2024-2025學年新教材高中物理第六章圓周運動專題二圓周運動的臨界問題提升訓練含解析新人教版必修2

PAGE17-專題二圓周運動的臨界問題1．豎直平面內(nèi)的圓周運動(1)豎直平面內(nèi)的圓周運動模型在豎直平面內(nèi)做圓周運動的物體，依據(jù)運動至軌道最高點時的受力狀況，可分為三種模型。一是只有拉(壓)力，如球與繩連接、沿內(nèi)軌道的“過山車”等，稱為“輕繩模型”；二是只有推(支撐)力的，稱為“拱橋模型”；三是可拉(壓)可推(支撐)，如球與桿連接、小球在彎管內(nèi)運動等，稱為“輕桿模型”。(2)三種模型對比2．水平面內(nèi)的圓周運動的臨界問題水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題，其實就是要分析物體所處的狀態(tài)的受力特點，然后結(jié)合圓周運動的學問，列方程求解，一般會涉及臨界速度、臨界角速度等。通常有下面兩種狀況：(1)與繩(或面等)的彈力有關(guān)的臨界問題：此類問題要分析出恰好無彈力或彈力達到最大這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度)。(2)因靜摩擦力而產(chǎn)生的臨界問題：此類問題要分析出靜摩擦力達到最大時這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度)。典型考點一豎直(傾斜)平面內(nèi)的圓周運動及其臨界問題1．(多選)輕繩一端固定在光滑水平軸O上，另一端系一質(zhì)量為m的小球，在最低點給小球一初速度，使其在豎直平面內(nèi)做圓周運動，且剛好能通過最高點P。下列說法正確的是()A．小球在最高點時對繩的拉力為零B．小球在最高點時對繩的拉力大小為mgC．若增大小球的初速度，則過最高點時球?qū)K的力肯定增大D．若增大小球的初速度，則在最低點時球?qū)K的力肯定增大答案ACD解析在最高點小球可能受重力和繩的拉力作用，合力供應圓周運動的向心力，由T＋mg＝meq\f(v2,R)知，速度越大繩的拉力越大，速度越小繩的拉力越小，繩的拉力有最小值0，故速度有最小值eq\r(gR)，因為小球恰好能通過最高點，故在最高點時的速度為eq\r(gR)，此時繩的拉力為0，所以A正確，B錯誤；依據(jù)牛頓其次定律，在最高點時有T＋mg＝meq\f(v2,R)，小球初速度增大，則在最高點速度增大，則繩的拉力增大，所以C正確；小球在最低點時，合力供應圓周運動的向心力，有T－mg＝meq\f(v2,R)，增大小球的初速度時，小球所受繩的拉力增大，所以D正確。2．(多選)當汽車通過圓弧形凸形橋時，下列說法中正確的是()A．汽車在通過橋頂時，對橋的壓力肯定小于汽車的重力B．汽車在通過橋頂時，速度越小，對橋的壓力就越小C．汽車所需的向心力由橋?qū)ζ嚨闹С至砉狣．汽車通過橋頂時，若汽車的速度v＝eq\r(gR)(g為重力加速度，R為圓弧形橋面的半徑)，則汽車對橋頂?shù)膲毫榱愦鸢窤D解析汽車過凸形橋時，在橋頂有mg－FN＝meq\f(v2,R)，所以mg>FN，故A正確；由上式可知，汽車通過橋頂時，v越小，F(xiàn)N越大，所以B錯誤；汽車所需的向心力由重力沿軌道半徑方向的分力和橋?qū)ζ嚨闹С至Φ暮狭砉?，故C錯誤；當汽車通過橋頂所受支持力FN＝0時，mg＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(gR)，故D正確。3.(多選)如圖所示，有一個半徑為R的光滑圓軌道，現(xiàn)給小球一個初速度，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運動，則關(guān)于小球在過最高點的速度v，下列敘述中正確的是()A．v的微小值為eq\r(gR)B．v由零漸漸增大，軌道對球的彈力漸漸增大C．