天津市河?xùn)|區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷 含解析

河?xùn)|區(qū)2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案答在答題卡的相應(yīng)位置.考試結(jié)束后，將答題紙交回.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1．請同學(xué)們把答案按要求填寫在答題卡上規(guī)定區(qū)域內(nèi)，超出答題卡區(qū)域的答案無效！2．本卷共9小題，每小題5分，共45分.一．選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：令，可得，不合題意；對于選項(xiàng)B：代入檢驗(yàn)均可，符合題意；對于選項(xiàng)C：令，可得，不合題意；對于選項(xiàng)D：令，可得，不合題意；故選：B.2.已知數(shù)列中，，且，則這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)為（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】B【解析】【分析】由已知判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式后即可求得.【詳解】，且，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為，，故選：B.3.已知等比數(shù)列中，，則由此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前n項(xiàng)的和為A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，則由此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前n項(xiàng)的和為公比為9，首項(xiàng)為6，那么利用前n項(xiàng)和公式可知為，選D4.已知雙曲線C：的焦距為，則C的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)根據(jù)焦距求得，從而可得漸近線方程．【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為，所以，則，解得，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.5.拋物線的焦點(diǎn)為上的點(diǎn)到的距離等于到直線的距離，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用拋物線的定義建立方程，求解參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到的距離等于到直線的距離，所以是拋物線的準(zhǔn)線，故，解得，故A正確.故選：A6.已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列結(jié)論不正確的是（）A.若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B.若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為C.若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD.若m＝0，n＞0，則C是兩條直線【答案】B【解析】【分析】就不同的取值結(jié)合曲線方程的形式逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對于A，當(dāng)m＞n＞0時(shí)，有，方程化為，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，由m＝n＞0，方程變形為，該方程表示半徑為圓，故B錯誤；對于C，由mn＜0知曲線表示雙曲線，其漸近線方程為，故C正確；對于D，當(dāng)m＝0，n＞0時(shí)，方程變?yōu)閚y2＝1表示兩條直線，故D正確．故選：B.7.已知a，b，c成等差數(shù)列，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.3 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令，得，故直線恒過，設(shè)，該點(diǎn)在圓內(nèi)，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，，，此時(shí).故選：C.8.若橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，而是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用橢圓與雙曲線的定義得出與的和與差，變形求得積．【詳解】由題意知不妨設(shè)點(diǎn)是兩曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，可得：，解得：，則，故A項(xiàng)正確.故選：A.9.已知數(shù)列滿足：，則下列命題正確的是（）A.若數(shù)列為常數(shù)列，則 B.存在，使數(shù)列為遞減數(shù)列C.任意，都有為遞減數(shù)列 D.任意，都有【答案】D【解析】【分析】解方程判斷A,利用單調(diào)性結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法判斷BD,舉反例判斷C.【詳解】對A:若數(shù)列為常數(shù)列，則，解得或，故A錯誤；對B:易得，若為遞減數(shù)列，則，解得或且，故不存在使得遞減數(shù)列，故B錯誤；對C,令，則，故不是遞減數(shù)列，故C錯誤；對D,用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)顯然成立，假設(shè)當(dāng)，則時(shí)，，故當(dāng)時(shí)成立,由選項(xiàng)B知，對任意則數(shù)列為遞減數(shù)列，故故D正確故選：D【點(diǎn)睛】利用遞推關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明，是本題關(guān)鍵.第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡相應(yīng)位置上.2．本卷共11小題，共105分.二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.10.以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【答案】【解析】【分析】先求出雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得拋物線方程.【詳解】雙曲線，所以右頂點(diǎn)（4,0），拋物線的焦點(diǎn)也為（4,0），所以，，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故答案為：.11.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為______.【答案】【解析】【分析】求解的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式再求和即可.【詳解】由題意，公比為，則，故.故數(shù)列的前6項(xiàng)和為.故答案為：12.在等差數(shù)列中，已知公差，且，則__________.【答案】145【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再由等差數(shù)列性質(zhì)得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得到答案.【詳解】等差數(shù)列中，已知公差，.故答案為：145.13.記拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線上一點(diǎn)，，直線與拋物線另一交點(diǎn)為B，則________．【答案】【解析】【分析】求出拋物線方程及直線方程并聯(lián)立，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，由拋物線定義可知到準(zhǔn)線距離為，即，解得，即拋物線方程為，不妨取，又，則直線斜率,所以，聯(lián)立，消去整理得，解得，，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則.故答案為：.14.設(shè)F為雙曲線C：（，）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點(diǎn).若，則C的離心率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何知識得出，根據(jù)勾股定理求出與c之間的關(guān)系，進(jìn)而得出C的離心率.【詳解】由題意，作出圖像如下圖所示：設(shè)雙曲線C：(，)的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(c,0).由圓的對稱性及條件可知，PQ是以為直徑的圓的直徑，且，設(shè)垂足為M，連接，則，，由，得，故，即.故答案為：.15.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.【答案】①.5②.【解析】分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.

