2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)習(xí)題課一課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修4

習(xí)題課(1)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1．sin405°的值為(C)A．1 B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．－eq\f(1,2)解析：sin405°＝sin(360°＋45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).2．已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x,3)(x<0)且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，則x等于(A)A．－1 B．－eq\f(1,3)C．－3 D．－eq\f(2\r(3),3)解析：依題意有cosθ＝eq\f(x,\r(x2＋32))＝eq\f(\r(10),10)x，解得x＝±1，因?yàn)閤<0，所以x＝－1，故選A.3．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－3，－4)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))的值為(C)A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．－eq\f(3,5)解析：角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－3，－4)，由三角函數(shù)定義可得sinα＝eq\f(－4,\r(－32＋－42))＝－eq\f(4,5)，可得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα＝－eq\f(4,5)，故選C.4．已知一個(gè)扇形弧長(zhǎng)為6，扇形圓心角為2rad，則扇形的面積為(D)A．2 B．3C．6 D．9解析：由題意知扇形所在圓的半徑為eq\f(6,2)＝3，于是扇形的面積為eq\f(1,2)×6×3＝9.故選D.5．若角α和β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則α＋β為(A)A．2kπ，k∈Z B．2kπ＋eq\f(π,2)，k∈ZC．(2k＋1)π，k∈Z D．2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z解析：若α與β關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則α＝2kπ－β，k∈Z.6．已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，則eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝(C)A．3 B．－3C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：由sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，可得sinθ＝－2cosθ，∴eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(－2cosθ＋cosθ,－2cosθ－cosθ)＝eq\f(1,3).7．設(shè)f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，△ABC的內(nèi)角滿(mǎn)意f(cosA)<0，則A的取值范圍是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))解析：由已知f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，又f(cosA)<0，∴f(cosA)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))或f(cosA)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，∴0<cosA<eq\f(1,2)或cosA<－eq\f(1,2)，∵A為△ABC的內(nèi)角，即A∈(0，π)，∴eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2)或eq\f(2,3)π<A<π.8．已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是(C)A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}解析：當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，A＝eq\f(sin2nπ＋α,sinα)＋eq\f(cos2nπ＋α,cosα)＝2；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，A＝eq\f(sin2nπ＋π＋α,sinα)＋eq\f(cos2nπ＋π＋α,cosα)＝－2.故A的值構(gòu)成的集合為{－2,2}．二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)9．如圖中陰影部分表示的角的集合為eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))eq\f(π,2)＋kπ≤α≤eq\f(3,4)π＋kπ，k∈Z}.解析：圖中陰影部分表示的角的集合為eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))eq\f(π,2)＋kπ≤α≤eq\f(3,4)π＋kπ，k∈Z}.10．若cosα＝eq\f(2m－3,4)且α為其次象限角，則m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).解析：因?yàn)棣翞槠浯蜗笙藿?，所以cosα<0，即eq\f(2m－3,4)<0，所以2m<3，所以m<eq\f(3,2).又cosα≥－1，所以eq\f(2m－3,4)≥－1，所以m≥－eq\f(1,2).所以m的取值范圍為[－eq\f(1,2)，eq\f(3,2))．11．已知角α終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2sin3，－2cos3)，則角α的弧度數(shù)為3－eq\f(π,2).解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝－cos3，,cosα＝sin3，))∵3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sin3>0，cos3<0，即α的終邊在第一象限，∴cosα＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－3))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(π,2))).又∵3－eq\f(π,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＝3－eq\f(π,2).三、解答題(本大題共3小題，每小題15分，共45分．寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、計(jì)算過(guò)程或演算步驟)12.如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0(eq\r(2)，－eq\r(2))．(1)指出終邊落在直線(xiàn)OP0上的角θ的集合；(2)當(dāng)P第1次運(yùn)動(dòng)到位置P1(0,2)時(shí)，求質(zhì)點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的長(zhǎng)度(弧長(zhǎng))l和所掃過(guò)的扇形的面積S.解：(1)由題意可知，∠x(chóng)OP0＝－eq\f(π,4)，所以終邊落在直線(xiàn)OP0上的角θ的集合為eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ))θ＝－eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z}∪eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ))θ＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z}＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ))θ＝－eq\f(π,4)＋nπ，n∈Z}.(2)由題意得∠P0OP1＝eq\f(3π,4)，所以由弧長(zhǎng)公式可知質(zhì)點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的長(zhǎng)度l＝eq\f(3π,4)×2＝eq\f(3π,2).掃過(guò)的扇形的面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(3π,2)＝eq\f(3π,2).13．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lgcosα有意義．(1)試推斷角α的終邊所在的象限；(2)若角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，求m的值及sinα的值．解：(1)由eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)可知sinα<0，∴α是第三或第四象限角或是y軸的非正半軸上的角．由lgcosα有意義可知cosα>0，∴α是第一或第四象限角或是x軸的非負(fù)半軸上的角．綜上可知，α是第四象限角．(2)∵點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))在單位圓上，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq\f(4,5).又α是第四象限角，故m<0，從而m＝－eq\f(4,5).依據(jù)正弦函數(shù)的定義，可知sinα＝－eq\f(4,5).14．已知函數(shù)f(x)＝sinx(1＋sinx)＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝sinx＋sin2x＋cos2x＝sinx＋1，∴f(x)的最小正周期為2π.(2)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上為增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))上為減函數(shù)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π