O、點E分別是線段B1D1、線段DD1的中點，∴OE是△B1DD1的中位線，∴OE∥B1D，∴∠EOC1為B1D與A1C1所成角．∵ 正方體棱長為a，∴OE=，OC1=，EC1=．∴OE2+OC12=EC12．∴EO⊥OC1．故A1C1⊥B1D．同理可證B1D⊥A1B，∴B1D⊥平面A1BC1．分析：第2問考查有關(guān)于三角形性質(zhì)的內(nèi)容。重心是三角形三邊中線的交點，本題中△A1BC1是等邊三角形，所以重心也是垂心、外心、內(nèi)心，故本題我們可以考慮轉(zhuǎn)化求解。題目中還有哪些信息能為我們選擇提供條件呢？正方體ABCD-A1B1C1D1，每條棱都相等，那么也就是說三棱錐B1-A1BC1為正三棱錐，且由（1）知，B1D⊥平面A1BC1，易得A1H=BH=C1H，所以轉(zhuǎn)化為外心求解更為合適。下面我們來看一下具體的解題過程。證明：（2）連接A1H，BH，C1H．∵A1B1=BB1=C1B1，∴A1H=BH=C1H．∴點H為△A1BC1的外心．又△A1BC1為正三角形，∴H是△A1BC1的重心．本題小結(jié)：本題考查我們對于空間垂直定理的理解與掌握，以及利用立體幾何解決平面幾何問題的能力，本題在分析求解的過程中，利用分析法，從問題出發(fā)，需要不斷地結(jié)合已知條件將所求問題進行轉(zhuǎn)化求解，提升了我們的轉(zhuǎn)化思維．第（1）問，線面垂直問題是連接線線垂直與面面垂直的重要橋梁，需要我們轉(zhuǎn)化為線線垂直與面面垂直問題．第（2）問結(jié)合已知條件把重心轉(zhuǎn)化為外心，使問題得到解決，所以對于很多題目，轉(zhuǎn)化思維是必不可少的，我們一定要細致地分析，并進行經(jīng)驗總結(jié)，之后遇到類似的問題也就能迎刃而解了．例題如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中點．（1）求證：AM⊥平面PCD；（2）求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值．分析：本題第（1）問依然是考查線面垂直內(nèi)容。證明線面垂直，我們知道可以通過線面垂直的判定定理，也就是線線垂直來證明，或者通過面面垂直的性質(zhì)來證明，那么我們現(xiàn)在要仔細剖析已知條件，來找出暗含的垂直條件，進而方便我們做出選擇。側(cè)面PAD是正三角形，M是PD的中點說明AM⊥PD，這個條件給我們啟發(fā)，如果我們在平面PCD中再找到一條直線與AM垂直，就可以通過線線垂直來判定線面垂直了。題目中給出側(cè)面PAD⊥底面ABCD，以及正方形ABCD，通過面面垂直的性質(zhì)，我們可以得到CD⊥平面PAD，在通過線面垂直的定義，得到AM⊥CD，這樣，我們在平面PCD中就得到了兩條相交的直線與AM垂直，然后再利用線面垂直的判定定理來證明AM⊥平面PCD。下面我們來看一下具體的解題過程。證明：（1）∵底面ABCD為正方形，∴CD⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴CD⊥平面PAD．∵AM平面PAD，∴CD⊥AM．∵側(cè)面PAD是正三角形，且M是PD的中點，∴AM⊥PD．∵CD平面PCD， PD平面PCD，CD∩PD=D，∴AM⊥平面PCD．分析：第二問是求二面角的問題，欲求二面角，重點是轉(zhuǎn)化為二面角的平面角。方法是在平面PBC與底面ABCD的交線BC上取一點N，分別在兩個平面內(nèi)過點N作BC的垂線，即可得到二面角的平面角，棱上的點N的位置是非常重要的，是求二面角的關(guān)鍵之處，那么本例題具體應(yīng)該把點N取在棱上的什么位置呢？我們來看看已知條件能否給我們啟發(fā)？思路一我們經(jīng)常會遇到一些特殊圖形，比如等腰三角形、矩形、等腰梯形等等，這些對稱的圖形總能讓我們對于在棱上取點變得容易，那么我們來看看△PBC是否是特殊的圖形，由于△PAD是等邊三角形，且AB⊥PA，CD⊥PD，所以RT△PAB≌RT△PDC，故PB=PC，所以△PBC是等腰三角形,故取BC中點N，取AD中點O，連接PN，ON，故∠PNO為所求二面角的平面角。