2024-2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)重難題型突破數(shù)學(xué)思想方法含解析

PAGE1-2024-2025年中考數(shù)學(xué)重難題型突破：數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)相識；是體現(xiàn)或應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。數(shù)學(xué)方法即用數(shù)學(xué)語言表述事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，并加以推導(dǎo)、演算和分析，以形成對問題的說明、推斷和預(yù)言的方法。同一手段、門路或程序被重復(fù)運用了多次，并且都達(dá)到了預(yù)期的目的，就成為數(shù)學(xué)方法。思想與方法并不是孤立獨行的，二者之間相互聯(lián)系，思想對應(yīng)方法，方法返襯思想。模塊一模塊一數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想——數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想題組一數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的探討對象，它們在肯定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)探討的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而其次種情形是“以形助數(shù)”?！耙詳?shù)解形”就是有些圖形太過于簡潔，干脆視察卻看不出什么規(guī)律來，這時就須要給圖形賦值，如邊長、角度等。1、數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容（1）肯定值問題：畫數(shù)軸，依據(jù)肯定值的性質(zhì)（一點到另一點的距離）得到一個范圍，從而解出肯定值。（2）函數(shù)問題：借助于圖象探討函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法。函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。（3）方程與不等式：處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結(jié)論動身，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。（4）幾何探究：幾何中用坐標(biāo)的方法將幾何中的點、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行探討，可將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運算。2、數(shù)形結(jié)合的類型（1）以“數(shù)”化“形”：對于“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”這類問題，解決問題的基本思路：明確題中所給的條件和所求的目標(biāo)，從題中已知條件或結(jié)論動身，先視察分析其是否相像（相同）于已學(xué)過的基本公式（定理）或圖形的表達(dá)式，再作出或構(gòu)造出與之相適合的圖形，最終利用已經(jīng)作出或構(gòu)造出的圖形的性質(zhì)、幾何意義等，聯(lián)系所要求解（求證）的目標(biāo)去解決問題。（2）以“形”變“數(shù)”：解題的基本思路：明確題中所給條件和所求的目標(biāo)，分析已給出的條件和所求目標(biāo)的特點和性質(zhì)，理解條件或目標(biāo)在圖形中的重要幾何意義，用已學(xué)過的學(xué)問正確的將題中用到的圖形的用代數(shù)式（一般利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化也可以通過引入?yún)?shù)解決）表達(dá)出來，再依據(jù)條件和結(jié)論的聯(lián)系，利用相應(yīng)的公式或定理等。數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要留意三點：①要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；②是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；③是正確確定參數(shù)的取值范圍。例1已知：實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．【規(guī)范答題】由數(shù)軸可得：，則，，，則．例2在平行四邊形中，，，，則平行四邊形的面積等于．【規(guī)范答題】過作于，在中，，，，，在中，，，如圖1，，平行四邊形的面積，如圖2，，平行四邊形的面積，故答案為：或．例3如圖，點，依次在的圖象上，點，依次在軸的正半軸上．若△，△均為等邊三角形，則點的坐標(biāo)為．【規(guī)范答題】作，垂足為，△為等邊三角形，，，，設(shè)的坐標(biāo)為，點在的圖象上，，解得，，，作，垂足為．設(shè)，則，，．在反比例函數(shù)的圖象上，代入，得，化簡得，解得：．，．，，所以點的坐標(biāo)為，．1如圖，在矩形中，，，是上的一個動點不與，重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點．（1）當(dāng)為的中點時，求該函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)為何值時，的面積最大，最大面積是多少？