當v由eq\r(gR)值漸漸增大時，軌道對小球的彈力也漸漸增大D．當v由eq\r(gR)值漸漸減小時，軌道對小球的彈力漸漸增大答案CD解析因為軌道內(nèi)壁下側(cè)可以供應支持力，則過最高點的最小速度為零，故A錯誤。當v>eq\r(gR)，管道上壁對小球有作用力，依據(jù)牛頓其次定律得，在最高點有mg＋F＝meq\f(v2,R)，當速度增大時，彈力F增大；當v<eq\r(gR)，管道下壁對小球有作用力，依據(jù)牛頓其次定律得，在最高點有mg－N＝meq\f(v2,R)，速度增大時，彈力減小，速度減小時，彈力增大；故C、D正確，B錯誤。4．如圖甲所示，一輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點的速度大小為v，F(xiàn)N-v2圖像如圖乙所示。下列說法正確的是()A．當?shù)氐闹亓铀俣却笮閑q\f(R,b)B．小球的質(zhì)量為eq\f(aR,b)C．當v2＝c時，桿對小球彈力方向向上D．若v2＝2b，則桿對小球彈力大小為2a答案B解析當v2＝b時，F(xiàn)N＝0，此時小球的重力恰好供應圓周運動的向心力，則有mg＝meq\f(v2,R)，解得g＝eq\f(b,R)，故A錯誤。當v2＝0時，F(xiàn)N＝a，故有FN＝mg＝a，結(jié)合A項結(jié)論可解出m＝eq\f(aR,b)，故B正確。由圖像可知，當v2＝c>b時，速度大于桿的彈力為零的臨界速度，此時桿的彈力方向向下，故C錯誤。當v2＝2b時，由F合＝meq\f(v2,R)，故有FN＋mg＝eq\f(2mb,R)＝eq\f(2×\f(aR,b)×b,R)＝2a＝2mg，得FN＝mg＝a，故D錯誤。5.在質(zhì)量為M的電動機飛輪上，固定著一個質(zhì)量為m的重物，重物到轉(zhuǎn)軸的距離為r，如圖所示。為了使電動機不從地面上跳起，電動機飛輪的轉(zhuǎn)動角速度不能超過()A.eq\f(M＋m,mr)g B.eq\r(\f(M＋m,mr)g)C.eq\r(\f(M－m,mr)g) D.eq\r(\f(Mg,mr))答案B解析當重物轉(zhuǎn)動到最高點時，對電動機的向上的拉力最大，要使電動機不從地面上跳起，重物對電動機的拉力的最大值為FT＝Mg；對重物來說，隨飛輪一起做圓周運動，它的向心力是重力和飛輪對重物的拉力FT′的合力，F(xiàn)T′和FT是一對作用力和反作用力。由牛頓其次定律，得FT′＋mg＝mω2r，代入數(shù)值，解得ω＝eq\r(\f(M＋m,mr)g)。所以B正確。6.如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止，物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為eq\f(\r(3),2)(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30°，g取10m/s2，則ω的最大值是()A.eq\r(5)rad/s B.eq\r(3)rad/sC．1.0rad/s D．0.5rad/s答案C解析當物體運動到最低點，所受的靜摩擦力沿斜面對上達到最大時，角速度最大，由牛頓其次定律得：μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r，則ω＝eq\r(\f(gμcos30°－sin30°,r))＝eq\r(\f(10×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2)－\f(1,2))),2.5))rad/s＝1.0rad/s，故C正確。7.雜技演員在做“水流星”表演時，用一根細繩系著盛水的杯子，掄起繩子，讓杯子在豎直面內(nèi)做圓周運動。