初中數(shù)學(xué)：全等三角形測試題

初中數(shù)學(xué)：全等三角形測試題

一、選擇題

1.如圖，在aABC中，NABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的

長是（）

A.4cmR.6cmC.8cmD.9cm

2.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，0是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1,V3）,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.（-V3J1）B.（-1,V3）C.（V3i1）D.（-VSJ-1）

3.在連接A地與B地的線段上有四個(gè)不同的點(diǎn)D、G、K、Q,下列四幅圖中的實(shí)

線分別表示某人從A地到B地的不同行進(jìn)路線（箭頭表示行進(jìn)的方向），則路程

最長的行進(jìn)路線圖是（）

4.如圖，坐標(biāo)平面上，4ABC與4DEF全等，其中A、B、C的對應(yīng)頂點(diǎn)分別為D、

E、F,且AB=BC=5.若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,1）,B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)二-3的圖

5.平面上有4ACD與ABCE,其中AD與BE相交于P點(diǎn)，如圖.若AC=BC,AD=BE,

CD二CE,NACE=55°,NBCD=155°,則NBPD的度數(shù)為（）

6.如圖，在AABC和4BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F.若AC=BD,

AB二ED,BC=BE,則NACB等于（）

A

A.ZEDBB.NBEDC.-ZAFBD.2ZABF

2

7.如圖，AB=4,射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線

BM上，BE二,DB,作EF_LDE并截取EF二DE,連結(jié)AF并延長交射線BM于點(diǎn)C.設(shè)

BE=x,BC=y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）

8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,ZBAD=60°,點(diǎn)M、N

分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2,則tanNMCN二()

A.等B?等C.等D.V5-2

9.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的兩

直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長為a,則重疊部

分四邊形EMCN的面積為（）

42

D.a

9

二、解答題（共21小題）

10.如圖，已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,NCEF=90°.

(1)若NECF=30°,CF=8,求CE的長；

(2)求證：ZXABFgZXDEC；

(3)求證：四邊形BCEF是矩形.

11.已知4ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC,以DC

為邊在DC兩側(cè)作等邊4DCE和等邊4DCF（點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC

左側(cè)或下側(cè)），連接AE、BF

（1）如圖1,若點(diǎn)D在AB邊上，請你通過觀察,測量，猜短線段AE、BF和AB

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2,若點(diǎn)D在AB的延長線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎

樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論（不需要證明）；

（3）若點(diǎn)D在AB的反向延長線上，其他條件不變，請?jiān)趫D3中畫出圖形，探究

線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論（不需要證明）

12.如圖，ZkABC與4DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求證：AABE^DCE；

(2)當(dāng)NAEB=50°,求NEBC的度數(shù)？

13.如圖，在4ABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE

_LAB于點(diǎn)E.

(1)求證：ZkACD0ZkAED；

(2)若N若30°,CD=1,求BD的長.

14.如圖，點(diǎn)D,E在aABC的邊BC上，AB=AC,BD=CE.求證：AD二AE.

15.已知：如圖，AD,BC相交于點(diǎn)0,0A=0D,AB/7CD.

求證：AB=CD.

AB

c乙----------

16.如圖，把一個(gè)直角三角形ACB(ZACB=90°)繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點(diǎn)D,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置.F,G分別是BD,BE

上的點(diǎn)，BF二BG,延長CF與DG交于點(diǎn)H.

(1)求證：CF=DG；

(2)求出NFHG的度數(shù).

17.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB/7ED,AC/7FD,求證：AC二DF.

18.如圖，ZkABC和4ADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,NDAE=90°,B,C,

D在同一條直線上.求證：BD二CE.

19.如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF,AB〃DE,NA=ND.求

證：AB=DE.

20.已知AABC為等腰直角三角形，NACB=90°,點(diǎn)P在BC邊上(P不與B、C

重合)或點(diǎn)P在aABC內(nèi)部，連接CP、BP,將CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到

線段CE；將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段BD,連接ED交AB于點(diǎn)0.

