江蘇省淮安市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省淮安市高二第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，則直線l的斜率是(

)A.2 B. C. D.2.已知等比數(shù)列的公比為2，且前n項(xiàng)和為，，則(

)A.15 B.31 C.63 D.1273.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則等于(

)A. B. C.1 D.4.《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面3節(jié)的容積共6升，下面3節(jié)的容積共12升，則第5節(jié)的容積為升.A.3 B.4 C.5 D.65.設(shè)m，n為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，則直線與圓的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定6.已知，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)與雙曲線實(shí)軸垂直的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若是正三角形，則該雙曲線的漸近線方程為(

)A. B. C. D.7.數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為

A. B.

C. D.8.已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移方程為

A.該物體位移的最大值為100

B.該物體在內(nèi)的平均速度為15

C.該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度是32

D.該物體的速度v和時(shí)間t時(shí)的關(guān)系式是10.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為q，，，則

A. B.

C. D.數(shù)列的前n項(xiàng)和為11.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，直線BO交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，設(shè)拋物線在點(diǎn)A處的切線為l，且l與x軸的交點(diǎn)為D，則

A. B.

C.四邊形ACOF為梯形 D.的面積是的面積的2倍三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知兩條直線，，且，則

.13.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為

.14.已知A，B分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)Q是橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，在中，，，則橢圓C的離心率為

.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題13分已知各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.求數(shù)列的通項(xiàng)公式;若等比數(shù)列滿足，，問(wèn)：數(shù)列的前50項(xiàng)中哪些項(xiàng)在等比數(shù)列中?16.本小題15分已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，記外接圓為圓M求圓M的方程;過(guò)點(diǎn)C且斜率為k的直線l與圓M交于另一點(diǎn)D，且，求直線l的方程.17.本小題15分拉格朗日中值定理反映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ).其定理陳述如下：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則存在，使得已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且求，證明：數(shù)列為等比數(shù)列;若數(shù)列的前n和為，且設(shè)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)p，q，使得對(duì)任意，總有成立?18.本小題17分在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)兩點(diǎn)均在y軸左側(cè)求曲線C的方程;若點(diǎn)A在x軸上方，且，求直線l的方程;過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線m，直線m與直線交于點(diǎn)M，線段AM的中點(diǎn)為N，若直線l與直線交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q恒在一條定直線上.19.本小題17分已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為求實(shí)數(shù)a的值;若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;對(duì)，關(guān)于x的方程總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，求證：

答案和解析1.【答案】C

解：直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，

則直線l的斜率是：

故選2.【答案】B

解：等比數(shù)列中，公比為2，，

，

故選3.【答案】B

解：由查導(dǎo)數(shù)的定義得

故選4.【答案】A

解：設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積構(gòu)成數(shù)列，設(shè)其公差為d，

由題設(shè)知，

解得，

故選5.【答案】B

解：由題意，若點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，

則，且圓心坐標(biāo)為，半徑為，

則圓心到直線的距離為，

則直線與圓相切.

故選6.【答案】C

解：令，則，則，

所以，

因?yàn)槭钦切危?，?/p>

則，

，

所以，

，

所以該雙曲線的漸近線方程為

故選7.【答案】D

解：因?yàn)椋?/p>

所以，而，

因此，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，

因此，即，

解法一：因?yàn)椋?/p>

所以，

因此兩式相減得

，

所以

解法二：由，可排除B；

由，可排除A；

由，可排除C；

故選：8.【答案】C

解：由，可得，

即，

設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

由，

得，

因?yàn)?，則，

所以，即，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

又當(dāng)時(shí)，且，

若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是

故選：

9.【答案】BD

解：因?yàn)槲矬w運(yùn)動(dòng)的位移方程為，

所以時(shí)，該物體位移的最大值為110，故A錯(cuò)誤；

該物體在內(nèi)的平均速度為，故B正確；

因?yàn)?，所以?/p>

當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；

該物體的瞬時(shí)速度v和時(shí)間t的關(guān)系式是，故D正確.

故選：10.【答案】ABD

解：，，

，，

顯然，兩式相除得，，解得或舍去，

，，故A正確；

，故B正確；

，

是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，

，故C錯(cuò)誤；

，

數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故D正確.

故選：11.【答案】BCD

解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，

直線BO的方程為，

取，得，

所以，故A錯(cuò)誤；設(shè)直線AB的方程為，

由，聯(lián)立，消去y得，

所以，故B正確；

由知，

因?yàn)椋暂S，所以，

因?yàn)?，所以?/p>

所以四邊形ACOF為梯形，故C正確；

由，可得，

所以在點(diǎn)A處得切線方程為，

即切線l的方程為，

取，得，

所以點(diǎn)D到直線AB的距離為，

因?yàn)镃到直線AB的距離為，

所以的面積是的面積的2倍，故D正確.

故選：12.【答案】

解：兩條直線，，且，

則，解得

故答案為：13.【答案】

解：由，

得，

由，得，

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

故答案為：14.【答案】

解：設(shè)，

，

點(diǎn)Q在以B，A為焦點(diǎn)的雙曲線左支上，

而此雙曲線的方程為，

又，

直線AQ的方程為，

由，得，，

即，

在橢圓上，

，化簡(jiǎn)得，

橢圓的離心率，

故答案為：15.【答案】解：設(shè)數(shù)列的公差為d，，

因?yàn)?，，成等比?shù)列，

所以，

所以，解得或，

若，則；

若，則

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為或

若，則，

所以等比數(shù)列的公比，

所以

，

，

，，，，，

所以在等比數(shù)列中.

若，則，

所以等比數(shù)列的公比為1，

即，

所以在等比數(shù)列中.

16.【答案】解：設(shè)圓M的方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)A、B，C都在圓M上，

所以，解得，

因此圓M的方程為；

設(shè)直線l的方程為，

因?yàn)閳A心到直線l的距離，

圓M的半徑，，所以由，

得，解得或，

因此直線l的方程為或

17.【答案】解：因?yàn)椋裕?/p>

因此由，

得，

即，所以，

因?yàn)?，所以，?/p>

證明：由知：，

因此，而，

所以且，

因此數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；

由知：數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，

因此，即，

所以，

因此

，

所以存在，，使得對(duì)任意，總有成立.

18.【答案】解：由題知：點(diǎn)P的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，

因此，所以曲線C方程為；

設(shè)直線l：，，，

由，得，

顯然，

因此，，，

因?yàn)?，所以?/p>

因此，，

所以，解得，

因?yàn)锳，B兩點(diǎn)均在y軸左側(cè)，且，

所以直線l的斜率，即，

因此，所以直線l方程為；

證明：因?yàn)橹本€的方程為：，

令，得，

因此點(diǎn)M的坐標(biāo)為，

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為，

所以直線的方程為：，

設(shè)，

因?yàn)橹本€l的方程為：，

所以

而由知：，，因此，解得，

所以點(diǎn)Q恒在定直線上.

19.【答案】解：因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，

而，

所以，解得；

由知：，

因此不等式對(duì)恒成立等價(jià)于：

對(duì)恒成立，

當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立；

當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立等價(jià)于：

恒成立，

令

則

令

則

因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，即在區(qū)間上恒成立，

因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所