【解答】（1）在矩形中，，，，為的中點，，點在反比例函數(shù)的圖象上，，該函數(shù)的解析式為；（2）由題意知，兩點坐標(biāo)分別為，，，，在邊上，不與，重合，即，解得當(dāng)時，有最大值．．2如圖，的對角線、交于點，平分交于點，且，，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④成立的個數(shù)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】四邊形是平行四邊形，，，平分，是等邊三角形，，，，，，故①錯誤；可得，，故②正確；，為中點，，，，；故③正確；四邊形是平行四邊形，，，，，，，，故④正確；故正確的個數(shù)為3個，故選：．3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，點在第一象限，點在軸的正半軸上，點為的重心，連接并延長，交于點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．若的面積為6，則的值為A. B． C． D．3【解答】過點作于，于，如圖，點為的重心，，，，設(shè)，則，，，，，，，，為的中線，，即，．故選：．?dāng)?shù)學(xué)思想——分類探討數(shù)學(xué)思想——分類探討思想題組二每個數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的運用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行探討，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一樣的，即把全部探討的問題依據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同狀況分類，然后再逐一探討解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類探討思想。1、分類探討的步驟（1）明確分類對象（2）明確分類標(biāo)準(zhǔn)（3）逐類分類、分級得到階段性結(jié)果（4）用該級標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行檢驗篩選結(jié)果（5）歸納作出結(jié)論2、分類探討的對象例4關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是A． B．且 C．且 D．且【規(guī)范答題】①當(dāng)，即，方程化為，解得；②當(dāng)時，△，解得且，綜上所述，的范圍為．故選：．例5如圖，在直角中，，，，、分別為邊、上的兩個動點，若要使是等腰三角形且是直角三角形，則．【規(guī)范答題】①如圖1中，當(dāng)，時，設(shè)，，，，，，．②如圖2中，當(dāng)，時，設(shè)．，，，．綜上所述，滿意條件的的值為或．例6如圖，中，，，，點是斜邊上隨意一點，過點作，垂足為，交邊（或邊于點，設(shè)，的面積為，則與之間的函數(shù)圖象大致是A．B． C．D．【規(guī)范答題】①當(dāng)點在上時，，，，；②當(dāng)點在上時，如下圖所示：，，，，，．，該函數(shù)圖象前半部分是拋物線開口向上，后半部分也為拋物線開口向下，故選：．4若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A． B．且 C．且 D．【解答】當(dāng)該方程是一元二次方程時，由題意可知：△，，，且，當(dāng)該方程時一元一次方程時，，滿意題意，故選：．5若關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．且 D．【解答】關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，△，且，解得，故選：．6已知關(guān)于的一元二次方程，這個方程根的狀況是A．有兩個相等的實根 B．有兩個不相等的實根 C．有可能無實根 D．有兩個實根，可能相等，也可能不相等【解答】依據(jù)題意得，△，，，△，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根．故選：．7如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，四邊形是矩形，點、的坐標(biāo)分別為、，點是的中點，點在邊上運動，當(dāng)是腰長為5的等腰三角形時，求的坐標(biāo)．【解答】（1）是等腰三角形的底邊時，就是的垂直平分線與的交點，此時；（2）是等腰三角形的一條腰時：①若點是頂角頂點時，點就是以點為圓心，以5為半徑的弧與的交點，在直角中，，則的坐標(biāo)是．②若是頂角頂點時，點就是以點為圓心，以5為半徑的弧與的交點，過作于點，在直角中，，當(dāng)在的左邊時，，則的坐標(biāo)是；當(dāng)在的右側(cè)時，，則的坐標(biāo)是．故為：或或．8如圖，在矩形中，，，點是邊上靠近點的三等分點，動點從點動身，沿路徑運動，則的面積與點經(jīng)過的路徑長之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是A．B． C．D．【解答】在矩形中，，，，，點是邊上靠近點的三等分點，，①點在上時，的面積，②點在上時，，，，，，③點在上時，，，故選：．9如圖，拋物線經(jīng)過點，，直線：交軸于點，且與拋物線交于兩點，為拋物線上一動點（不與重合）。（1）求拋物線的解析式。（2）當(dāng)點在直線下方時，過點作軸交于點，軸交于點，求的最大值。（3）設(shè)為直線上的點，以為頂點的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形？