(1)如圖a,當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，求證：0A=0B；

(2)如圖b,當(dāng)點(diǎn)P在AABC內(nèi)部時(shí)，

①0ARB是否成立？請說明理由；

②直接寫出NBPC為多少度時(shí)，AB二DE.

21.(1)如圖1,在aABC和4DCE中，AB〃DC.AB=DC,BC=CE,且點(diǎn)B,C,E

在一條直線上.求證：NA二ND.

(2)如圖2,在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AB=4,NA0D=1200,

圖1圖2

22.(1)如圖，AB平分NCAD,AC=AD,求證：BC二BD；

(2)列方程解應(yīng)用題

把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4

本，則還缺25本，這個(gè)班有多少學(xué)生？

23.已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，ABRA,DE〃AB,NB=NDAE.求證：BC二AE.

24.【問題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直

角三角形全等的判定方法（即“HL"）后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和

其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.

【初步思考】

我們不妨將問題用符號語言表示為：在AABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,NB二

NE,然后，對NB進(jìn)行分類，可分為“NB是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)NB是直角時(shí)，△ABCgZiDEF.

(1)如圖①，在4ABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE二90°,根據(jù),

可以知道RtAABC^RtADEF.

第二種情況：當(dāng)NB是鈍角時(shí)，Z\ABCgZ\DEF.

(2)如圖②，在4ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是鈍

角，求證：△ABC0Z\DEF.

第三種情況：當(dāng)NB是銳角時(shí)，^ABC和4DEF不一定全等.

(3)在aABC和△DEF,ACRF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是銳角，請你

用尺規(guī)在圖③中作出ADEF,使4DEF和AABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕

跡)

(4)NB還要滿足什么條件，就可以使4ABC@4DEF?請直接寫出結(jié)論：在4

ABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是銳角，若,

則AABC@ZXDEF.

25.問題背景：

如圖1:在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,NB=NADC=90°.E,F分別

是BC,CD上的點(diǎn).且NEAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G.使DG二BE.連結(jié)AG,先證明△

ABE^AADG,再證明△AEFgaAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是;

如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,NB+ND=180°.E,F分別是BC,CD上的

點(diǎn)，且NEAF二2NBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

實(shí)際應(yīng)用：

如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(0處)北偏西30°的A處，艦

艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到

行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東

50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩

艦艇分別到達(dá)E,F處，且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距

離.

26.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC與BD相交于。點(diǎn)，0C=0A,若

E是CD上任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F,連接DF.

(1)證明：ZkCBF義ZXCDF；

(2)若AC=25，BD=2,求四邊形ABCD的周長；

(3)請你添加一個(gè)條件，使得NEFD二NBAD,并予以證明.

27.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、B、D、F在同一直線上，且

BE=DF.求證：AE=CF.

28.(1)如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±,NEAF=45°,

延長CD到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)EF,AG.求證：EF=FG.

(2)如圖，等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC上,

且NMAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的長.

29.如圖，在4ABC中，NACB二90。，AC二BC,E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作ADJ_

AB交BE的延長線于點(diǎn)D,CG平分NACB交BD于點(diǎn)G,F為AB邊上一點(diǎn)，連接

CF,且NACF=NCBG.求證：

(1)AF=CG；

(2)CF=2DE.

30.如圖，在aABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC+ZEAD=180°,Z^ABC不

動(dòng)，4ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD,F為BE的中點(diǎn)，連接AF.

(1)如圖①，當(dāng)NBAE=90°時(shí),求證：CD=2AF；

(2)當(dāng)NBAEW90。時(shí)，(1)的結(jié)論是否成立？請結(jié)合圖②說明理由.

ED

BCB

圖①圖②

第12章全等三角形

參考答案

一、選擇題（共9小題）

1.如圖，在aABC中，NABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的

長是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm

【解答】解：二下是高AD和BE的交點(diǎn)，

???NADC二NADB二NAEF二90°,

/.ZCAD+ZAFE=90°,ZDBF+ZBFD=90°,

'.'ZAFE=ZBFD,

?，ZCAD=ZFBD,

?/ZADB=90°,NABC=45°,

ZBAD=45°=ZABD,

.'.AD=BD,

在△DBF和ADAC中

'NFBD二NCAD

<DB=AD

ZFDB=ZCDA

/.△DBF^ADAC(ASA),

.'.BF=AC=8cm,

故選C.

