多元函數(shù)微分學

第四章基本內容

數(shù)學基礎Rn中的中值定理與Taylor定理矩陣的負定和半負定性數(shù)學和經濟學上的應用凹（或凸）函數(shù)擬凹（擬凸）函數(shù)優(yōu)化理論二充分階條件1數(shù)學基礎幾種空間

Rn中的極限與點集矩陣的負定和半負定性2數(shù)學基礎—幾種空間線性空間（向量空間）任給一個非空集合V，在V中定義一個加法和一個純量乘法運算，滿足

x,y

V有x+y

V；

x

V，

R有

x

V；且有

(L-1)結合律x+(y+z)=(x+y)+z；

(L-2)交換律x+y=y+x；

(L-3)一個稱作0的元素使得x+0=0+x=x；(L-4)

x

V，存在一個元素

x使x+(

x)=0;(L-5)結合律

(

x)=(

)x;(L-6)分配律

(x+y)=

x+

y;(L-7)分配律(

+

)x=

x+

x;(L-8)1x=x；這里

,

R，x,y,z

V．則稱V是（實）線性空間或向量空間，V中的元素稱作向量．3數(shù)學基礎—幾種空間例4.1.1Rn={(x1,x2,

,xn)|xi

R,i=1,2,

,n}．

x,y

Rn，

R，定義一個加法和一個純量乘法運算如下：

x+y=(x1+y1,

,xn+yn)，

x=(

x1,

,

xn)，

則容易驗證(L-1)

(L-8)成立．因此Rn是一個向量空間．

4數(shù)學基礎—幾種空間內積與內積空間

設V是一個實向量空間，若

x,y

V有一個確定的實數(shù)（記作x

y）與它們對應，并滿足下列條件：(I-1)x

y=y

x(I-2)(

x+

y)

z=

(x

z)+

(y

z)(I-3)x

x

0且x

x=0

x=0，這里x,y,z

V，

R．則x

y叫做向量x與y的內積，定義了內積的向量空間V稱作內積空間．例4.1.2設Rn是一個實向量空間，

x=(x1,x2,

,xn),y=(y1,y2,

,yn)

Rn，定義易驗證Rn滿足(I-1)

(I-3)，故是一個內積空間，稱作Euclidean空間5數(shù)學基礎—幾種空間距離與度量空間

設V

，d：V

V

R為一映射，若

x,y,z

V有（M-1）非負性：d(x,y)

0且d(x,y)=0

x=y

（M-2）對稱性：d(x,y)

=d(y,x)（M-3）三角不等式：d(x,z)

d(x,y)

+d(y,z)則稱d為V的一個度量，偶對（V，d）稱為度量空間，實數(shù)d(x，y)稱兩點x與y之間的距離．例4.1.3設Rn是一個實向量空間，

(x1,x2,

,xn),y=(y1,y2,

,yn)

Rn，定義則可驗證映射d滿足(M-1)

(M-3)，故(Rn，d)是一個度量空間．6數(shù)學基礎—幾種空間范數(shù)與賦范線性空間

設V是一個實線性空間，若V上的實值函數(shù)‖.‖：x

‖x‖滿足：（N-1）非負性：‖x‖

0且‖x‖=0

x=0；（N-2）三角不等式：‖x+y‖

‖x‖+‖y‖；（N-3）‖

x‖

|

|‖x‖其中x,y

V，a

R，則‖.‖稱為范數(shù)，‖x‖稱為向量x的范數(shù)．（V，‖.‖）稱為一個賦范線性空間．例4.1.4設Rn是一個實向量空間，

(x1,x2,

,xn)

Rn，定義則‖.‖滿足(N-1)

