【壓軸專練】專題06 乘法公式的四種題型大全（解析版）-2021-2022學(xué)年八上壓軸題攻略

專題06乘法公式的四種題型大全類型一、平方差公式與幾何圖形綜合例1．乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）如圖1可以求出陰影部分的面積是________；（2）如圖2若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，它的寬是_______，長(zhǎng)是________，面積是________；（3）比較圖1、圖2的陰影部分面積，則可以得到乘法公式________；（用含a，b的式子表示）（4）小明展示了以下例題：計(jì)算：．解：原式=……．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)會(huì)觀察，嘗試從不同角度分析問題，這樣才能學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)．請(qǐng)計(jì)算：．【答案】（1）a2-b2；（2）a-b，a+b，（a+b）（a-b）；（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）332【詳解】解：（1）大的正方形邊長(zhǎng)為a，面積為a2，小正方形邊長(zhǎng)為b，面積為b2，因?yàn)殛幱安糠值拿娣e為大的正方形面積減去小的正方形面積，陰影部分面積=a2-b2，故答案為：a2-b2；（2）拼成矩形的長(zhǎng)是a+b，寬是a-b，面積是（a+b）（a-b），故答案為：a-b，a+b，（a+b）（a-b）；（3）因?yàn)閳D1的陰影部分與圖2面積相等，所以a2-b2=（a+b）（a-b），故答案為：a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（34-1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（38-1）（38+1）（316+1）+1=（316-1）（316+1）+1=332-1+1=332.故答案為：332．【變式訓(xùn)練1】下面的圖是由邊長(zhǎng)為a的正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后余下的圖形．把圖剪開后，再拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，可以用來驗(yàn)證公式：．（1）（操作）用兩種方法對(duì)所給圖進(jìn)行剪拼．要求：①在原圖上畫剪切線（用虛線表示）；②拼成四邊形，在右側(cè)畫出示意圖；③在拼出的圖形上標(biāo)出已知的邊長(zhǎng)．（剪切方法一）（剪切方法二）（2）（驗(yàn)證）選擇其中一種拼法寫出驗(yàn)證上述公式的過程．（3）（延伸）給你提供數(shù)量足夠多的長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形，請(qǐng)你通過構(gòu)圖來驗(yàn)證恒等式：．（畫出示意圖）【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解【詳解】解：（1）剪切方法一：剪切方法二：（2）利用圖①證明，因?yàn)槠唇忧昂蟮膬蓚€(gè)圖形面積相等，拼接前的面積＝a2?b2，拼接后的面積＝（a?b）（a＋b），所以a2?b2＝（a?b）（a＋b）；（3）如圖所示：上述圖形的面積，可以驗(yàn)證：．【變式訓(xùn)練2】從邊長(zhǎng)為的正方形剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是______（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）．A．B．C．（2）若，，求的值；（3）計(jì)算：．【答案】（1）B；（2）；（3）【詳解】解：（1）根據(jù)陰影部分面積相等可得：，

上述操作能驗(yàn)證的等式是B，故答案為：B；（2）∵，∵∴（3）【變式訓(xùn)練3】（1）如圖1所示，若大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，則陰影部分的面積是______；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2所示的一個(gè)長(zhǎng)方形，則它的面積是_________；（2）由（1）可以得到一個(gè)乘法公式是________；（3）利用你得到的公式計(jì)算：．【答案】（1）a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）1【詳解】解：（1）圖①陰影部分的面積為：a2-b2，圖②長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+b，寬為a-b，所以面積為：（a+b）（a-b），故答案為：a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）由（1）可得：（a+b）（a-b）=a2-b2，故答案為：（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）20212-2022×2020=20212-（2021+1）（2021-1）=20212-20212+1=1．類型二、完全平方公式變形例．已知，求與的值．【答案】【詳解】，,，,．【變式訓(xùn)練1】已知，求的值．【答案】34【詳解】解：根據(jù)非負(fù)性，得：，，，，，的值是34．【變式訓(xùn)練2】已知，求（1）的值；（2）的值．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）∵，又∵，∴；（2）∵，∴．【變式訓(xùn)練3】若把代數(shù)式化成的形式，其中，為常數(shù)，則______．【答案】【詳解】解：∵＝x2?2x＋1?3＝（x?1）2?3，∴m＝?1，k＝?3，∴m＋k＝?4．故答案為：?4．類型三、完全平方公式字母的值例1．當(dāng)k取何值時(shí)，是一個(gè)完全平方式？【答案】【詳解】解：∵100x2﹣kxy+49y2是一個(gè)完全平方式，∴﹣k＝±2×10×7，∴k＝±140，即當(dāng)k＝±140時(shí)，100x2﹣kxy+49y2是一個(gè)完全平方式．【變式訓(xùn)練1】如果是一個(gè)完全平方公式，求k的值．【答案】．【詳解】由題意得：，即，則解得．