2.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，0是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1,V3）,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.(-1)B.(-1,C.(V3,1)D.(--1)

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作ADJ_x軸于D,過點(diǎn)C作CE_Lx軸于E,

.?.四邊形OABC是正方形，

/.OA=OC,ZA0C=90°,

AZC0E+ZA0D=90°,

又?.?/0人口+/人0口=90°,

Z0AD=ZC0E,

在aAOD和aOCE中，

rZ0AD=ZC0E

<ZAD0=Z0EC=90o,

OA=OC

/.△AOD^AOCE(AAS),

???0E二AD二近，CE=OD=1,

丁點(diǎn)C在第二象限，

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-V3,1).

3.（2014?湖州）在連接A地與B地的線段上有四個(gè)不同的點(diǎn)D、G、K、Q,下

列四幅圖中的實(shí)線分別表示某人從A地到B地的不同行進(jìn)路線（箭頭表示行進(jìn)的

方向），則路程最長的行進(jìn)路線圖是（）

【解答】

A

解：A、延長AC、BE交于S,

???NCAB=NEDB=45°,

/.AS/ZED,貝l]SC〃DE.

同理SE〃CD,

二.四邊形SCDE是平行四邊形,

ASE=CD,DE=CS,

即走的路線長是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；

B、延長AF、BH交于S”作FK〃GH與BH的延長線交于點(diǎn)K,

???NSAB=NS|AB=45°,ZSBA=ZS,BA=70°,AB=AB,

/.△SAB^AS.AB,

.'.AS=AS1,BS二BS”

VZFGH=180°-70°-43°=67°=ZGHB,

/.FG/7KH,

VFK/7GH,

???四邊形FGHK是平行四邊形,

/.FK=GH,FG=KH,

AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB,

,

.TS,+SIK>FK,

C、D、同理可證得AI+IK+KM+MBVASz+BSzVAN+NQ+QP+PB.

綜上所述，D選項(xiàng)的所走的線路最長.

故選：D.

4.如圖，坐標(biāo)平面上，AABC與4DEF全等，其中A、B、C的對應(yīng)頂點(diǎn)分別為D、

E、F,且AB二BC=5.若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,1）,B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=-3的圖

形上，D、E兩點(diǎn)在y軸上，則F點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為何？（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、P.

???NDPF=NAKC=ZCHA=90°.

TAB二BC,

/.ZBAC=ZBCA.

在△AKC和aCHA中

rZAKC=ZCHA

<AC=CA,

ZBAC=ZBCA

/.△AKC^ACHA(ASA),

/.KC=HA.

VBvC兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=-3的圖形上，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,1),

.*.AH=4.

/.KC=4.

:△ABC9△DEF,

/.ZBAC=ZEDF,AC=DF.

在△AKC和4DPF中，

'NAKC二NDPF

?ZBAC=ZEDF,

AC=DF

/.△AKC^ADPF(AAS),

/.KC=PF=4.

5.平面上有AACD與ABCE,其中AD與BE相交于P點(diǎn)，如圖.若AC=BC,AD=BE,

CD=CE,ZACE=55°,ZBCD=155°,則NBPD的度數(shù)為()

A.110°B.125°C.130°D.155°

【解答】解：在4ACD和4BCE中，

rAC=BC

,CD=CE,

AD二BE

.'.△ACD^ABCE(SSS),

ZA=ZB,ZBCE=ZACD,

ZBCA=ZECD,

「NACE=55°,NBCD=155°,

AZBCA+ZECD=100°,

AZBCA=ZECD=50°,

YNACE=55°,

/.ZACD=105°

AZA+ZD=75°,

???NB+ND=75°,

VZBCD=155°,

/.ZBPD=360°-75°-155°=130°,

故選：C.

