2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻考點(diǎn)突破專(zhuān)題01集合含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1集合模塊一：集合與元素1．集合：一些能夠確定的不同的對(duì)象所構(gòu)成的整體叫做集合．構(gòu)成集合的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素．集合一般用英文大寫(xiě)字母表示．元素一般用英文小寫(xiě)字母表示；不含任何元素的集合叫做空集，記作．2．元素與集合的關(guān)系：、；3．常見(jiàn)的數(shù)集的寫(xiě)法：自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集或4．元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無(wú)序性．5．集合的表示法⑴列舉法．⑵描述法（又稱(chēng)特征性質(zhì)描述法）：形如，稱(chēng)為集合的特征性質(zhì)，稱(chēng)為集合的代表元素．為的范圍，有時(shí)也寫(xiě)為．⑶圖示法，又叫韋恩（Venn）圖．⑷區(qū)間表示法：用來(lái)表示連續(xù)的數(shù)集．考點(diǎn)1：集合與元素的關(guān)系例1．若一個(gè)集合中的三個(gè)元素，，是的三邊長(zhǎng)，則此三角形肯定不是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【解答】解：依據(jù)集合的性質(zhì)可知，肯定不是等腰三角形．故選：．（2）若，，，則A． B．0 C．1 D．0或1【解答】解：①若，則，解得或，時(shí)，，，，，，舍去，；②若，則，無(wú)實(shí)數(shù)解；由①②知：．故選：．（3）設(shè)集合，，，若，則A．或或2 B．或 C．或2 D．或2【解答】解：若，則，，，4，；若，則或，時(shí)，，，，；時(shí)，（舍，故選：．例2.若集合只有一個(gè)元素，則A． B．0 C．4 D．0或【解答】解：集合只有一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，不成立，集合是空集，不合題意當(dāng)時(shí)，此時(shí)集合中元素是一元二次的根，所以△，即，解得故選：（2）已知集合至多有一個(gè)元素，則的取值范圍是．【解答】解：時(shí)，即，，符合要求；時(shí)，至多有一個(gè)解，△，綜上，的取值范圍為故答案為：例3.已知集合被4除余1，．（1）請(qǐng)問(wèn)53是不是中的元素？若是，將中的元素按從小到大的依次排列，它是第幾項(xiàng)？（2）求中全部元素之和．【解答】（1）依據(jù)集合被4除余1，．得53被4除商13余1．所以，，，所以是第14項(xiàng)．（2）中的元素為．．．．故全部元素之和為例4.設(shè)，，為實(shí)數(shù)，，記集合，，，．若，分別為集合，的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不行能的是A．且 B．且 C．且 D．且【解答】解：，，，，，．當(dāng)，，，；故可能當(dāng)，，，；故可能當(dāng)，，，；當(dāng)，，，；故可能當(dāng)，，，；當(dāng)，，，；綜上，只有不行能發(fā)生，故選：．模塊二：集合間關(guān)系與運(yùn)算1．子集：假如集合中的隨意一個(gè)元素都是集合的元素，則是的子集，記作或；規(guī)定：是隨意集合的子集．假如集合中存在著不是集合中的元素，那么集合不包含于，記作或．2．真子集：假如集合，且存在，但，我們稱(chēng)集合是集合的真子集，記作（或），讀作真包含于（真包含）．規(guī)定：是隨意非空集合的真子集．3．集合相等：假如，且，我們說(shuō)集合與集合相等，記作=．4．交集：；5．并集：；6．補(bǔ)集：①全集：假如所探討的集合都是某一給定集合的子集，那么稱(chēng)這個(gè)給定的集合為全集，常用表示．②補(bǔ)集：在中的補(bǔ)集的數(shù)學(xué)表達(dá)式是．7．．考點(diǎn)2：集合相等例5.（1）含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為，也可表示為，，，求的值．【解答】解：由，可得，（否則不滿(mǎn)意集合中元素的互異性）．因?yàn)楹腥齻€(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為，也可表示為，，，所以或解得或經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)意題意．全部．（2）已知集合，，，，若，則A．1 B．2 C． D．【解答】解：，，，，若，則1，2是方程得兩根，則，即．故選：．（3）已知，，，，，，若，則實(shí)數(shù)的值為．【解答】解：；時(shí)，，，1，，，1，，滿(mǎn)意；時(shí)，，，，，，，，不滿(mǎn)；．故答案為：1．