福建省寧德市福安第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

福建省寧德市福安第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過雙曲線的左焦點(diǎn)，作圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為

A．

B．

C．

D．

參考答案：C略2.《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么，近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為A．

B．

C．

D．參考答案：B3.在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)與之間的“直角距離”為．給出下列命題：（1）若，，則的最大值為；（2）若是圓上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為；(3)若，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．其中為真命題的是A．（1）（2）（3）

B．（1）（2）

C．（1）(3)

D．(2)(3)參考答案：A4.設(shè)α是一個(gè)平面，是兩條不同的直線，以下命題不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則參考答案：D5.“p且q是真命題”是“非p為假命題”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A6.下面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)n，那么在

和兩個(gè)空白框中，可以分別填入（

）A．和 B．和C．和 D．和參考答案：D∵要求時(shí)輸出，且框圖中在“否”時(shí)輸出，∴“”內(nèi)不能輸入“”，又要求為偶數(shù)，且的初始值為0，∴“”中依次加2可保證其為偶數(shù)，∴D選項(xiàng)滿足要求，故選D．7.若滿足條件AB＝，C＝的三角形ABC有兩個(gè)，則邊長(zhǎng)BC的取值范圍是()A．(1，)

B．(，)

C．(，2)

D．(，2)參考答案：C8.已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，則M∩N=（）A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，4}D．?參考答案：A考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：由M與N，求出兩集合的交集即可．解答：解：∵M(jìn)={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}．故選：A．點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．9.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，則f（x+1）≥0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，∴函數(shù)在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，∵f（0）=0，∴不等式f（x+1）≥0等價(jià)為f（x+1）≥f（0），則x+1≥0，得x≥﹣1，即不等式的解集為[﹣1，+∞），故選：C10.下列說法正確的個(gè)數(shù)是①“在中，若，則”的逆命題是真命題；②“”是“直線和直線垂直”的充要條件；③“三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列”是“”的既不充分也不必要條件；④命題“”的否定是“，”．A．

B．

C．

D．

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則的最小值是

.參考答案：略12.已知函數(shù)，則_______________.參考答案：1007略13.（13分）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為，點(diǎn)Q在橢圓C上且滿足條件：=2，–2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)A、B為橢圓上不同的兩點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，若(∈R)且，試問：是否為定值．若為定值，請(qǐng)求出；若不為定值，請(qǐng)說明理由。參考答案：解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，∵e=，∴a=2c∴，．又–2

∴cos∠F1QF2=．由|F1F2|2=|QF1|2+|QF2|2–2|QF|·|QF2|cos∠F1QF2得a=2，c=1，b2=3∴橢圓C的方程為．

……5分（Ⅱ）依題意可知，點(diǎn)M為由點(diǎn)O向直線AB所作的垂線的垂足．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)（1）當(dāng)x1=x2時(shí)，直線OA、OB的斜率分別為±1，解方程組得x=±．∴．

……6分（2）當(dāng)x1≠x2時(shí)，設(shè)AB的直線方程為：y=kx+m，代入得(3+4k2)x2+8mkx+4m2–12=0x1+x2=，x1·x2=

……8分∵，∴=∴7m2=12(k2+1)

∴

……11分又∵．綜上所述．

……13分14.=_______.參考答案：215.已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的值為________.參考答案：【分析】先由題意得到，令，用導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最小值，再由配方法求出的最小值，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)，，所以令，則，令解得且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)樗?，因此只有與同時(shí)取最小值時(shí)，才能成立；所以，當(dāng)時(shí)，也取最小值，此時(shí)，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)的問題，熟記導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等即可，屬于?？碱}型.16.設(shè)函數(shù)f（x）=|lg（x+1）|，實(shí)數(shù)a，b（a＜b）滿足f（a）=f（﹣），f（10a+6b+21）=4lg2，則a+b的值為．參考答案：﹣【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題目給出的等式f（a）=f（﹣），代入函數(shù)解析式得到a、b的關(guān)系，從而判斷出f（10a+6b+21）的符號(hào)，再把f（10a+6b+21）=4lg2，轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)字母的式子即可求解．【解答】解：因?yàn)閒（a）=f（﹣），所以|lg（a+1）|=|lg（﹣+1）|=|lg（）|=|lg（b+2）|，所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因?yàn)閍＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．又由f（a）=|lg（a+1）|有意義知a+1＞0，從而0＜a+1＜b+1＜b+2，于是0＜a+1＜1＜b+2．所以（10a+6b+21）+1=10（a+1）+6（b+2）=6（b+2）+＞1．從而f（10a+6b+21）=|lg[6（b+2）+]|=lg[6（b+2）+]．又f（10a+6b+21）=4lg2，所以lg[6（b+2）+]=4lg2，故6（b+2）+=16．解得b=﹣或b=﹣1（舍去）．把b=﹣代入（a+1）（b+2）=1解得a=﹣．所以a=﹣，b=﹣．a(chǎn)+b=﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了數(shù)學(xué)代換思想，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)第一個(gè)等式找出a和b之間的關(guān)系，然后把一個(gè)字母用另一個(gè)字母代替，借助于第二個(gè)等式求解．17.（幾何證明選講選做題）如圖3,△ABC的外角平分線AD交外接圓于D,，則