6.如圖，在AABC和4BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F.若AC=BD,

AB二ED,BC=BE,則NACB等于()

A.ZEDBB.NBEDC.-NAFBD.2NABF

【解答】解：在aABC和4DEB中，

rAC=BD

<AB=ED,

BC二BE

.'.△ABC^ADEB(SSS),

ZACB=ZDBE.

???NAFB是ABFC的外角,

ZACB+ZDBE=ZAFB,

NACB^NAFB,

故選：c.

7.如圖，AB=4,射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線

BM上，BE二,DB,作EF_LDE并截取EF二DE,連結(jié)AF并延長交射線BM于點(diǎn)C.設(shè)

BE=x,BC=y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）

【解答】解：作FGLBC于G,

VZDEB+ZFEC=90°,ZDEB+ZBDE=90°；

ZBDE=ZFEG,

在4DBE與aEGF中

'/B=/FGE

<ZBDE=ZFEG

DE二EF

.-.△DBE^AEGF,

AEG=DB,FG=BE=x,

/.EG=DB=2BE=2x,

.'.GC=y-3x,

VFG±BC,AB±BC,

???FG〃AB,

CG：BC=FG：AB,

12x

--y=-

x-4,

故選：A.

8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD二6,AB±BC,AD±CD,NBAD=60°,點(diǎn)M、N

分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2,則tan/MCN二()

【解答】解：TAB=AD二6,AM：MB=AN：ND=1：2,

二?AM二AN二2,BMRN=4,

連接MN,連接AC,

VAB±BC,AD±CD,NBAD=60°

在RtZ\ABC與RtaADC中，

[AB=AD

IAC=AC，

.'.RtAABC^RtAADC(HL)

/.ZBAC=ZDAC=-^ZBAD=30°,MC=NC,

/.BC=-1AC,

/.ACZ=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,

3BC2=AB2,

BC=2^/3I

在RtZ\BMC中，CMWBM2+BC沖2+(2?產(chǎn)2近

TAN二AM,NMAN=60°,

「.△MAN是等邊三角形,

.?.MN=AM二AN二2,

過M點(diǎn)作ME_LCN于E,設(shè)NE=x,則CE=2攻-x,

/.MN2-NE2=MC2-EC2,即4-x三(2。2-(20-x)2,

解得：x=^^,

.,.EC=2V7-

77

3721

?*-ME=7MN2-NE2=-

7

.ME3^3

..tanZMCN=—=—

EC13

故選：A.

9.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的兩

直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長為a,則重疊部

分四邊形EMCN的面積為（）

A2c2口1-2「562n4c2

A.-aD.-aU.aD.--a

3499

【解答】解：過E作EPJ_BC于點(diǎn)P,EQ_LCD于點(diǎn)Q,

???四邊形ABCD是正方形，

/.ZBCD=90°,

又???NEPM二NEQN=90°,

/.ZPEQ=90°,

AZPEM+ZMEQ=90°,

???三角形FFG是直角三角形,

ZNEF=NNEQ+NMEQ=90°,

「?NPEM二NNEQ,

〈AC是NBCD的角平分線，NEPC二NEQC=90°,

.'.EP=EQ,四邊形PCQE是正方形,

在aEPM和aEON中，

rZPEM=ZNEQ

<EP=EQ,

ZEPI=ZEQN

??.△EPMg△EQN(ASA)

?'SAEQN=SAEPtl,

二四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積,

.??正方形ABCD的邊長為a,

*'?AC=*,

VEC=2AE,

…EC——a,

2

.?.EP=PC=-^-a,

J

.二正方形PCQE的面積二條x￡a=[a?,

joy

???四邊形EMCN的面積二4a?,

y

故選：D.

二、解答題(共21小題)

10.如圖，已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°.

(1)若NECF=30°,CF=8,求CE的長;

(2)求證：Z\ABF0ZWEC；

(3)求證：四邊形BCEF是矩形.

【解答】(1)解：???NCEF=900.

cosNECF=-^-.

