1-4-2用空間向量研究距離、夾角問題(第1課時(shí))(導(dǎo)學(xué)案)原卷版

班級(jí)：姓名：日期：《1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題》（第1課時(shí)）導(dǎo)學(xué)案地位：本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)到平面的距離公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3.能描述用向量方法解決距離問題的程序，體會(huì)向量方法在研究距離問題中的作用，強(qiáng)化邏輯推理的核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)到平面的距離公式難點(diǎn)：向量方法在研究距離問題中的作用自主預(yù)習(xí)：本節(jié)所處教材的第頁.復(fù)習(xí)——空間向量與直線、平面的位置關(guān)系：投影向量：預(yù)習(xí)——點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到平面的距離：線線距、線面距、面面距：新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究（一）新知導(dǎo)入如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路,某人要在點(diǎn)A處，修建一個(gè)蔬菜存儲(chǔ)庫。如何在公路上選擇一個(gè)點(diǎn),修一條公路到達(dá)A點(diǎn),要想使這個(gè)路線長(zhǎng)度理論上最短,應(yīng)該如何設(shè)計(jì)？問題：空間中包括哪些距離?求解空間距離常用的方法有哪些?答案：點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條平行線及兩個(gè)平行平面的距離;傳統(tǒng)方法和向量法.用空間向量研究距離【探究1】如圖，在空間中任取一點(diǎn)O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，回答下列兩個(gè)問題：(1)設(shè)與b方向相同的單位向量為e，那么向量a在向量b上的投影向量eq\o(OM1,\s\up6(→))等于什么？(2)怎樣求線段MM1的長(zhǎng)度？長(zhǎng)度的表達(dá)式是什么？◆點(diǎn)到直線的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)．如圖，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.點(diǎn)P到直線l的距離PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).【做一做】(教材P34例6改編)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，E是CC1的中點(diǎn)，則E到A1B的距離為()A.eq\f(4\r(3),3)B．2eq\r(6)C．2eq\r(5) D．3eq\r(2)【思考】類比點(diǎn)到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？【探究2】如圖，平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，從向量投影的角度來看，點(diǎn)P到平面α的距離可以看成什么？對(duì)應(yīng)的表達(dá)式是什么？◆點(diǎn)到平面的距離：設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).點(diǎn)睛：實(shí)質(zhì)上,n是直線l的方向向量,點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長(zhǎng)度.【做一做】已知平面α的一個(gè)法向量n＝(－2，－2,1)，點(diǎn)A(－1,3,0)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P(－2,1,4)到α的距離為()A．10B．3C.eq\f(8,3) D.eq\f(10,3)【思考】類比點(diǎn)到平面的距離的求法，如何求平行與平面的直線到平面之間的距離？?jī)蓚€(gè)平行平面之間的距離？（三）典型例題1.點(diǎn)到直線的距離（兩條平行直線之間的距離）例1.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是線段DC1的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線AD1的距離．【變式探究】本題條件“M是線段DC1的中點(diǎn)”改為“M是線段DC1上的動(dòng)點(diǎn)”，試求點(diǎn)M到直線AD1距離的最小值．【類題通法】向量法求點(diǎn)N到直線l的距離的步驟第一步：建系，依據(jù)圖形先求出直線l的單位方向向量s.第二步：在直線l上任取一點(diǎn)M(注：eq\o(MN,\s\up6(→))可選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn))．計(jì)算點(diǎn)M與直線l外的點(diǎn)N的方向向量eq\o(MN,\s\up6(→)).第三步：易知垂線段的長(zhǎng)度可利用直角三角形中的勾股定理計(jì)算d＝eq\r(|\o(MN,\s\up6(→))|2－|\o(MN,\s\up6(→))·s|2).【提醒】?jī)蓷l平行直線之間的距離的求法：在一條直線上任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)到另一條直線的距離即可?！眷柟叹毩?xí)1】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1＝eq\r(2)AB＝2eq\r(2)，求點(diǎn)C到直線AB1的距離．2.點(diǎn)到平面的距離（直線與平面、平面與平面之間的距離）例2.如圖，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)DA、DC和的長(zhǎng)分別為1、2、1．求：(1)頂點(diǎn)B到平面的距離；(2)直線到平面的距離．【類題通法】求點(diǎn)到平面的距離的四步驟【鞏固練習(xí)2】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面GEF的距離．【鞏固練習(xí)3】如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，M，N分別為棱AD，AB，DC，BC的中點(diǎn)．求平面A1EF與平面B1NMD1間的距離．（四）操作演練素養(yǎng)提升1.已知△ABC的頂點(diǎn)A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則AC邊上的高BD的長(zhǎng)等于()A．3 B．4C．5 D．62．若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是()A.eq\f(\r(6),6) B.eq\f(\r(6),9)C.63 D.eq\f(\r(3),3)3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則點(diǎn)A1到對(duì)角線BC1所在的直線的距離為()A.eq\f(\r(6),2)a B．a(chǎn)C.eq\r(2)a D.eq\f(a,2)4.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是線段BB1，B1C1的中點(diǎn)，則直線MN與平面ACD1間的距離是()課堂小結(jié)通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)【自我評(píng)價(jià)】你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）A.很好B.較好C.一般D.較差【導(dǎo)學(xué)案評(píng)價(jià)】本節(jié)導(dǎo)學(xué)案難度如何（）A.很好B.較好C.一般D.較差【建議】你對(duì)本