2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語本章小結(jié)學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE4-第一章本章小結(jié)專題一命題及其關(guān)系本章常用邏輯用語所涉及的內(nèi)容主要有以下兩方面：(1)命題的四種形式及原命題與其逆否命題的等價(jià)性，以及含有一個(gè)量詞的全稱命題、特稱命題的否定．(2)充分條件、必要條件的判定，充要條件的證明及應(yīng)用．【例1】寫出命題“平行四邊形的對(duì)角線相互平分”的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷真假．【分析】結(jié)合四種命題的概念寫出逆命題、否命題、逆否命題，再結(jié)合它們的關(guān)系及命題的詳細(xì)含義進(jìn)行真假的推斷．【解】原命題：平行四邊形的對(duì)角線相互平分，是真命題；逆命題：對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形，是真命題；否命題：若一個(gè)四邊形不是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線不相互平分，是真命題；逆否命題：對(duì)角線不相互平分的四邊形，不是平行四邊形，是真命題．【例2】寫出下列命題的否定．(1)各數(shù)位數(shù)字之和能被3整除的整數(shù)都能被3整除；(2)有的素?cái)?shù)是偶數(shù)；(3)全部的人都喝水；(4)存在有理數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)－2＝0.【分析】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，要特殊留意量詞的改變．【解】(1)存在各數(shù)位數(shù)字之和能被3整除的整數(shù)不能被3整除；(2)全部的素?cái)?shù)都不是偶數(shù)；(3)有的人不喝水；(4)?x∈Q，x2－2≠0.【例3】已知關(guān)于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，求方程有兩正根的充要條件．【分析】先求出方程有兩個(gè)實(shí)根的充要條件，再探討x2的系數(shù)及運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求出要求的充要條件．【解】方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有兩個(gè)實(shí)根的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≠0,a＋22＋161－a≥0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠1，,a≤2，或a≥10，))即a≥10，或a≤2，且a≠1.設(shè)此時(shí)方程的兩實(shí)根為x1，x2，有兩個(gè)正根的充要條件是：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠1,a≤2，或a≥10,x1＋x2>0,x1·x2>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠1,a≤2，或a≥10,\f(a＋2,a－1)>0,\f(4,a－1)>0))?1<a≤2，或a≥10.即方程有兩個(gè)正根的充要條件是1<a≤2，或a≥10.專題二復(fù)合命題真假推斷1．推斷復(fù)合命題真假的方法：(1)p∧q形式的復(fù)合命題，當(dāng)p、q都為真時(shí)，p∧q為真，當(dāng)p、q中至少有一個(gè)為假時(shí)，p∧q為假．(2)p∨q形式的復(fù)合命題，當(dāng)p、q至少有一個(gè)為真時(shí)，p∨q為真，當(dāng)p、q都為假時(shí)，p∨q為假．(3)綈p形式的復(fù)合命題，當(dāng)p為真時(shí)，綈p為假；當(dāng)p為假時(shí)，綈p為真．2．推斷復(fù)合命題真假的步驟：(1)確定這個(gè)復(fù)合命題的構(gòu)成形式；(2)推斷其中簡潔命題的真假；(3)依據(jù)其真值表推斷復(fù)合命題的真假．【例4】設(shè)命題p：若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；命題q：eq\f(a,b)<0?ab<0.給出下列四個(gè)復(fù)合命題：①p或q；②p且q；③綈p；④綈q.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3[解析]本題考查簡潔命題與復(fù)合命題的真假關(guān)系．由已知條件簡潔推斷命題p為假，命題q為真．再由簡潔命題和復(fù)合命題的真假關(guān)系可知：①p或q為真；②p且q為假；③綈p為真；④綈q為假．[答案]C【例5】命題p：函數(shù)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋1滿意f(eq\f(π,3)＋x)＝f(eq\f(π,3)－x)．命題q：函數(shù)g(x)＝sin(2x＋θ)＋1可能是奇函數(shù)(θ為常數(shù))．則復(fù)合函數(shù)“p或q”“p且q”“非q”為真命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3[解析]對(duì)命題p：y＝sinx的對(duì)稱軸為x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.令2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)得函數(shù)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋1的對(duì)稱軸為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)，k∈Z，故x＝eq\f(π,3)適合，即f(eq\f(π,3)＋x)＝f(eq\f(π,3)－x)成立．所以p為真．對(duì)命題q：若g(x)為奇函數(shù)，因?yàn)間(x)的定義域?yàn)镽，則有g(shù)(0)＝0，即sinθ＝－1.所以θ＝2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z.所以q為真，所以可推斷真命題的個(gè)數(shù)為2.[答案]C專題三全稱命題與特稱命題全稱命題的真假判定：要判定一個(gè)全稱命題為真，必需對(duì)限定集合M中每一個(gè)x驗(yàn)證p(x)成立，一般用代數(shù)推理的方法加以證明．要判定一個(gè)全稱命題為假，只需舉出一個(gè)反例即可．特稱命題的真假判定：要判定一個(gè)特稱命題為真，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)成馬上可．否則，這一特稱命題為假．[解析]AB?存在x∈A，有x?B，故①錯(cuò)誤；同理②③均錯(cuò)；④正確．[答案]④專題四反證法反證法的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的等價(jià)性，從邏輯角度看，命題“若p，則q”的否定“若p，則綈q”，由此進(jìn)行推理，假如發(fā)生沖突，那么就說明“若p，則綈q”為假，從而可以導(dǎo)出“若p，則q”為真，從而達(dá)到證明的目的．反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種基本方法，在前面學(xué)習(xí)的不等式和立體幾何的證明中用到，在高考題中也常常出現(xiàn)，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要，下面舉例說明．[例7]設(shè)函數(shù)f(x)＝2x2＋mx＋n，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于1.【分析】由于欲證結(jié)論的狀況繁雜，因而不妨從其反面入手，故用反證法．【證明】假設(shè)原命題不成立，即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|f1|<1，,|f2|<1，,|f3|<1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<2＋m＋n<1，①,－1<8＋2m＋n<1，②,－1<18＋3m＋n<1.③))①＋③得－11<2m＋n<－9與②沖突，所以假設(shè)不成立．即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于1.【點(diǎn)評(píng)】(1)較相宜運(yùn)用反證法的常見狀況：①以“至少……”或“至多……”的形式為結(jié)論的命題；②涉及“