(N-3)，因此（Rn，‖.‖）是一個賦范線性空間，‖.‖稱作歐氏范數(shù)．7數(shù)學基礎—幾種空間向量x

Rn的長度可計算為‖x‖向量x與y間的夾角可計算為：由例4.1.2

4.1.4知下面的關系式成立：8Rn中的極限與點集Rn中的序列Rn中的序列：Rn中的序列可表示為｛xm｝，對每個m，xm=（x1m,x2m,

,xnm）

Rn．鄰域：以x0為中心的鄰域定義為幾何意義：當n=2或3時，N

(x0)表示以x0為圓心以

為半徑的圓或球的內部．收斂定義稱序列｛xm｝收斂于x

Rn或以x為極限，若

>0，存在正整數(shù)M

，使得當m>M

時有9Rn中的極限與點集收斂定理{xm}

Rn收斂

｛xim｝收斂，i=1，2，…，n．這里xm=（x1m,x2m,

,xnm）．=(x1,x2,

,xn)

i=1，2，…，n．定理若這里，m=1，2，…，+

．則10Rn中的極限與點集Rn中的點集內點、內部與開集定義稱x0為集合X的內點，若存在N

(x0)，使N

(x0)

X．X的內部，記作intX，是指X的全部內點所構成的集合．若X=intX，即X的每一個點都是它的內點，則稱X是一個開集．定理有限個開集的交集是開集；任意數(shù)目（有限或無限）的開集的并集是開集．極限點、導集與閉集稱x0為X的極限點（或聚點），若存在序列{xm}，xm

X互異，使得

X的全體極限點構成的集合（記作X‘）叫做X的導集．稱X

X

為X的閉包，記作cl(X)．若cl(X)=X，則稱X為閉集11Rn中的極限與點集邊界點與孤立點定義4.1.6稱x0為集合X的邊界點，若

>0，N

(x0)中既含有X的點，又含有不屬于X的點；稱x0為X的孤立點，若x0

X且x0不是X的極限點．定義4.1.7稱X

Rn為有界點集，若對于常數(shù)M>0，使

x

X有||x||

M．（Bolzano-Weierstrass定理）設X

Rn是一個有界的無限點集，則存在{xm}

X，使設是一個無界點集，則存在{xm}

X，使12Rn中的極限與點集緊集與連續(xù)函數(shù)定義4.1.8稱X

Rn是緊集，若X是有界的閉集．定理4.1.9X

Rn是緊集

X中的任一序列一定有收斂于X的一點的子序列．定理4.1.10設X

Rn是緊集，f：X→Rk是連續(xù)函數(shù)，則f(X)={y

Rk|y=f(x)，x

X}Rk是緊集；若k=1，則在X上有最大值與最小值．注記4.1.1定理4.1.10是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有最大與最小值定理的推廣．13Rn中的凸集與凸集分離定理凸集稱集合X

