2021-2022學(xué)年江蘇省連云港市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2021-2022學(xué)年江蘇省連云港市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，集合，則集合（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得或，因此，，故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故選：C.3.不等式成立的一個(gè)充分條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解不等式得到或，再根據(jù)充分條件定理求解即可.【詳解】或，因?yàn)榛颍圆坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)充分條件是.故選：C4.某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺(tái)站位時(shí)男女間隔的不同排法共有（）A.12種 B.24種 C.72種 D.120種【答案】A【解析】【分析】先排列2名男生共有種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有種排法，分步乘法原理可求得答案.【詳解】解：先排列2名男生共有種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有種排法，所以舞臺(tái)站位時(shí)男女間隔的不同排法共有種排法，故選：A.5.已知向量，且，，則（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量共線和向量垂直的坐標(biāo)表示求出x，y，再求出的坐標(biāo)計(jì)算作答.【詳解】向量，由得：，即，由得：，即，于是得，，，所以.故選：B6.已知拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且與的公共弦經(jīng)過(guò)，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求出與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，借助橢圓定義計(jì)算橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)即可作答.【詳解】依題意，橢圓的右焦點(diǎn)，則其左焦點(diǎn)，設(shè)過(guò)的與的公共弦在第一象限的端點(diǎn)為點(diǎn)P，由拋物線與橢圓對(duì)稱性知，軸，如圖，

直線PF方程為：，由得點(diǎn)，于是得，在中，，，則，因此，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，所以橢圓的離心率.故選：A7.如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為，液面呈橢圓形，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，到容器底部的距離分別是12和18，則容器內(nèi)液體的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件通過(guò)作垂線，求得底面圓的半徑，將液體的體積看作等于一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱體積的一半，即可求解答案.【詳解】如圖為圓柱的軸截面圖，過(guò)M作容器壁的垂線，垂足為F,因?yàn)镸N平行于地面，故，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，到容器底部的距離分別是12和18，故,在中，，即圓柱的底面半徑為，所以容器內(nèi)液體的體積等于一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱體積的一半，即為，故選：C.8.記表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，記，則的值為（）A.5479 B.5485 C.5475 D.5482【答案】B【解析】【分析】分別使、等，然后求和即可.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知的展開(kāi)式中共有7項(xiàng)，則（）A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)D.有理項(xiàng)共4項(xiàng)【答案】ACD【解析】【分析】由題意可得，對(duì)于A，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，對(duì)于B，令可求出所有項(xiàng)的系數(shù)和，對(duì)于C，由二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)特征求解即可，對(duì)于D，求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可求出所有的有理項(xiàng)【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式中共有7項(xiàng)，所以，對(duì)于A，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以A正確，對(duì)于B，令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由于二項(xiàng)式的展開(kāi)項(xiàng)共有7項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，所以C正確，對(duì)于D，的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)有4項(xiàng)，所以D正確，故選：ACD10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象如圖，則（）A.為奇函數(shù)B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.方程在內(nèi)有個(gè)實(shí)數(shù)根D.的解析式可以是【答案】BC【解析】【分析】利用圖象可求得函數(shù)的解析式，利用函數(shù)圖象平移可求得函數(shù)的解析式，可判斷D選項(xiàng)；計(jì)算可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，求出方程對(duì)應(yīng)的可能取值，可判斷C選項(xiàng).【詳解】由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，，，所以，，則，可得，所以，，得，因?yàn)椋瑒t，所以，，將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象，故.對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋屎瘮?shù)不是奇函數(shù)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由，可得，當(dāng)時(shí)，，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D錯(cuò).故選：BC.11.在平面直角坐標(biāo)系中，若對(duì)于曲線上的任意點(diǎn)，都存在曲線上的點(diǎn)，使得成立，則稱函數(shù)具備“性質(zhì)”.則下列函數(shù)具備“性質(zhì)”的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】四個(gè)選項(xiàng)都可以做出簡(jiǎn)圖，對(duì)于選項(xiàng)A和選項(xiàng)C，可在圖中選取特殊點(diǎn)驗(yàn)證排除；選項(xiàng)B、選項(xiàng)D可在圖中任意選擇點(diǎn)，觀察是否存在點(diǎn)，使得成立，即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A，如圖所示，曲線，當(dāng)點(diǎn)取得時(shí)，要使得點(diǎn)滿足成立，那么點(diǎn)落在直線上，而此時(shí)與兩直線是平行的，不存在交點(diǎn)，故此時(shí)不滿足在上存在點(diǎn)，使得成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，如圖所示，曲線，對(duì)于曲線上的任意點(diǎn)，都存在曲線上的點(diǎn)，使得成立，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，如圖所示，曲線，當(dāng)點(diǎn)取得時(shí)，要使得點(diǎn)滿足成立，那么點(diǎn)落在直線上，而此時(shí)與兩曲線不存在交點(diǎn)，故此時(shí)不滿足在上存在點(diǎn)，使得成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，如圖所示，曲線，對(duì)于曲線上的任意點(diǎn)，都存在曲線上的點(diǎn)，使得成立，故選項(xiàng)D正確；故選：BD12.