如圖所示，杯內(nèi)水的質(zhì)量m＝0.5kg，繩長l＝60cm，g取9.8m/s2，求：(1)在最高點水不流出的最小速率；(2)水在最高點速率v′＝3m/s時，水對杯底的壓力大小。答案(1)1.71m/s(2)10.1N解析(1)在最高點水不流出的條件是重力不大于水做圓周運動所須要的向心力，即：mg≤meq\f(v2,r)，r＝eq\f(1,2)l，則所求最小速率：v0＝eq\r(\f(gl,2))＝eq\r(\f(9.8×0.6,2))m/s≈1.71m/s。(2)當水在最高點的速率大于v0時，重力不足以供應向心力，此時杯底對水有一豎直向下的壓力，設(shè)為FN，由牛頓其次定律有：FN＋mg＝meq\f(v′2,r)即FN＝meq\f(v′2,r)－mg＝10.1N。由牛頓第三定律知，水對杯底的壓力FN′＝FN＝10.1N，方向豎直向上。8．長度為0.5m的輕桿OA繞O點在豎直平面內(nèi)做圓周運動，A端連著一個質(zhì)量m＝2kg的小球，g取10m/s2。求在下述的兩種狀況下，通過最高點時小球?qū)U的作用力的大小和方向：(1)桿做勻速圓周運動的轉(zhuǎn)速為2.0r/s；(2)桿做勻速圓周運動的轉(zhuǎn)速為0.5r/s。答案(1)138N方向豎直向上(2)10N方向豎直向下解析(1)設(shè)小球受桿的作用力方向向下，則小球在最高點的受力如圖所示。桿的轉(zhuǎn)速為2.0r/s時，有ω＝2πn＝4πrad/s由牛頓其次定律得F＋mg＝mω2L故小球所受桿的作用力F＝mω2L－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138N即桿對小球供應了138N的拉力。由牛頓第三定律知，小球?qū)U的拉力大小為138N，方向豎直向上。(2)桿的轉(zhuǎn)速為0.5r/s時，ω′＝2πn′＝πrad/s同理可得小球所受桿的作用力F′＝mω′2L－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10N。力F′為負值表示它的方向與受力分析中所假設(shè)的方向相反，故小球?qū)U的壓力大小為10N，方向豎直向下。典型考點二水平面內(nèi)的圓周運動的臨界問題9.如圖所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺上的小物體A、B、C能隨轉(zhuǎn)臺一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，A、B、C的質(zhì)量分別為3m、2m、m，A與B、B與轉(zhuǎn)臺、C與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)都為μ，B、C離轉(zhuǎn)臺中心的距離分別為r、1.5r。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，以下說法正確的是()A．B對A的摩擦力肯定為3μmgB．C與轉(zhuǎn)臺間的摩擦力大于A與B間的摩擦力C．轉(zhuǎn)臺的角速度肯定滿意：ω≤eq\r(\f(2μg,3r))D．轉(zhuǎn)臺的角速度肯定滿意：ω≤eq\r(\f(μg,3r))答案C解析對A受力分析，受重力、支持力以及B對A的靜摩擦力，靜摩擦力供應向心力，只有當A要相對于B滑動時B對A的摩擦力才為3μmg，故A錯誤。A與C轉(zhuǎn)動的角速度相同，都是由靜摩擦力供應向心力，對A有FfA＝3mω2r，對C有FfC＝mω2·1.5r，由此可知C與轉(zhuǎn)臺間的摩擦力小于A與B間的摩擦力，故B錯誤。當C剛要滑動時：μmg＝mωeq\o\al(2,C)·1.5r，解得ωC＝eq\r(\f(2μg,3r))；對A、B整體剛要滑動時：μ(2m＋3m)g＝(2m＋3m)ωeq\o\al(2,AB)r，解得ωAB＝eq\r(\f(μg,r))；當A剛要相對于B滑動時：3μmg＝3mωeq\o\al(2,A)r，解得：ωA＝eq\r(\f(μg,r))；由以上可知要想三個物體均不滑動，角速度應滿意：ω≤eq\r(\f(2μg,3r))，故C正確，D錯誤。