考點(diǎn)3：已知集合關(guān)系反求參例6.（1）若集合，，且，求由的可能取值組成的集合．【解答】解：集合，，集合中至多有一個(gè)元素，若集合為空集，即時(shí)，明顯滿(mǎn)意條件，故．若集合非空集，即，此時(shí)，若，則，若，則，故的取值為集合為，0，（2）已知集合，，1，，若，則實(shí)數(shù)的值為A．1或2 B．0或1 C．0或2 D．0或1或2【解答】解：依題意，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)意．當(dāng)時(shí)，若，則，或者，若，則，得；若，則得，綜上：，1或．故選：．（3）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解答】解：集合，解得集合，若，則集合應(yīng)含有集合中的全部元素，則由數(shù)形結(jié)合可知：需集合的端點(diǎn)滿(mǎn)意：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：故選：．（4）已知，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．或【解答】解：已知，，若，轉(zhuǎn)換成：時(shí)，恒成立．，則實(shí)數(shù)的取值范圍：；故選：．（5）已知集合，，若，則的取值范圍為．【解答】解：集合，，若，則集合應(yīng)含有集合的全部元素，探討集合：（1）當(dāng)時(shí)，，即：，（2）當(dāng)時(shí)，則由數(shù)形結(jié)合可知：需集合的端點(diǎn)滿(mǎn)意：①，②，③，三個(gè)條件同時(shí)成立．解得：綜上由（1）（2）可得實(shí)數(shù)的取值范圍為：即：，故答案為：，（6）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：，①時(shí)；②，，綜上所述；故答案為：，．（7）集合，，若，則的取值范圍是．【解答】解：，，若，則，故答案為：．考點(diǎn)4：集合關(guān)系、運(yùn)算綜合例7.（1）已知集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．，【解答】解：，，，，，，，，，，，實(shí)數(shù)的取值范圍為：，．故選：．（2）集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．【解答】解：，；；；；；的取值范圍為．故選：．（3）設(shè)全集為，集合，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）解二次不等式得：或，即或，解肯定值不等式得：，即，所以或，所以或，故答案為：或；（Ⅱ）因?yàn)?，即①若時(shí)，即即滿(mǎn)意題意．②若時(shí)，即，若，則，即，又，所以，綜合①②可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為：，故答案為：．（4）設(shè)集合，．（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由中不等式變形得：，解得：或，即或，，且，或，且，解得：或，則實(shí)數(shù)的取值范圍為或；（Ⅱ），，或，解得：或．（5）已知集合或，或，（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，集合或，或，或．（2）集合或，或，，，當(dāng)時(shí)，，解得，成立；當(dāng)時(shí)，或，解得或．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．（6）設(shè)集合，（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【解答】解：由中方程變形得：，解得：或，即，，（1），，當(dāng)時(shí)，中方程無(wú)解，即，解得：；當(dāng)時(shí)，中方程有解，且或?yàn)榉匠痰慕?，把代入中方程得：，即，解得：或（不合題意，舍去）；把代入方程得：，即或1，綜上，實(shí)數(shù)的值為或；（2），，把與為中方程的解，此時(shí)，解得：．課后作業(yè)1.設(shè)集合，，，若，則的值為A． B． C．1 D．0【解答】解：集合，，，且，或，即或，當(dāng)時(shí)，，故舍去，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意．故選：．2.若集合，至多有一個(gè)元素，則的取值范圍是_____．【解答】解：集合，至多有一個(gè)元素，或，解得或，的取值范圍是或．故答案為：或．3.若集合，，，，且，則A．0 B．1 C． D．0或1【解答】解：集合，，，，且，，，解得或（舍，綜上，．故選：．4.已知集合，，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：集合，，或，，，，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．5.