2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.2.2第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)二學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(二)必備學(xué)問(wèn)·探新知基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)學(xué)問(wèn)點(diǎn)1比較冪的大小比較冪的大小的常用方法：(1)對(duì)于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個(gè)冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)推斷．(2)對(duì)于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖象的改變規(guī)律來(lái)推斷．(3)對(duì)于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個(gè)冪，或者通過(guò)中間值來(lái)比較．學(xué)問(wèn)點(diǎn)2有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域形如y＝af(x)的函數(shù)的定義域就是f(x)的定義域．求形如y＝af(x)的函數(shù)的值域，應(yīng)先求出u＝f(x)的值域，再由單調(diào)性求出y＝au的值域．若a的范圍不確定，則需對(duì)a進(jìn)行探討．求形如y＝f(ax)的函數(shù)的值域，要先求出u＝ax的值域，再結(jié)合y＝f(u)確定出y＝f(ax)的值域．(2)推斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性令u＝f(x)，x∈[m，n]，假如復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)y＝au與u＝f(x)的單調(diào)性相同，那么復(fù)合后的函數(shù)y＝af(x)在[m，n]上是增函數(shù)；假如兩者的單調(diào)性相反(即一增一減)，那么復(fù)合函數(shù)y＝af(x)在[m，n]上是減函數(shù)．(3)探討函數(shù)的奇偶性一是定義法，即首先是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后分析式子f(x)與f(－x)的關(guān)系，最終確定函數(shù)的奇偶性．二是圖象法，作出函數(shù)圖象或從已知函數(shù)圖象視察，若圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)具有奇偶性．基礎(chǔ)自測(cè)1．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))b，則a，b的大小關(guān)系是(B)A．1>a>b>0 B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)>b D．1>b>a>0[解析]因?yàn)閥＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))x在(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))b，所以a<b，故選B．2．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|，x∈R，那么f(x)是(D)A．奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù)C．奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù)[解析]因?yàn)閒(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|－x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，故選D．3．若2x＋1＜1，則x的取值范圍是(D)A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)[解析]不等式2x＋1＜20，因?yàn)閥＝2x是定義域R上的增函數(shù)，所以x＋1＜0，即x＜－1.4．當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，函數(shù)f(x)＝3x－2的值域是(C)A．[1，eq\f(5,3)] B．[－1,1]C．[－eq\f(5,3)，1] D．[0,1][解析]因?yàn)閒(x)＝3x－2是[－1,1]上的增函數(shù)，所以3－1－2≤f(x)≤3－2，即－eq\f(5,3)≤f(x)≤1.5．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數(shù)f(x)＝ax，若實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)意f(m)>f(n)，則m，n的大小關(guān)系為_(kāi)_m<n__.[解析]∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，∴f(x)＝ax為減函數(shù)，故由am>an，解得m<n.關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性例1探討函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,3))x2－2x的單調(diào)性，并求其值域．[分析]此函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，因此可依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)其探討．[解析]解法一：∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，設(shè)x1、x2∈(－∞，＋∞)且有x1<x2，(1)當(dāng)x1<x2≤1，x1＋x2<2，即有x1＋x2－2<0.又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)<0，則知(eq\f(1,3))(x2－x1)(x2＋x1－2)>1.又對(duì)于x∈R，f(x)>0恒成立．∴f(x2)>f(x1)．∴函數(shù)f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞增．