2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第11章解三角形11.3余弦定理正弦定理的應(yīng)用課時(shí)分層作業(yè)含解析蘇教版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(十九)余弦定理、正弦定理的應(yīng)用(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖所示，測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4m，A＝30°，則其跨度AB的長(zhǎng)為()A．12m B．8mC．3eq\r(3)m D．4eq\r(3)mD[由題意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3).]2．如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測(cè)量方案：①測(cè)量A，C，b；②測(cè)量a，b，C；③測(cè)量A，B，a.則肯定能確定A，B間的距離的全部方案的序號(hào)為()A．①② B．②③C．①③ D．①②③D[由題意可知，在①②③三個(gè)條件下三角形均可唯一確定，通過(guò)解三角形的學(xué)問(wèn)可求出AB．故選D．]3．在地面上點(diǎn)D處，測(cè)量某建筑物的高度，測(cè)得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20m，則建筑物高度為()A．20mB．30mC．40mD．60mC[如圖，設(shè)O為頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq\r(3)，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]4．如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD在水平面上，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD的大小是()A．30° B．45°C．60° D．75°B[∵AD2＝602＋202＝4000，AC2＝602＋302＝4500，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AD2＋AC2－CD2,2AD·AC)＝eq\f(\r(2),2)，∠CAD∈(0°，180°)，∴∠CAD＝45°.]5．如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，則建筑物的高度為()A．15eq\r(6)m B．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D．30eq\r(6)mD[設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)， ①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h). ②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\r(6)m．]二、填空題6．若兩人用大小相等的力F提起重為G的貨物，且保持平衡，則兩力的夾角θ的余弦值為_(kāi)_______．eq\f(G2－2F2,2F2)[如圖，由平行四邊形法則可知，|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝G，在△AOB中，由余弦定理可得|eq\o(OA,\s\up8(→))|2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．∵|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝G，∴2F2(1＋cosθ)＝G2，∴cosθ＝eq\f(G2－2F2,2F2).]7．如圖所示，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別是75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于________m.120(eq\r(3)－1)[由題意可知，AC＝eq\f(60,sin30°)＝120.∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,∠BAC)，于是BC＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq\f(240\r(2),\r(2)＋\r(6))＝120(eq\r(3)－1)(m)．]8.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．eq\r(3)[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)＝3，∴BD＝eq\r(3).]三、解答題9．如圖所示，一條河自西向東流淌，某人在河南岸A處看到河北岸兩個(gè)目標(biāo)C，D分別在北偏東45°和北偏東30°方向，此人向東走300米到達(dá)B處之后，再看C，D，則分別在北偏西15°和北偏西60°方向，求目標(biāo)C，D之間的距離．[解]由題意得，在△ABD中，因?yàn)椤螪AB＝60°，∠DBA＝30°，所以∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，因?yàn)锳B＝300，所以BD＝300·sin60°＝150eq\r(3)，在△ABC中，因?yàn)椤螩AB＝45°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝60°.由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，所以BC＝eq\f(300,\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝100eq\r(6)，在△BCD中，因?yàn)锽C＝100eq\r(6)，BD＝150eq\r(3)，∠CBD＝45°，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝37500，所以CD＝50eq\r(15).所以目標(biāo)C，D之間的距離為50eq\r(15)米．10．在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB．(1)求角C的大??；(2)若c＝eq\r(3)，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．[解](1)由題意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－ab,2ab)＝－eq\f(1,2)，又∵0<C<π，∴C＝eq\f(2π,3).(2)由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，則△ABC的周長(zhǎng)為L(zhǎng)＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋eq\r(3)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))))＋eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋eq\r(3).∵0<A<eq\f(π,3)，∴eq\f(π,3)<A＋eq\f(π,3)<eq\f(2π,3)，∴eq\f(\r(3),2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))≤1，∴2eq\r(3)<2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋eq\r(3)≤2＋eq\r(3)，∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是(2eq\r(3)，2＋eq\r(3)]．1．甲船在島A的正南B處，以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同時(shí)乙船自島A動(dòng)身以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間為()A．eq\f(150,7)分鐘 B．eq\f(15,7)分鐘C．21.5分鐘 D．2.15小時(shí)A[如圖，設(shè)t小時(shí)后甲行駛到D處，則AD＝10－4t，乙行駛到C處，則AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,14)))eq\s\up12(2)＋eq\f(675,7).當(dāng)t＝eq\f(5,14)時(shí)，DC2最小，即DC最小，此時(shí)它們所航行的時(shí)間為eq\f(5,14)×60＝eq\f(150,7)分鐘．]2．如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C，D兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，且在C，D兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得∠BCD＝120°，C，D兩地相距500m，則電視塔AB的高度是()A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500mD[設(shè)AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500m，由余弦定理得(eq\r(3)x)2＝x2＋5002－2×500xcos120°，解得x＝500m．]3.如圖所示，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD．已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min.若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為_(kāi)_______m.50eq\r(7)[連接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq\f(1,2)＝17500，∴OC＝50eq\r(7).]4．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危急區(qū)內(nèi)的時(shí)間為_(kāi)_______小時(shí)．1[設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化簡(jiǎn)得x2－40eq\r(2)x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即圖中的CD＝20(千米)，故t＝eq\f(CD,v)＝eq\f(20,20)＝1(小時(shí))．]5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asineq\f(A＋C,2)＝bsinA．(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．[解](1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsineq\f(A＋C,2)＝sinBsinA．因?yàn)閟inA≠0，所以sineq\f(A＋C,2)＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sineq\f(A＋C,2)＝coseq\f(B,2)，故coseq\f(B,2)＝2sineq\f(B,2)coseq\f(B,2).因?yàn)閏oseq\f(B,2)≠0，故sineq\f(B,2)＝eq\f(1,2)，因此B＝60°.(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a.由