若能，求坐標(biāo)；若不能，請說明理由?！窘獯稹浚?）把，代入，得，拋物線的解析式為：。（2）設(shè)由題得，當(dāng)時，的最大值是。（3）以為頂點的四邊形能構(gòu)成平行四邊形。由題可得：，①以為邊，有:且，此時在上方時，（舍去），得.在下方時，得②以為對角線，由得：解得：（舍去），得.綜上所述，當(dāng)為時，四邊形能構(gòu)成平行四邊形。數(shù)學(xué)思想——函數(shù)方程思想題組三數(shù)學(xué)思想——函數(shù)方程思想題組三函數(shù)方程的思想，是對于一個問題用方程解決的應(yīng)用，也是對方程概念本質(zhì)的相識，是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程、方程組或者函數(shù)關(guān)系，或利用方程函數(shù)的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問題。要善用方程和方程組觀點來視察處理問題。函數(shù)方程思想是動中求靜，探討運動中的等量關(guān)系。當(dāng)一個問題可能與某個方程建立關(guān)聯(lián)時，可以構(gòu)造方程并對方程的性質(zhì)進(jìn)行探討以解決這個問題。例7矩形中，，，將矩形折疊，使得點落在線段的點處，則線段的長為．【規(guī)范答題】四邊形是矩形，，將矩形折疊，使得點落在線段的點處，，，，在中，由勾股定理，得．在矩形中，．．設(shè)，則．在中，．解得．，故答案為：2.5．例8如圖，已知直線分別與軸，軸交于，兩點，與雙曲線交于，兩點，若，則的值是A． B．1 C． D．【規(guī)范答題】作軸，軸，與交于，如圖，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，，設(shè)點橫坐標(biāo)為，代入，則縱坐標(biāo)是，則的坐標(biāo)是：，點坐標(biāo)為，，解得，點坐標(biāo)為，，．故選：．10如圖，已知中，，，，的垂直平分線分別交，于，，連接，則的長為A．1 B． C． D．【解答】中，，，，，是直角三角形，的垂直平分線分別交，于，，，設(shè)為，，在中，，即，解得：，即，故選：．11如圖，矩形中，點在邊上，于，若，，則線段長為A． B．4 C． D．【解答】連接，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，在中，設(shè)為，由勾股定理可得：，即，解得：，所以，，故選：．12如圖，在矩形中，，，點是上一點，把沿向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點的對應(yīng)點恰落在的平分線上時，．【解答】過作交于，交于，作于，如圖所示：由折疊的性質(zhì)得：，點恰落在的平分線上，，四邊形是正方形，，設(shè)，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，或（舍去），；故答案為：．13如圖，有一個，，，，將它放在直角坐標(biāo)系中，使斜邊在軸上，直角頂點在反比例函數(shù)的圖像上，求點的坐標(biāo)【解答】如圖，過點作軸于點，在中，，，，點的縱坐標(biāo)為，點在反比例函數(shù)的圖像上，，，即點橫坐標(biāo)為，點橫坐標(biāo)也為，在中，，，設(shè)，則，由勾股定理得：，解得或（舍去），在軸上，的坐標(biāo)為．?dāng)?shù)學(xué)思想——引參數(shù)學(xué)思想——引參轉(zhuǎn)化思想題組四換元引參思想是我們在解決許多幾何問題和函數(shù)問題時慣用的思路，參數(shù)可以作為中間量進(jìn)行過渡，也可以以參數(shù)為未知變量，探討其最值及其它性質(zhì)，是數(shù)學(xué)思想中重要的一脈；轉(zhuǎn)化與整體思想是數(shù)學(xué)中探討困難代數(shù)或者幾何問題時常用的方法，整體轉(zhuǎn)化思想往往與換元引參思想密不行分，但是初中階段對思想方法的考察要求不是很高，只需有所簡潔了解，所以在此我們不做過多深化講解，駕馭思想方法的表現(xiàn)形式即可。例9如圖，在正方形中，點，分別在邊，上，假如，，，那么正方形的面積等于．【規(guī)范答題】設(shè)正方形的邊長為，的長為．，，，，，即解得①在中，②將①代入②，可得：正方形的面積為：．例10在中，邊上的中線，，，則的面積為．【規(guī)范答題】如圖，在中，是邊上的中線，，，，，，，，，是直角三角形，，又，，，又，．14如圖，是以為底的等腰三角形，是邊上的高，點、分別是、的中點．（1）求證：四邊形是菱形；（2）假如四邊形的周長為12，兩條對角線的和等于7，求四邊形的面積．【解答】（1），點、分別是、的中點，中，，中，，又，點、分別是、的中點，，，四邊形是菱形；（2）如圖，菱形的周長為12，，設(shè)，，則，，①于，中，，，即，②把②代入①，可得，，菱形的面積．15如圖，已知為的直徑，，點和點是上關(guān)于直線對稱的兩個點，連接、，且，直線和直線相交于點，過點作直線與線段的延長線相交于點，與直線相交于點，且．（1）求證：直線為的切線；（2）若點為線段上一點，連接，滿意，①；②求的最大值．【解答】（1）由題意可知：，是的直徑，，，，，，是的半徑，直線是的切線；（2）①，，，②由可知：，，，，，當(dāng)，此時，，令當(dāng)時可取得最大值，最大值為5模塊二模塊二數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法——等面積法題組一數(shù)學(xué)方法——等面積法題組一等面積法是我們解決幾何問題時常用的方法，利用面積的關(guān)系可以使計算過程事半功倍。1、等面積法（1）面積和差型該類型通過面積之間的和差關(guān)系構(gòu)建恒等式。（2）面積算式型該類型通過對同一圖形面積的不同計算方法（以三角形為例，換底和高）構(gòu)建恒等式。