10．如圖所示，在光滑的圓錐頂用長為L的細線懸掛一質(zhì)量為m的小球，圓錐體固定在水平面上不動，其軸線沿豎直方向，細線與軸線之間的夾角為30°，小球以速率v繞圓錐體軸線做水平圓周運動：(1)當v1＝eq\r(\f(gL,6))時，求線對小球的拉力大??；(2)當v2＝eq\r(\f(3gL,2))時，求線對小球的拉力大小。答案(1)eq\f(1＋3\r(3)mg,6)(2)2mg解析臨界條件為圓錐體對小球的支持力FN＝0且細線與豎直方向夾角為30°，如圖甲所示，F(xiàn)合＝mgtan30°＝man＝eq\f(mv\o\al(2,0),r)＝eq\f(mv\o\al(2,0),Lsin30°)，得v0＝eq\r(\f(\r(3)gL,6))。(1)因為v1<v0，F(xiàn)N≠0，對小球受力分析如圖乙所示。F1sin30°－FNcos30°＝eq\f(mv\o\al(2,1),Lsin30°)F1cos30°＋FNsin30°－mg＝0解得：F1＝eq\f(1＋3\r(3)mg,6)。(2)因v2>v0，小球離開斜面，對小球受力分析如圖丙所示。F2sinα＝eq\f(mv\o\al(2,2),Lsinα)F2cosα－mg＝0解得：F2＝2mg。11.如圖所示，勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放置兩個用細線相連的質(zhì)量均為m的小物體A、B，它們到圓盤轉(zhuǎn)軸的距離分別為rA＝20cm，rB＝30cm。A、B與盤面的最大靜摩擦力均為重力的eq\f(2,5)(g＝10m/s2)，試求：(1)當細線起先出現(xiàn)張力時，圓盤的角速度；(2)當A起先滑動時，圓盤的角速度；(3)當A即將滑動時，燒斷細線，A、B所處的狀態(tài)怎樣？答案(1)3.65rad/s(2)4rad/s(3)見解析解析(1)由于rB＞rA，當圓盤以角速度ω轉(zhuǎn)動時，物體B所需向心力大，設(shè)當ω＝ω1，細線起先被拉緊產(chǎn)生張力，因此，對B由向心力公式有kmg＝mωeq\o\al(2,1)rB解得ω1＝eq\r(\f(kg,rB))＝eq\r(\f(\f(2,5)×10,0.3))rad/s≈3.65rad/s。(2)當A起先滑動時，對B滿意kmg＋F＝mωeq\o\al(2,2)rB對A滿意kmg－F＝mωeq\o\al(2,2)rA聯(lián)立得ω2＝eq\r(\f(2kg,rA＋rB))＝eq\r(\f(2×\f(2,5)×10,0.2＋0.3))rad/s＝4rad/s。(3)當A即將滑動時，將細線燒斷，F(xiàn)突然消逝，對B來說kmg＜FBn，對A來說kmg＞FAn，由此可知B將做離心運動，A仍隨圓盤做勻速圓周運動。1．(多選)乘坐游樂園的過山車時，質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)沿圓周軌道運動，下列說法正確的是()A．車在最高點時人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險帶拉住，若沒有保險帶，人肯定會掉下去B．人在最高點時對座位仍可能產(chǎn)生壓力，但壓力肯定小于mgC．人在最低點時處于超重狀態(tài)D．人在最低點時對座位的壓力大于mg答案CD解析由圓周運動的臨界條件知：當人在最高點v＝eq\r(gR)時，人對座位和保險帶都無作用力；當v＞eq\r(gR)時，人對座位有壓力，當v＞eq\r(2gR)時，壓力大于mg，故A、B錯誤。人在最低點時有：FN－mg＝eq\f(mv2,R)，F(xiàn)N＞mg，人處于超重狀態(tài)，故C、D正確。