三．解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)．（1）求的長；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？【答案】（1）(且)；（2）.【解析】分析】（1）聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理及弦長公式即求；（2）由題可得，進(jìn)而可得，即求.【小問1詳解】設(shè)，由，可得，由題可得，，解得且，∴，∴的長為(且).【小問2詳解】∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴，∴，∴，即，∴，解得,經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).17.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）利用前10項(xiàng)和與首項(xiàng)、公差的關(guān)系，聯(lián)立方程組計(jì)算即可；（2）當(dāng)d＞1時(shí)，由（1）知cn，寫出Tn、Tn的表達(dá)式，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可．【詳解】解：（1）設(shè)a1＝a，由題意可得，解得，或，當(dāng)時(shí)，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；當(dāng)時(shí)，an（2n+79），bn＝9?；（2）當(dāng)d＞1時(shí)，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3?5?7?9?（2n﹣1）?，∴Tn＝1?3?5?7?（2n﹣3）?（2n﹣1）?，∴Tn＝2（2n﹣1）?3，∴Tn＝6．【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．18.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由可得，再通過化簡結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）先結(jié)合（1）求出，再根據(jù)時(shí)，求出，最后驗(yàn)證即可.【小問1詳解】，，即，即，即，即，又，數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知：，即，當(dāng)時(shí)，，，又也適合上式，故.19.已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求出、，利用可得出關(guān)于、的齊次等式，可解得橢圓的離心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出的方程為，聯(lián)立曲線與的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義結(jié)合可求得的值，進(jìn)而可得出與的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1），軸且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，橢圓的離心率為；（2）[方法一]：橢圓的第二定義由橢圓第二定義知，則有，所以，即．又由，得．從而，解得．所以．故橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別是．[方法二]：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式以為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．由（Ⅰ）知，又由圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式，得，由，得，兩式聯(lián)立解得．故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．[方法三]：參數(shù)方程由（1）知，橢圓的方程為，所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將它代入拋物線的方程并化簡得，解得或（舍去），所以，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為．又，所以由拋物線焦半徑公式有，即，解得．故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．[方法四]【最優(yōu)解】：利用韋達(dá)定理由（1）知，，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），由拋物線的定義可得，解得.因此，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【整體點(diǎn)評】(2)方法一：橢圓的第二定義是聯(lián)系準(zhǔn)線與離心率的重要工具，涉及離心率的問題不妨考慮使用第二定義，很多時(shí)候會使得問題簡單明了.方法二：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式充分體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一特征，同時(shí)它也是解決圓錐曲線問題的一個(gè)不錯的思考方向.方法三：參數(shù)方程是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它將圓錐曲線的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，使得原來抽象的問題更加具體化.方法四：韋達(dá)定理是最常用的處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法，聯(lián)立方程之后充分利用韋達(dá)定理可以達(dá)到設(shè)而不求的效果.20.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1