如圖，一張長(zhǎng)?寬分別為的矩形紙，，分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，則（）A.在該多面體中，B.該多面體是三棱錐C.在該多面體中，平面平面D.該多面體的體積為【答案】BCD【解析】【分析】利用圖形翻折，結(jié)合勾股定理，確定該多面體是以為頂點(diǎn)的三棱錐，利用線面垂直，判定面面垂直，以及棱錐的體積公式即可得出結(jié)論．【詳解】由于長(zhǎng)、寬分別為，1，分別是其四條邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，所以該多面體是以為頂點(diǎn)的三棱錐，故B正確；，，，故A不正確；由于，所以，，可得平面，則三棱錐的體積為，故D正確；因?yàn)椋?，所以平面，又平面，可得平面平面，故C正確.故選：BCD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】聯(lián)立直線與圓，再運(yùn)用韋達(dá)定理即可求解．【詳解】聯(lián)立，設(shè)，則，因?yàn)?，所以有，解?故答案為：14.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，將轉(zhuǎn)化為，然后代入已知的解析式可求得答案【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：15.已知，則____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出、的值，再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故答案為?16.已知一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體木塊可以在一個(gè)圓錐形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，若圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出圓錐的內(nèi)切球半徑，再求出此球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)即可作答.【詳解】正方體木塊可以在一個(gè)圓錐形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則當(dāng)正方體棱長(zhǎng)a最大時(shí)，正方體的外接球恰為圓錐的內(nèi)切球，底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的圓錐軸截面正的內(nèi)切圓O是該圓錐內(nèi)切球O截面大圓，如圖，正的高，則內(nèi)切圓O的半徑即球半徑，于是得球O的內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)a有：，解得：，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識(shí)解題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答.問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且__________.（1）求角；（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）選擇①，運(yùn)用正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇②，運(yùn)用面積公式及同角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇③運(yùn)用正切兩角和公式及誘導(dǎo)公式求解.（2）根據(jù)正弦定理及正切函數(shù)的單調(diào)性求解【小問(wèn)1詳解】選擇①：條件即，由正弦定理可知，，在中，，所以，所以，且，即，所以；選擇②：條件即，即，在中，，所以，則，所以，所以.選擇③：條件即，所以，在中，，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，由正弦定理可知，，由是銳角三角形得，所以.所以，所以，故的取值范圍為.18.已知數(shù)列滿足.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)已知的式子變形得，則，從而可得數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出，從而可求出，進(jìn)而可求出小問(wèn)1詳解】由可知，，即，由可知，，所以是以12為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以,又符合上式,所以,所以，所以的前20項(xiàng)和.19.如圖，在直三棱柱中，.（1）證明：；（2）設(shè)，若二面角的大小為，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的空間向量求解方法，建立方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，所以四邊形是正方形.連接，則，又平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.【小問(wèn)2詳解】解：以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，則即得，取，則平面的一個(gè)法向量為，考慮向量，滿足所以是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，解?20.為了提高生產(chǎn)效率，某企業(yè)引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線，現(xiàn)要定期對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè).每次抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)新產(chǎn)品中的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)數(shù)，根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖.（1）指標(biāo)數(shù)不在和之間的產(chǎn)品為次等品，試估計(jì)產(chǎn)品為次等品的概率；（2）技術(shù)評(píng)估可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)數(shù)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），計(jì)算值，并計(jì)算產(chǎn)品指標(biāo)數(shù)落在內(nèi)的概率.參考數(shù)據(jù)：，則，.【答案】（1）（2），0.9544【解析】【分析】（1）由頻率和為1求參數(shù)，結(jié)合頻率直方圖求在和的頻率即可得出結(jié)果.（2）按平均數(shù)公式求解,由，根據(jù)公式對(duì)比計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由，解得，樣本中指標(biāo)數(shù)不在和之間的頻率為，所以產(chǎn)品為次等品的概率估計(jì)值為.【小問(wèn)2詳解】依題意.所以，所以.21.已知函數(shù)，.（1）證明：；（2）若函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得，可證得所證不等式成立；（2）由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：要證，即證：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.則，故.【小問(wèn)2詳解】解：由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故存在時(shí)，使得，即，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.22.已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，過(guò)左頂點(diǎn)作實(shí)軸的垂線交一條漸近線于