2.(多選)如圖所示，長為l的輕桿，一端固定一個小球，另一端固定在光滑的水平軸上，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，小球過最高點的速度為v，下列敘述中正確的是()A．v的值可以小于eq\r(gl)B．當v由零漸漸增大時，小球在最高點所需向心力也漸漸增大C．當v由eq\r(gl)值漸漸增大時，桿對小球的彈力漸漸增大D．當v由eq\r(gl)值漸漸減小時，桿對小球的彈力漸漸減小答案ABC解析細桿拉著小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，在最高點的最小速度為零，故A正確。依據(jù)F向＝meq\f(v2,l)知，速度增大，向心力增大，故B正確。當v＝eq\r(gl)時，桿的作用力為零，當v>eq\r(gl)時，桿的作用力表現(xiàn)為拉力，速度增大，拉力增大，故C正確。當v<eq\r(gl)時，桿的作用力表現(xiàn)為支持力，速度減小，支持力增大，故D錯誤。3．如圖所示，OO′為豎直轉(zhuǎn)動軸，MN為固定在OO′上的水平光滑桿，有兩個質(zhì)量相同的有孔金屬球甲、乙套在水平桿上，AC、BC為抗拉實力相同的兩根細線，A、B端分別連接甲、乙兩球，C端固定在轉(zhuǎn)動軸OO′上，當線拉直時，甲、乙兩球到轉(zhuǎn)動軸距離之比為2∶1，當轉(zhuǎn)動角速度漸漸增大時()A．AC線先斷 B．BC線先斷C．兩線同時斷 D．不能確定哪段線先斷答案A解析依據(jù)題意有FACcos∠CAB＝mω2eq\x\to(AC)·cos∠CAB，F(xiàn)BCcos∠CBA＝mω2eq\x\to(BC)·cos∠CBA，由于eq\x\to(AC)>eq\x\to(CB)，故FAC>FBC，所以AC線先斷，A正確。4．如圖所示，質(zhì)量為m的滑塊與軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，在滑塊從A滑到B的過程中，受到的摩擦力的最大值為Ff，則()A．Ff＝μmg B．Ff<μmgC．Ff>μmg D．無法確定Ff的值答案C解析設(shè)滑塊滑到圓弧軌道最低點時速度為v，由FN－mg＝eq\f(mv2,R)可知，F(xiàn)N>mg，故肯定有Ff>μmg，C正確。5．(多選)如圖所示，小物塊放于半徑為R的半球的頂端，若給小物塊一水平的初速度v時小物塊對半球剛好無壓力，則下列說法正確的是()A．小物塊馬上離開球面做平拋運動B．小物塊落地時水平位移為eq\r(2)RC．小物塊沿球面運動D．小物塊落地時速度的方向與地面成45°角答案AB解析小物塊在最高點時對半球剛好無壓力，表明從最高點起先小物塊離開球面做平拋運動，A正確，C錯誤；由mg＝meq\f(v2,R)知，小物塊在最高點的速度大小v＝eq\r(gR)，又由于R＝eq\f(1,2)gt2，vy＝gt，x＝vt，故x＝eq\r(2)R，B正確；設(shè)小物塊落地時速度的方向與地面的夾角為θ，tanθ＝eq\f(vy,v)＝eq\r(2)，θ>45°，D錯誤。6．(多選)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)木架上的A點和C點。如圖所示，當輕桿繞軸BC以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，繩a在豎直方向，繩b在水平方向。當小球運動到圖示位置時，繩b被燒斷的同時木架停止轉(zhuǎn)動，則()A．繩a對小球拉力不變B．繩a對小球拉力增大C．小球可能前后搖擺D．小球不行能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動答案BC解析繩b燒斷前，小球豎直方向的合力為零，即Fa＝mg，燒斷b后，小球在豎直面內(nèi)做圓周運動，且Fa′－mg＝meq\f(v2,l)，所以Fa′＞Fa，A錯誤，B正確；當ω足夠小時，小球不能擺過AB所在高度，C正確；當ω足夠大時，小球在豎直面內(nèi)能通過AB上方的最高點而做完整的圓周運動，D錯誤。