CF

VZECF=30°,CF=8.

.'.CF=CF?cos300=8X^=4V3;

2

(2)證明：.「AB〃DE,

/.NA=ND,

V4AABF^nADEC中

'AB=DE

<NA=ND

AF=DC

.'.△ABF^ADEC(SAS)；

(3)證明：由(2)可知：△ABFgZkDEC,

/.BF=CE,ZAFB=ZDCE,

VZAFB+ZBFC=180°,ZDCE+ZECF=180°,

ZBFC=ZECF,

.'.BF/7EC,

???四邊形BCEF是平行四邊形，

VZCEF=90°,

二四邊形BCEF是矩形.

11.已知aABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC,以DC

為邊在DC兩側(cè)作等邊aDCE和等邊ADCF（點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC

左側(cè)或下側(cè)），連接AE、BF

（1）如圖1,若點(diǎn)D在AB邊上，請你通過觀察，測量，猜想線段AE、BF和AB

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2,若點(diǎn)D在AB的延長線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎

樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論（不需要證明）；

（3）若點(diǎn)D在AB的反向延長線上，其他條件不變，請?jiān)趫D3中畫出圖形，探究

線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論（不需要證明）

【解答】解：(1)AE+BF=AB,如圖1,

:△ABC和aDCF是等邊三角形，

.,.CA=CB,CD=CF,ZACB=ZDCF=60°.

/.ZACD=ZBCF,

在4ACD和ABCF中

rCA=CB

<ZACD=ZBCF

CD=CF

.'.△ACD^ABCF(SAS)

.'.AD=BF

同理：△CBDgZkCAE(SAS)

/.BD=AE

/.AE+BF=BD+AD=AB；

(2)BF-AE=AB,

如圖2,易證△CBF4ZkCAD和△CBDqZkCAE,

.'.AD=BF,BD=AE,

ABF-AE=AD-BD=AB；

(3)AE-BF=AB,

如圖3,易證4CBF04CAD和△CBD0Z\CAE,

.'.AD=BF,BD=AE,

/.BF-AE=AD-BD=AB.

12.(2013?舟山)如圖，AABC與z\DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求證：AABE^DCE；

(2)當(dāng)NAEB=50°,求NEBC的度數(shù)？

AD

【解答】G)證明：???在AABE和ADCE中

4二ND

<ZAEB=ZDEC

AB=DC

/.△ABE^ADCE(AAS)；

(2)解：?「△ABEg/kDCE,

二?BE=EC,

ZEBC=ZECB,

???NEBC+NECB=NAEB=50°,

/.ZEBC=25°.

13.如圖，在AABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE

±AB于點(diǎn)E.

(1)求證：Z\ACD義ZkAED；

(2)若NB=30°,CD=1,求BD的長.

【解答】(1)證明：TAD平分NCAB,DE±AB,ZC=90°,

「?CD二ED,ZDEA=ZC=90°,

???在RtZkACD和RtAAED中

[AD=AD

(CD=DE

ARtAACD^RtAAED(HL)；

(2)解：-/DC=DE=1,DE±AB,

/.ZDEB=90°,

VZB=30°,

.'.BD=2DE=2.

14.如圖，點(diǎn)D,E在AABC的邊BC上，AB=AC,BD=CE.求證：AD二AE.

【解答】證明：TAB=AC,

/.ZB=ZC,

在4ABD與4ACE中，

'AB=AC

ZB=ZC,

BD=EC

AAABD^AACE(SAS),

/.AD=AE.

15.已知：如圖，AD,BC相交于點(diǎn)0,0A=0D,AB/7CD.

求證：AB=CD.

【解答】證明：?「AB〃CD,

ZB=ZC,NA=ND,

;在aAOB和△DOC中，

rZB=ZC

<NA=ND,

OA=OD

/.△AOB^ADOC(AAS),

.*.AB=CD.

16.如圖，把一個(gè)直角三角形ACB(ZACB=90°)繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點(diǎn)D,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置.F,G分別是BD,BE

上的點(diǎn)，BF=BG,延長CF與DG交于點(diǎn)H.