(2)當(dāng)1≤x1<x2時(shí)，x1＋x2>2，即有x1＋x2－2>0.又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x1＋x2－2)>0，則知0<(eq\f(1,3))(x2－x1)(x2＋x1－2)<1，∴f(x2)<f(x1)．∴函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減．綜上，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，1]上是增函數(shù)；在區(qū)間[1，＋∞)上是減函數(shù)．∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1,0<eq\f(1,3)<1，∴0<(eq\f(1,3))x2－2x≤(eq\f(1,3))－1＝3.∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0,3]．解法二：∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，令u＝x2－2x，則g(u)＝(eq\f(1,3))u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(－∞，1)上是減函數(shù)，g(u)＝(eq\f(1,3))u在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在(－∞，1]內(nèi)為增函數(shù)．又g(u)＝(eq\f(1,3))u在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，而u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函數(shù)．∴函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)．求值域同解法一．[歸納提升](1)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點(diǎn)確定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．(2)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過(guò)考查f(u)和φ(x)的單調(diào)性，求出y＝f[φ(x)]單調(diào)性．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?求函數(shù)f(x)＝2x2－6x＋17的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間．[解析]函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.令t＝x2－6x＋17，則y＝2t.∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在(－∞，3)上是減函數(shù)，而y＝2t在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在(－∞，3)上為減函數(shù)．又∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在[3，＋∞)上為增函數(shù)，而y＝2t在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在[3，＋∞)為增函數(shù)．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，而y＝2t在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴f(x)＝2x2－6x＋17≥28＝256，∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇256，＋∞)．題型二指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性例2(2024·湖南師大附中測(cè)試)設(shè)函數(shù)f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定義在R上的奇函數(shù)．(1)求k的值；(2)若f(1)>0，試推斷函數(shù)的單調(diào)性(不需證明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集．[解析](1)方法一：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即k－1＝0，∴k＝1.當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，故k＝1符合題意．方法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)在定義域R上恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,－1＝－k，))解得k＝1.(2)∵f(1)＝a－eq\f(1,a)>0，又a>0，且a≠1，∴a>1.∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù)．故f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0?f(x2＋2x)>－f(4－x2)＝f(x2－4)?x2＋2x>x2－4?x>－2.∴f(x)在R上單調(diào)遞增，且不等式的解集為{x|x>－2}．[歸納提升]指數(shù)函數(shù)本身不具有奇偶性，但是與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)可以具有奇偶性，求解時(shí)一般利用函數(shù)奇偶性的定義．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?f(x)＝eq\f(2x,a)＋eq\f(a,2x)是偶函數(shù)，則a＝(C)A．1 B．－1C．±1 D．2[解析]依題意，對(duì)一切x∈R，有f(－x)＝f(x)，即eq\f(1,a·2x)＋a·2x＝eq\f(2x,a)＋eq\f(a,2x).∴(a－eq\f(1,a))(2x－eq\f(1,2x))＝0對(duì)一切x∈R成立，則a－eq\f(1,a)＝0，∴a＝±1.誤區(qū)警示對(duì)指數(shù)函數(shù)的值域運(yùn)用不當(dāng)例3關(guān)于x的方程(eq\f(3,5))x＝eq\f(3a＋2,5－a)有正實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為_(kāi)_(－eq\f(2,3)，eq\f(3,4))__.