7.在光滑水平面上相距20cm的兩點釘上A、B兩個釘子，一根長1m的細繩一端系小球，另一端拴在A釘上，如圖所示。已知小球質(zhì)量為0.4kg，某時刻小球起先從圖示位置以2m/s的速度做水平勻速圓周運動，若繩所能承受的最大拉力為3.2N，則從起先運動到繩被拉斷歷時為()A．2.4πsB．1.4πsC．1.2πsD．0.9πs答案C解析當繩子拉力為3.2N時，由F＝meq\f(v2,r)，可得r＝meq\f(v2,F)＝0.5m。小球每轉(zhuǎn)半個圓周，其半徑就減小0.2m。由分析知，小球分別以半徑為1m、0.8m和0.6m各轉(zhuǎn)過半個圓周后繩子就被拉斷了，所以時間為t＝eq\f(πr1,v)＋eq\f(πr2,v)＋eq\f(πr3,v)＝1.2πs，故C正確。8．如圖所示，一光滑的半徑為R的半圓形軌道固定在水平面上，AB為半圓形軌道的豎直直徑，一個質(zhì)量為m的小球以某一速度沖上軌道，當小球?qū)⒁獜能壍揽陲w出時，對軌道的壓力恰好為零，則小球落地點C距A處多遠？答案2R解析小球在B點飛出時，對軌道壓力為零，由mg＝meq\f(v\o\al(2,B),R)，得vB＝eq\r(gR)，小球從B點飛出做平拋運動，t＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(4R,g))，水平方向的位移大小即落地點C到A的距離x＝vBt＝eq\r(gR)·eq\r(\f(4R,g))＝2R。9．如圖所示，小球A質(zhì)量為m，固定在輕細直桿L的一端，并隨桿一起繞桿的另一端O點在豎直平面內(nèi)做圓周運動。假如小球經(jīng)過最高點時，桿對球的拉力大小等于球的重力。重力加速度為g，求：(1)小球在最高點的速度大??；(2)當小球經(jīng)過最低點時速度為eq\r(6gL)，求桿對球作用力大小和向心加速度大小。答案(1)eq\r(2gL)(2)7mg6g解析(1)小球在最高點時，受重力mg和桿對它向下的拉力F1，合力供應向心力，由牛頓其次定律得mg＋F1＝meq\f(v\o\al(2,1),L)依題意F1＝mg聯(lián)立解得v1＝eq\r(2gL)。(2)小球在最低點時，受重力mg和桿對它向上的拉力F2，合力供應向心力，由牛頓其次定律得F2－mg＝meq\f(v\o\al(2,2),L)解得F2＝mg＋meq\f(v\o\al(2,2),L)將v2＝eq\r(6gL)代入解得F2＝7mg球的向心加速度an＝eq\f(v\o\al(2,2),L)＝6g。10．如圖所示，在光滑水平面上有質(zhì)量為m1、m2的兩個小球1、2用輕彈簧連接在一起，再用長為L1的細線一端拴住球1，一端拴在O點上，兩球都以相同的角速度ω繞O點做勻速圓周運動，保證兩球與O點三者始終在同始終線上，若兩球之間的距離為L2，試求細線的拉力以及將細線燒斷的瞬間兩球的加速度。答案見解析解析以球2為探討對象，球2繞O點做勻速圓周運動所需的向心力由彈簧的彈力供應，設(shè)彈力為F，則有F＝m2(L1＋L2)ω2；以球1為探討對象，球1繞O點做勻速圓周運動所需的向心力由細線的拉力和彈簧彈力的合力供應，設(shè)細線拉力為FT，則有FT－F＝m1L1ω2。由以上兩式可解得：FT＝m1L1ω2＋m2(L1＋L2)·ω2。當細線燒斷瞬間，細線的拉力FT＝0，而彈簧的彈力仍為F＝m2(L1＋L2)ω2，故球2的加速度a2＝eq\f(F,m2)＝(L1＋L2)ω2，方向水平指向O點。球1的加速度a1＝eq\f(－F,m1)＝－eq\f(m2,m1)·(L1＋L2)ω2，負號表示a1的方向水平背離O點，與a2的方向相反。11．如圖所示，兩繩AC、