第二個思路，已知側(cè)面PAD⊥底面ABCD，那么取AD中點O，可以得到PO⊥底面ABCD，則BC⊥PO，再取BC中點N，則ON⊥BC，那么有BC⊥平面PON，所以BC⊥PN，故∠PNO為所求二面角的平面角。這樣我們就找到了點N的位置，下面我們來看一下具體的解題過程。解：（2）設(shè)AB=a，取AD中點O，BC中點N，連接PN，NO，OP．∵底面ABCD為正方形，點O，N分別為AD，BC的中點，∴ON⊥AD，ON⊥BC且ON=AB=CD=a．∵側(cè)面PAD是正三角形，∴PO⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．又 BC平面ABCD，ON平面ABCD，∴PO⊥BC，PO⊥ON．∵PO平面PON，ON平面PON，PO∩ON=O，ON⊥BC，PO⊥BC，∴BC⊥平面PON．又PN平面PON，∴BC⊥PN．故∠PNO是所求二面角的平面角．∵ PO⊥ON，∴ △PON為直角三角形．∵PO=，ON=a，PO2+ON2=PN2．∴ PN=．∴cos∠PNO=．故側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值為．本題小結(jié)：對于立體幾何的綜合題目，切勿“埋頭苦做”，多多“抬頭看題”，解題思路也許有很多種，但我們還是要看看哪些條件在我們抉擇時能給我們一定的啟發(fā)，幫助我們選擇最適合的方法．在垂直這部分知識中，線線垂直、線面垂直、面面垂直相互關(guān)聯(lián)，我們要盡可能的去挖掘題目中的垂直條件，幫助我們利用這些定理來轉(zhuǎn)化問題，解決問題．例題如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AC=BC=PA，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值．分析：本題第（1）問是證明面面垂直，我們可以在平面PAC或者平面PBC內(nèi)尋找垂直于另外一個平面的直線，通過線面垂直證明面面垂直?，F(xiàn)在，我們就來剖析已知條件，挖掘更多的垂直條件。由PA⊥底面ABC，通過線面垂直定義可以得到線線垂直，也就是PA垂直于平面ABC內(nèi)的任意一條直線，和BC⊥AC相聯(lián)系，得到BC⊥PA，故BC⊥平面PAC，這樣，我們就可以通過面面垂直的判定定理來證明平面PAC⊥平面PBC。下面我們來看具體的解題過程。（1）證明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．又AC∩PA=A，AC平面PAC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC．∵BC平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．本題的第（2）問考查線面所成角的內(nèi)容。首先根據(jù)線面所成角的定義，作出線面所成角。思考要想做出線面所成角，需要具備哪些元素？需要垂線和射影，找到平面PBC的垂線，自然就會找到AM在平面PBC上的射影，尋找平面PBC的垂線，也就是要構(gòu)造線面垂直，由（1）可知，平面PAC⊥平面PBC，所以我們可以通過面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，題目中的已知條件AC=PA，所以△PAC是等腰三角形，可以取PC中點D，連接AD，DM，有AD⊥平面PBC，故DM為AM在平面PBC上的射影，那么∠AMD為所求線面所成角。下面我們來看具體的解題步驟。（2）解：設(shè)AC=BC=PA=2a，取PC中點D，連接AD，DM．∵PA=AC，D為PC中點，∴AD⊥PC．由（1）知，平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC=PC，∴AD⊥平面PBC．故∠AMD是AM與平面PBC所成的角．∵PA⊥平面ABC，AC平