(1)求證：CF=DG；

(2)求出NFHG的度數(shù).

【解答】(1)證明：???在4CBF和aUBG中，

rBC=BD

<ZCBF=ZDBG,

BF=BG

/.△CBF^ADBG(SAS),

/.CF=DG；

(2)解：VACBF^ADBG,

AZBCF=ZBDG,

又「ZCFB=ZDFH,

又「△BCF中，ZCBF=180°-ZBCF-ZCFB,

△DHF中，ZDHF=180°-ZBDG-ZDFH,

AZDHF=ZCBF=60°,

ZFHG=180°-NDHF=1800-60°=120°.

E

CB

17.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB〃ED,AC/7FD,求證：AC二DF.

【解答】證明：?.?FB=CE,

???FB+FC=CE+FC,

ABC=EF,

VAB/7ED,AC〃FD,

???NB=NE,NACB二NDFE,

???在AABC和ADEF中，

rZB=ZE

<BC=EF,

ZACD=ZDFE

/.△ABC^ADEF(ASA),

??.AC=DF.

18.如圖，AABC和aADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,NDAE=90°,B,C,

D在同一條直線上.求證：BD=CE.

【解答】證明：:△ABC和4ADE都是等腰直角三角形

/.AD=AE,AB=AC,

ZEAC=90°+ZCAD,NDAB=900+ZCAD,

ZDAB=ZEAC,

???在4ADB和AAEC中

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

/.△ADB^AAEC(SAS),

.,.BD=CE.

19.如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF,AB〃DE,NA=ND.求

證：AB二DE.

【解答】證明：IBE=CF,???BC=EF.

???AB〃DE,???NB二NDEF.

在aABC與ADEF中，

'NA二ND

<NB=NDEF,

BC=EF

/.△ABC^ADEF(AAS),

???AB=DE.

20.已知AABC為等腰直角三角形，NACB=90°,點(diǎn)P在BC邊上(P不與B、C

重合)或點(diǎn)P在aABC內(nèi)部，連接CP、BP,將CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到

線段CE；將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段BD,連接ED交AB于點(diǎn)0.

(1)如圖a,當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，求證：0A=0B；

(2)如圖b,當(dāng)點(diǎn)P在AABC內(nèi)部時(shí)，

①0A=0B是否成立？請說明理由；

②直接寫出ZBPC為多少度時(shí)，AB二DE.

【解答】(1)證明：:△ABC為等腰直角三角形,

?，CA=CB,NA=NABC二45°,

由旋轉(zhuǎn)可知：CP=CE,BP=BD,

.,.CA-CE=CB-CP,

即AE=BP,

AAE=BD.

又7NCBD=90°,/.Z0BD=45°,

在aAEO和△BDO中，

'NAOE二NBOD

,ZA=Z0BD=45",

AE=BD

/.△AEO^ABDO(AAS),

/.OA=OB；

(2)成立，理由如下：

連接AE,則AAECgABCP,

.-.AE=BP,ZCAE=ZBPC,

YBP=BD,

.'.BD=AE,

VZ0AE=45°+ZCAE,Z0BD=90°-Z0BP=90°-(45°-ZBPC)=45°+ZPBC,

ZOAE=ZOBD,

在AAEO和△BDO中，

'NAOE=NBOD

<ZOAE=ZOBD,

AE=BD

/.△AEO^ABDO(AAS),

/.OA=OB,

②當(dāng)NBPC=135°時(shí)，AB=DE.理由如下：

解法一：

當(dāng)AB二DE時(shí)，由①知0A=OB,.*.OA=OB=OE=OD.

設(shè)NPCB二a,由旋轉(zhuǎn)可知，NACE二a.

連接0C,則0C二0A=OB,.'.OC=OE,

/.ZDEC=Z0CE=450+a.

設(shè)NPBC=B,則NABP=45。-p,Z0BD=90°-ZABP=45°+P.

'/OB=OD,/.ZD=Z0BD=45°+p.