.參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為，圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切．（Ⅰ）求拋物線E及圓M的方程；（Ⅱ）過P（1，0）作兩條相互垂直的直線，與拋物線E相交于A，B兩點(diǎn)，與圓M相交于C，D兩點(diǎn)，N為線段CD的中點(diǎn)，當(dāng)，求AB所在的直線方程．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）利用拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為，圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切，即可求拋物線E及圓M的方程；（Ⅱ）聯(lián)立?x2﹣kx+k=0，又與直線AB垂直的直線CD與圓M相交，可得k的范圍，利用，求出k，即可求AB所在的直線方程．【解答】解：（Ⅰ）拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為，∴p=，∴拋物線E：y=x2，…（3分）∵圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切，∴圓M的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；…（6分）（Ⅱ）設(shè)直線AB的斜率為k（k顯然存在且不為零）聯(lián)立?x2﹣kx+k=0…（8分）又與直線AB垂直的直線CD與圓M相交，則即，而k2﹣4k＞0，故.（其中d表示圓心M到直線AB的距離）=…（12分）又，所以，解得或（舍）所以AB所在的直線方程為：即．…（15分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線E及圓M的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．19.已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足：Sn﹣1+kan＝tan2﹣1，n≥2，n∈N*（其中k，t為常數(shù)）．（1）若k＝，t＝，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；（2）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，求證：k＜t．參考答案：（1）a1＝1+，（2）見解析【分析】（1）由k＝，t＝，可得（n≥2），設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，分別令n＝2，n＝3，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出．（2）令公比為q＞0，則an+1＝anq，利用遞推關(guān)系可得1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]，易知q≠1，從而可得t＝0，從而證明．【詳解】（1）∵k＝，t＝，∴（n≥2），設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，令n＝2，則，令n＝3，則，兩式相減可得：，∵an＞0，∴a3﹣a2＝2＝d．由，且d＝2，化為﹣4＝0，a1＞0．解得a1＝1+．（2）∵Sn﹣1+kan＝tan2﹣1①，n≥2，n∈N*，所以Sn+kan+1＝﹣1②，②-①得an+kan+1﹣kan＝﹣，∴an＝（an+1﹣an）[t（an+1+an）﹣k]，令公比為q＞0，則an+1＝anq，∴（q﹣1）k+1＝tan（q2﹣1），∴1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]；∵對(duì)任意n≥2，n∈N*，1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴an不是一個(gè)常數(shù)；∴t＝0，∴Sn﹣1+kan＝﹣1，且{an}是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，∴k＜0，故k＜t．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2－12x＋32＝0的圓心為Q，過點(diǎn)P(0,2)且斜率為k的直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：(1)圓(x－6)2＋y2＝4的圓心Q(6,0)，半徑r＝2，設(shè)過P點(diǎn)的直線方程為y＝kx＋2，根據(jù)題意得<2，∴4k2＋3k<0，∴－<k<0.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，將y＝kx＋2代入x2＋y2－12x＋32＝0中消去y得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0，∵x1，x2是此方程兩根，∴則x1＋x2＝－，又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝－＋4，P(0,2)，Q(6,0)，∴＝(6，－2)，＋與共線等價(jià)于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，∴＝－6k·＋24，∴k＝－，由(1)知k∈(－，0)，故沒有符合題意的常數(shù)k.21.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，數(shù)列{bn}滿足a1=b1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2=0上，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；87：等比數(shù)列；8E：數(shù)列的求和．【分析】（1）要求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，先要根據(jù)已知條件判斷，數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不難得到數(shù)列{an}為等比數(shù)列，而由數(shù)列{bn}滿足a1=b1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2=0上，n∈N*，易得數(shù)列{bn}是一個(gè)等差數(shù)列．求出對(duì)應(yīng)的基本量，代入即可求出數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式．（2）由（1）中結(jié)論，我們易得，即數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式可以分解為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列相乘的形式，則可以用錯(cuò)位相消法，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），兩式相減得an+1﹣an=2an，an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．所以an=3n﹣1．由點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．則bn=1+（n﹣1）?2=2n﹣1（2）因?yàn)椋裕畡t，兩式相減得：．所以=．【點(diǎn)評(píng)】解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時(shí)，根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，然后代入進(jìn)行運(yùn)算．22.（13分）已知定點(diǎn)A(1,0)和定直線x=-1，動(dòng)