Rn是凸集，若對任意x，y

X，對任意

[0，1]，恒有

x+(1

)y

X

幾何意義：X是凸集是指對任意x，y

X，包含連接兩點x和y的線段．例4.1.5容易驗證集合X={x

Rn|Am

nx

bm

1是凸集，稱作凸多面體（集）．14Rn中的凸集與凸集分離定理（續(xù)）凸集運算定理4.1.11任意多個凸集的交是凸集；凸集的并未必是凸集集合S

Rn的凸包定義為幾何上看，C0(S)是凸集，且表示包含集合S的最小凸集或是包含集合S的所有凸集的交集．15Rn中的凸集與凸集分離定理（續(xù)）極點

定義4.1.11設X

Rn是凸集，稱x

X是X的極點，若對任意的y，z

X和

(0，1)，x不能表示為x=

y+(1

)z．

超平面與半空間

定義4.1.12給定p

Rn且p

0，c

R，由p和c生成的超平面是集合：Hp,c={x

Rn|p

x=

c}．集合{x

Rn|p

x

c}和{x

Rn|p

x

c}分別叫做上半空間和下半空間．

例4.1.5令p=(1，2)，c=2，則得超平面（直線）Hp,c={(x1,x2)|x1+2x2=2}、上半空間{(x1,x2)|x1+2x2

2}和下半空間{(x1,x2)|x1+2x2

2}．

16Rn中的凸集與凸集分離定理（續(xù)）分離超平面定理定理4.1.12設X

Rn是凸集且是閉集，x

X，則存在p

Rn且p

0，c

R，使p

x>c

p

y<c對任意y

X更一般地，設集合A，B

Rn是凸集且A

B=

，則存在p

Rn且p

0，c

R，使p

x

c對任意x

Ap

y

c對任意y

B

即存在一個分離集合A和集合B的平面{x

Rn|p

x=

c}，使集合A和B分別位于該平面的不同側．

17x0xy

pXRn中的凸集與凸集分離定理（續(xù)）支撐超平面定理設X

Rn是凸集，xint

X，則存在則存在p

Rn且p

0，使對任意y

X有p

x

p

y．18矩陣的負定和半負定性負定和半負定性定義4.3.1設A是n

n階實對稱矩陣（1）稱A或二次型Q(z)=zTAz是半負定的，若

z

Rn有zTAz

0；（2）稱A或二次型Q(z)=zTAz是負定的，若

z

Rn且z

0有zTAz<0；將上面（1）和（2）中的不等式反向，即得到半正定矩陣和正定矩陣的概念．顯然有：A是半正定（正定）

A是半負定（負定）的．應用（1）A的半負（正）定性用于無約束最優(yōu)化問題的極大（?。┲党浞謼l件的判斷；函數(shù)的凹（凸）性的判斷。（2）A的負（正）定性用于無約束最優(yōu)化問題的嚴格極大（小）值充分條件的判斷；函數(shù)嚴格凹（凸）性的判斷．19矩陣的負定和半負定性continued...A的k階順序主子式設M是m

n階矩陣，由矩陣M的前k行構成（或去掉A的最后m

k行所得）的矩陣，叫做矩陣M的k

n階子陣，記作kM；由矩陣M的前k列構成（或去掉A的最后n

k列所得）的矩陣，叫做矩陣M的m

k階子陣，記作Mk；由矩陣M的前k行和前k列構成的矩陣，叫做矩陣M的k

k階子陣，記作kMk

．設A是n

n階矩陣，由矩陣A的前k行和前k列的元素構成（或去掉A的最后n

k行和相應的最后n

k列后所得）的矩陣，叫做A的k階順序主子陣，記作kAk；稱|kAk|為矩陣A的k階順序主子式，k=1，2，

，n易知n

n階的矩陣A的所有的順序主子式有n個（每階有一個）20矩陣的負定和半負定性continued...A的k階主子陣設A是n

n階矩陣，由矩陣A的第j1,j2,

,jk行和相應的第j1,j2,

,jk列的元素構成k階的矩陣，叫做A的k階主子陣，記作kAk

；稱|kAk

|為矩陣A的k階主子式，k=1，2，

，n．A的k階主子式有Cnk個A的所有的主子式有2n

1個21矩陣的負定和半負定性continued...負定和半負定性的判定方法行列式法定理設A是一個n

n階對稱矩陣，則（1）A是正定的

|kAk

|>0，k=1，2，

，n；（2）A是半正定的

|kAk

|

0，k=1，2，

，n；（3）A是負定的

(

1)k|kAk

|>0，k=1，2，

，n；（4）A是半負定的

(

1)k|kAk

|

0，k=1，2，

，n．（5）A是正定的（不必是對稱的）

|kAk

|>0，k=1，2，

，n；（6）A是負定的（不必是對稱的）

(

1)k|kAk

|>0，k=1，2，

，n．22矩陣的負定和半負定性continued...矩陣的特征值法定理設A是一個n

n階對稱矩陣，則（1）A是正（負）定的

A的每個特征值是正（負）的；（2）A是半正（半負）定的

A的所有特征值是非負（正）的正負定性與最優(yōu)性設有二次型Q(x1,x2,

,xn)=xTAx，這里AT=A，則x=0是Q的唯一最大值點

A是負定的；x=0是Q的唯一最小值點

A是正定的．23矩陣的負定和半負定性continued...線性約束下二次型的正負定性定義4.3.4設A是一個n

n階對稱矩陣，B是一個秩為m（m

n）的m

n階矩陣．稱二次型Q(x)=xTAx在約束集SB={x

Rn|Bx=0}上是負定的，若x

SB且x

0，都有Q(x)<0；稱二次型Q(x)=xTAx在約束集SB上是半負定的，若x

SB，都有Q(x)