[錯(cuò)解]錯(cuò)解一：(eq\f(3,5))x＝eq\f(3a＋2,5－a)有正實(shí)數(shù)根，則eq\f(3a＋2,5－a)>0，即eq\f(a＋\f(2,3),a－5)<0，所以－eq\f(2,3)<a<5，即a∈(－eq\f(2,3)，5)．錯(cuò)解二：(eq\f(3,5))x＝eq\f(3a＋2,5－a)有正實(shí)數(shù)根，即x>0，那么eq\f(3a＋2,5－a)<1，因而1＋eq\f(3a＋2,a－5)>0，即eq\f(4a－3,a－5)>0，得a<eq\f(3,4)或a>5，即a∈(－∞，eq\f(3,4))∪(5，＋∞)．[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解一，方程有正實(shí)數(shù)根是指x>0，而不是(eq\f(3,5))x>0.錯(cuò)解二，只留意了x>0，在求(eq\f(3,5))x的范圍時(shí)，忽視了(eq\f(3,5))x>0，也就是沒(méi)留意指數(shù)函數(shù)本身值域的范圍而致錯(cuò)．[正解](eq\f(3,5))x＝eq\f(3a＋2,5－a)有正數(shù)根，即x>0時(shí)方程有解，那么0<eq\f(3a＋2,5－a)<1，因而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4a－3,a－5)>0，,\f(3a＋2,5－a)>0，))得－eq\f(2,3)<a<eq\f(3,4)，即a∈(－eq\f(2,3)，eq\f(3,4))．[方法點(diǎn)撥]指數(shù)函數(shù)要留意其值域，對(duì)于a>1時(shí)，ax的取值狀況為：當(dāng)x>0時(shí)，ax>1，當(dāng)x<0時(shí)，0<ax<1；對(duì)于0<a<1時(shí)，ax的取值狀況為：當(dāng)x>0時(shí)，0<ax<1，當(dāng)x<0時(shí)，ax>1.當(dāng)涉及指數(shù)函數(shù)的范圍時(shí)，不能忽視指數(shù)式自身的要求．學(xué)科素養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用——圖形變換技巧1．平移變換當(dāng)m>0時(shí)，y＝f(x－m)的圖象可以由y＝f(x)的圖象向右平移m個(gè)單位得到；y＝f(x＋m)的圖象可以由y＝f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位得到；y＝f(x)＋m的圖象可以由y＝f(x)的圖象向上平移m個(gè)單位得到；y＝f(x)－m的圖象可以由y＝f(x)的圖象向下平移m個(gè)單位得到．2．對(duì)稱(chēng)(翻折)變換y＝f(|x|)的圖象可以將y＝f(x)的圖象位于y軸右側(cè)和y軸上的部分不變，原y軸左側(cè)部分去掉，畫(huà)出y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形而得到．y＝|f(x)|的圖象可將y＝f(x)的圖象位于y軸上方的部分不變，而將位于y軸下方的部分翻折到y(tǒng)軸上方得到．y＝－f(x)的圖象可將y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)而得到．y＝f(－x)的圖象可由y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得到．例4畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，并說(shuō)明它們是由函數(shù)f(x)＝2x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的．(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－2x；(4)y＝2|x|；(5)y＝|2x－1|；(6)y＝－2－x.[分析]用描點(diǎn)法作出圖象，然后依據(jù)圖象推斷．[解析]如圖所示．(1)y＝2x－1的圖象是由y＝2x的圖象向右平移1個(gè)單位得到的．(2)y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向上平移1個(gè)單位得到的．(3)y＝－2x的圖象與y＝2x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．(4)y＝2|x|的圖象是由y＝2x的y軸右邊的圖象和其關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象組成的．(5)y＝|2x－1|的圖象是由y＝2x的圖象向下平移1個(gè)單位，然后將其x軸下方的圖象翻折到x軸上方得到的．(6)y＝－2－x的圖象與y＝2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．課堂檢測(cè)·固雙基1．若a＝0.5eq\s\up4(\f(1,2))，b＝0.5eq\s\up4(\f(1,3))，c＝0.5eq\s\up4(\f(1,4))，則a，b，c的大小關(guān)系是(B)A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＜b＜cC．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a[解析]∵函數(shù)y＝0.5x是R上的減函數(shù)，又∵eq\f(1,2)＞eq\f(1,3)＞eq\f(1,4)，∴a＜b＜c，故選B．2．已知對(duì)于隨意實(shí)數(shù)a(a>0，且a≠1)，函數(shù)f(x)＝7＋ax－1的圖象恒過(guò)點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(A)A．(1,8) B．(1,7)C．(0,8) D．(8,0)[解析]在函數(shù)f(x)＝7＋ax－1(a>0，且a≠1)中，當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝7＋a0＝8.所以函數(shù)f(x)＝7＋ax－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P(1,8)．故選A．3．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，則a，b，c的大小關(guān)系為(B)A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a[解析]a＝30.2<31＝3，b＝0.2－3＝53＝1