2、等面積法類型（1）正常的三角形中：涉及多個高線問題的，可以利用等面積法（2）菱形中涉及對角線求值，利用：列式子求解（3）其它幾何中（選填壓軸幾何）中，涉面積的結(jié)合利用三角形全等進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化（4）動點問題中，假如動點關(guān)系恒定不變的是線線垂直，這個時候可以考慮應(yīng)用等面積方法求解問題例11已知：如圖，在中，，，平分交于，求的面積．【規(guī)范答題】（1）在中，，，，又平分，，在中，，，，由勾股定理得即，解得，，又法一：，，．法二：例12已知：如圖，矩形中，，，對角線、相交于點，點是線段上隨意一點，且于點，于點，則等于A． B． C． D．【規(guī)范答題】連接，矩形的兩邊，，，，，，，，，，，故選：．例13在正方形中，點為邊上的一點，，連接，作于點，令，，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系圖象大致是A． B． C． D．【規(guī)范答題】法一：正方形中，，，，，，，，，，即，．由上可知可得出與的函數(shù)圖象是一支在第一象限的雙曲線．故選：．法二等面積法：連接，設(shè)，則，由題意：,所以：，由上可知可得出與的函數(shù)圖象是一支在第一象限的雙曲線．故選：．16如圖，四邊形是菱形，，，于，則等于A． B． C．5 D．4【解答】四邊形是菱形，，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，故選：．17如圖，在中，，是的中點，是的中點，過點作交的延長線于點．若，，則四邊形的面積為A． B．24 C．6 D．12【解答】，，在和中，，，，的面積的面積，面積面積面積面積面積面積，選：．18如圖，在菱形中，，，于點，則的長為A．1 B． C． D．【解答】在菱形中，，，，，，，，，故選：．19如圖，將平行四邊形紙片沿折疊，使點與點重合，點落在點處．（1）求證：；（2）連接，若平行四邊形的面積為8，，求的值．【解答】（1）證明：在中，，，，紙片沿折疊，點與點重合，點落在點處，，，，，，，，，，在和中，，；（2）連接，，，依據(jù)翻折的性質(zhì)，，又，四邊形是平行四邊形，依據(jù)翻折后點、重合，，是菱形，菱形的面積，的面積，，的面積，菱形的面積等于，菱形的面積．20如圖，為的外接圓，為與的交點，為線段延長線上一點，且．（1）求證：直線是的切線．（2）若為的中點，，①求的半徑；②求的內(nèi)心到點的距離．【解答】（1）證明：連接，并延長交于點，連接是直徑，，，且是半徑直線是的切線．（2）①如圖，連接，為的中點，過圓心，，，，，，的半徑為；②如圖，作的平分線交于點，連接，過點作，，，，且平分，且平分點是的內(nèi)心，且，，在中，，，，，，．?dāng)?shù)學(xué)方法——坐標(biāo)解析數(shù)學(xué)方法——坐標(biāo)解析法題組二坐標(biāo)解析法顧名思義，通過建立坐標(biāo)系的方法使困難的幾何問題可以通過簡潔的代數(shù)運算求解。坐標(biāo)解析的優(yōu)點是坐標(biāo)體系的學(xué)問點是固定的，在不同的幾何題中，幾何圖解的思路是千變?nèi)f化的，但是假如運用坐標(biāo)解析的方法去處理問題，則大道同歸，方法思路不會發(fā)生改變，對于學(xué)生而言，不失為一種簡便的方法。1、直角建系法：在幾何中出現(xiàn)規(guī)則的直角時，可以以直角為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，然后求解問題2、無直角建系法：這一類對學(xué)生而言往往要求較高，而且設(shè)的參數(shù)可能會比較多。3、坐標(biāo)系學(xué)問（1）坐標(biāo)：兩條相互垂直的數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系內(nèi)一組有序數(shù)對為點坐標(biāo)（2）坐標(biāo)系學(xué)問：①軸方程為：；過點，垂直于軸（平行于軸）的方程為：軸方程為：；過點，垂直于軸（平行于軸）的方程為：②直線解析式：書寫規(guī)范：設(shè)一次函數(shù)解析式為：，。把、帶入解析式，得，一次函數(shù)解析式為：?？焖俚媒猓鹤鲱}分析時要能達(dá)到目之所及，解析式現(xiàn)。代表直線的斜率，含義是直線的傾斜程度。代表直線的縱截距，含義是直線與軸相交的點的縱坐標(biāo)。③兩點，之間的距離公式：④兩點，之間的中點坐標(biāo)公式：例14如圖，在中，，，是的中點，點在上，點在上，且．給出以下四個結(jié)論：其中正確的有①；②是等腰直角三角形；③；?的最小值為2．【規(guī)范答題】①，，，點是的中點，，且，，，在和中，，，，，所以①正確；②，是等腰直角三角形；所以②正確；③，和的面積相等，為中點，的面積的面積，；所以③正確；④法一：幾何圖解法當(dāng)，時，值最小，依據(jù)勾股定理得：，此時四邊形是矩形，即，所以；所以④正確；法二：坐標(biāo)解析法。如圖，以方向為軸，以方向為軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)，則。所以、由勾股定理可得：明顯，拋物線對稱軸，當(dāng)時，有最小值，，所以④正確；例15如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點，，點、點分別是、的中點，連接，，于點，交于點，，則線段的長為．【規(guī)范答題】法一：幾何圖解法設(shè)，點、點分別是、的中點，是的中位線，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，是等腰直角三角形，，連接，，，，，易得，，，中，由勾股定理得：，，或（舍，．故答案為：．法二：坐標(biāo)解析法。如圖，過做垂線，垂足