在四邊形BCED中，NDEC+ND+NDBC+NBCE=360°,

即：(45°+a)+(45°+B)+(90°+。)+(90°+a)=360°,

解得：a+p=45°,

/.ZBPC=180°-(a+P)=135°.

解法二(本溪趙老師提供，更為簡潔)：

當(dāng)AB=DE時(shí)，四邊形AEBD為矩形

則NDBE=90。=ZDBP,

?，點(diǎn)P落在線段BE上.

VAECP為等腰直角三角形，

AZEPC=45°,

/.NBPC=1800-ZEPC=135°.

D

21.(1)如圖1,在AABC和aDCE中，AB/7DC,AB=DC,BC=CE,且點(diǎn)B,C,E

在一條直線上.求證：NA二ND.

(2)如圖2,在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AB=4,ZA0D=120°,

求AC的長.

/.ZB=ZDCE,

rAB=DC

在4ABC和aDCE中JZB=ZDCE,

CB=CE

/.△ABC^ADCE(SAS),

二?NA二ND；

(2)解：:四邊形ABCD是矩形,

/.A0=B0=C0=D0,

VZA0D=120°,

ZA0B=60°,

AAAOB是等邊三角形，

「?AO二AB二4,

,*.AC=2A0=8.

22.(1)如圖，AB平分NCAD,AC=AD,求證：BC二BD；

(2)列方程解應(yīng)用題

把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本;如果每人分4

本，則還缺25本，這個(gè)班有多少學(xué)生？

【解答】(1)證明：TAB平分NCAD,

ZCAB=ZDAB,

在4ABC和aABD中

rAC=AD

<ZCAB=ZDAB

AB二AB

/.△ABC^AABD(SAS),

ABC=BD.

(2)解：設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，根據(jù)題意得：3x+20=4x-25,

解得：x=45,

答：這個(gè)班有45名學(xué)生.

23.已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB=DA,DE〃AB,ZB=ZDAE.求證:BC=AE.

【解答】證明：???DE〃AB,

ZCAB=ZADE,

V^EAABCWADAE中，

rZCAB=ZADE

<AB=DA,

ZB=ZDAE

/.△ABC^ADAE(ASA),

/.BC=AE.

24.【問題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直

角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和

其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.

【初步思考】

我們不妨將問題用符號語言表示為：在AABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,ZB=

NE,然后，對NB進(jìn)行分類，可分為“NB是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)NB是直角時(shí)，△ABC^^DEF.

(1)如圖①，在aABC和△DEF,ACRF,BC=EF,NB=NE=90°,根據(jù)HL,

可以知道RtAABC^RtADEF.

第二種情況：當(dāng)NB是鈍角時(shí)，^ABCgADEF.

(2)如圖②，在aABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是鈍

角，求證：Z\ABCgZ\DEF.

第三種情況：當(dāng)NB是銳角時(shí)，^ABC和aDEF不一定全等.

(3)在4ABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是銳角，請你

用尺規(guī)在圖③中作出△DEF,使ADEF和AABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕

跡)

(4)NB還要滿足什么條件，就可以使4ABCgZkDEF?請直接寫出結(jié)論：在4

ABC和4DEF中，ACRF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是銳角，若NB2N

A,則△ABC0ZWEF.

【解答】(1)解：HL；

(2)證明：如圖，過點(diǎn)C作CGLAB交AB的延長線于G,過點(diǎn)F作FH_LDE交DE

的延長線于H,

VZABC=ZDEF,且NABC、NDEF都是鈍角，

.'.180°-ZABC=180°-ZDEF,

即NCBG二NFEH,

在4CBG和aFEH中，

'NCBG:NFEH

,ZG=ZH=90o,

BC=EF

.'.△CBG^AFEH(AAS),

.'.CG=FH,

4RtAACG和RtADFH中，

fAC=DF

lCG=FH，

.'.RtAACG^RtADFH(HL),

NA=ND,

在4ABC和ADEF中，

'NA=ND

<NABC=NDEF,

AC=DF

.'.△ABC^ADEF(AAS)；

(3)解：如圖，ZXDEF和AABC不全等;

C(尸)

(4)解：若NB2NA,則△ABC0Z\DEF.