0．將上面的不定式反向，即得到二次型Q(x)=xTAx在約束集SB={x

Rn|Bx=0}上是正定的和半正定的定義．應用：（1）線性約束下的二次型半負（正）定性用于約束最優(yōu)化問題的極大（?。┲党浞謼l件的判斷；函數(shù)的擬凹（凸）性的判斷。（2）線性約束下的二次型負（正）定性用于約束最優(yōu)化問題的嚴格極大（小）值充分條件的判斷；函數(shù)的嚴格擬凹（凸）性的判斷。24線性約束下二次型的正負定性判斷法（I）定理（Simon和Blume）設Q(x)=xTAx，約束集SB={x

Rn|Bx=0}．其中A是一個n

n階對稱矩陣，B是一個秩為m的m

n階矩陣，且m<n．構造(m+n)

(m+n)階的對稱（加邊）矩陣（1）若|H|的符號為(

1)n，且H的后n

m個順序主子式的符號交替出現(xiàn)，則Q(x)在SB上是負定的，且x=0是Q(x)在約束集SB上的嚴格極大值點（2）若|H|和H的后n

m個順序主子式的符號都為(

1)m，則Q(x)在SB上是正定的，且x=0是Q(x)在約束集SB上的嚴格極小值點．（3）若有非零的順序主子式違背條件（1）和（2），則Q(x)在SB上是不定的，且x=０既不是二次型Q(x)在約束集SB上的極大值點，也不是極小值點．從|H|開始，檢驗H的后n

m個順序主子式（階數(shù)分別為2m+1，2m+2，

，m+n）的符號H=Hm+n

=（4）令m=1，若H1+n的后n個順序主子式的符號交替出現(xiàn)，則Q(x)在一個線性約束下是負定的；若H1+n的后n個順序主子式有同樣的符號（

），則Q(x)此線性約束下是正定的．25線性約束下二次型的正負定性判斷法（II）定理（Mas-Colell，Whinston和Gree）設A是一個n

n階對稱矩陣，B是一個秩為m的m

n階矩陣，且m<n．為了確定n個變量的二次型Q(x)=在約束集SB={x

Rn|Bx=0}上是負定的或正定的，構造如下的(m+k)

(m+k)階的對稱（加邊）矩陣k=m+1，

，n這里kAk是A的k階順序主子陣，Bk是由矩陣B的前k列構成的矩陣（1）二次型Q(x)在約束集SB上是負定的

(

1)k|Hm+k|>0，k=m+1，

，n．（2）二次型Q(x)在約束集SB上是正定的

(

1)m|Hm+k|>0，k=m+1，

，n．注：|Hm+k|（k=m+1，

，n）正好是H的后n

m個順序主子式26線性約束下二次型的半正和半負定性判斷法定理（Mas-Colell，Whinston和Gree）設A是一個n

n階對稱矩陣，B是一個秩為m的m

n階矩陣，且m<n．為了確定n個變量的二次型Q(x)=xTAx在約束集SB={x

Rn|Bx=0}上的半負定性或半正定性，構造如下的(m+k)

(m+k)階的對稱（加邊）矩陣k=m+1，

，n這里kAk

是A的k階主子陣，是由矩陣A的第j1,j2,

,jk行和相應的第j1,j2,

,jk列的元素構成的矩陣，j1,j2,

,jk是集合{1，2，

，n}中的任意k個數(shù)組成的一個組合（這樣的組合共有Cnk個）；B