【變式訓(xùn)練2】若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)，完全平方數(shù)是非負(fù)數(shù)．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．（1）若28+210+2n是完全平方數(shù)，求n的值．（2）若一個(gè)正整數(shù)，它加上61是一個(gè)完全平方數(shù)，當(dāng)減去11是另一個(gè)完全平方數(shù)，寫所有符合的正整數(shù)．【答案】（1）n＝4或n＝10；（2）所有符合的正整數(shù)是20、60或300．【詳解】（1）解：∵a2+b2+2ab＝（a+b）2，∴若28＝a2，210＝b2，則a＝24，b＝25，2n＝2ab＝210，解得：n＝10若28＝a2，210＝2ab，所以b＝25，則2n＝b2＝210，解得：n＝10，若210＝a2，28＝2ab，所以b＝22，則2n＝b2＝24，解得：n＝4，所以n＝4或n＝10；（2）解：設(shè)正整數(shù)為x，則x+61＝a2，x﹣11＝b2（a＞b，且a，b是正整數(shù)），則a2﹣b2＝x+61﹣x+11＝72，故（a+b）（a﹣b）＝72，由于a+b與a﹣b同奇偶，故或或者，當(dāng)時(shí),解得：，∴x＝b2+11＝60；當(dāng)時(shí)，解得：，∴x＝b2+11＝300；當(dāng)時(shí)，解得：，∴x＝b2+11＝20．所以所有符合的正整數(shù)是20、60或300．類型四、完全平方公式與幾何圖形例1.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖①的三種紙片，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖②的大正方形．（1）仔細(xì)觀察圖①、圖②，請(qǐng)你寫出代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系是____．（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系，解決下列問題：①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1）；（2）①3，②【詳解】解：（1）．（2）①，．．，．②設(shè)，則，．，．．．．即．．【變式訓(xùn)練1】如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）（1）觀察圖2請(qǐng)你寫出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關(guān)系是；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y=5，xy=，則x-y=；（3）拓展應(yīng)用：若（2021-m）2+（m-2020）2=7，求（2021-m）（m-2020）的值【答案】（1）；（2）或；（3）【詳解】解：（1）由圖知：（2）∵，∴∵，∴，∴或，故答案為：或（3）∵且，∴【變式訓(xùn)練2】數(shù)學(xué)課上，我們知道可以用圖形的面積來解釋一些代數(shù)恒等式，如圖1可以解釋完全平方公式：．（1）如圖2（圖中各小長(zhǎng)方形大小均相等），請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積（不化簡(jiǎn)）：方法1：_________________；方法2∶_________________．（2）由（1）中兩種不同的方法，你能得到怎樣的等式?（3）①已知，，請(qǐng)利用（2）中的等式，求的值．②已知，，請(qǐng)利用（2）中的等式，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①；②1【詳解】解：（）方法1：陰影部分面積為4個(gè)相同的小長(zhǎng)方形的面積之和，∴陰影部分面積=；方法2：陰影部分面積=大正方形的面積-小正方形面積∴陰影部分面積=．故答案為：，；（）∵（1）中兩種方法求得的陰影部分面積相等，∴；（）①∵，，，∴，∴；②，，，∴，∴．【變式訓(xùn)練3】閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學(xué)公式是__________．（2）如圖③，請(qǐng)寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關(guān)系是__________（3）利用（2）的結(jié)論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根據(jù)圖④，寫出一個(gè)等式：__________．（5）小明同學(xué)用圖⑤中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張寬、長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個(gè)面積為（3a＋b）（a＋3b）長(zhǎng)方形，請(qǐng)畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．類似地，利用立體圖形中體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個(gè)等式：___________．【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；（4）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）畫圖見解析，16；（6）（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2【詳解】（1）根據(jù)圖②各個(gè)部分面積之間的關(guān)系可得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）圖③中，大正方形的面積為（a＋b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，每個(gè)長(zhǎng)方形的面積為ab，，故答案為：；利用（2）的結(jié)論，可知，x＋y＝8，xy＝2，（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；（4）根據(jù)圖④，大正方形的面積可表示為（a＋b＋c）2，內(nèi)部9塊的面積分別為：，（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