故答案為：(1)HL；(4)NB2NA.

（2）題圖

25.（2014?德州）問題背景：

如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD,NBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分別

是BC,CD上的點(diǎn).且NEAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明△

ABE^AADG,再證明4AEFgZkAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF=BE+DF；

探索延伸：

如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,NB+ND=1800.E,F分別是BC,CD上的

點(diǎn)，且NEAF二2NBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

實(shí)際應(yīng)用：

如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（0處）北偏西30°的A處，艦

艇乙在指揮中心南偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到

行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東

50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩

艦艇分別到達(dá)E,F處，且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距

離.

【解答】解：問題背景：EF=BE+DF；

探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.

證明如下：如圖，延長FD到G,使DG二BE,連接AG,

??,NB+NADC=180°,ZADC+ZADG=180°,

ZB=ZADG,

在4ABE和aADG中，

rDG=BE

<ZB=ZADG,

AB二AD

/.△ABE^AADG(SAS),

/.AE=AG,NBAE二NDAG,

VZEAF=-^-ZBAD,

???ZGAF=ZDAG+NDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

???ZEAF=ZGAF,

在4AEF和aGAF中，

rAE=AG

?ZEAF=ZGAF,

AF=AF

/.△AEF^AGAF(SAS),

/.EF=FG,

'/FG=DG+DF=BE+DF,

.，EF=BE+DF；

實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接EF,延長AE、BF相交于點(diǎn)C,

?「NAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,

NEOF=70°,

AZEOF=-|zAOB,

又TOA二OB,

NOAC+NOBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

???符合探索延伸中的條件，

???結(jié)論EF=AE+BF成立，

即EF=1.5X(60+80)=210海里.

答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里.

26.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC與BD相交于。點(diǎn)，0C=0A,若

E是CD上任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F,連接DF.

(1)證明：ZkCBF9ZXCDF；

(2)若AC=2的，BD=2,求四邊形ABCD的周長；

(3)請你添加一個(gè)條件，使得NEFD二NBAD,并予以證明.

【解答】(1)證明：在AABC和△ADC中,

'AB=AD

<BC=DC,

AC=AC

.'.△ABC^AADC(SSS),

/.ZBCA=ZDCA,

在ACBF和4CDF中，

rBC=DC

<ZBCA=ZDCA,

CF=CF

/.△CBF^ACDF(SAS),

(2)解：VAABC^AADC,

/.△ABC和4ADC是軸對稱圖形，

AOB=OD,BD±AC,

*/OA=OC,

???四邊形ABCD是菱形，

/.AB=BC=CD=DA,

?/AC=2V3,BD=2,

.■.0A=V3,OB=1,

AB=7OA2+OB2=7(A/3)2+12=2，

?，四邊形ABCD的周長二4AB=4X2=8.

(3)當(dāng)EB_LCD時(shí)，即E為過B且和CD垂直時(shí)垂線的垂足，NEFD二NBCD,

理由：??.四邊形ABCD為菱形，

???BC二CD,ZBCF=ZDCF,NBCD二NBAD,

VABCF^ADCF,

/.ZCBF=ZCDF,

VBEXCD,

/.ZBEC=ZDEF=90°,

/.ZBCD+ZCBF=90°,ZEFD+ZCDF=90°,

ZEFD=ZBAD.

27.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、B、D、F在同一直線上，且

BE二DF.求證：AE二CF.

【解答】證明：..?四邊形ABCD是平行四邊形,

.'.AB=CD,AB/7CD,

ZABD=ZCDB,

???180°-NABD=180°-ZCDB,

即NABE=NCDF,

在4ABE和ACDF中，

rAB=CD

<ZABE=ZCDF,

BE=DF

.,.△ABE^ACDF(SAS),

/.AE=CF.

28.(1)如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±,NEAF=45°,

延長CD到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)EF,AG.求證：EF=FG.

(2)如圖，等