2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明課時(shí)作業(yè)142.1.1合情推理含解析新人教A版選修2-2

PAGEPAGE2課時(shí)作業(yè)14合情推理時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．由數(shù)列2,20,200,2000，…，揣測該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是(B)A．2×10n B．2×10n－1C．2×10n＋1 D．2×10n－22．?dāng)?shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)…，的一個(gè)通項(xiàng)公式是(B)A．a(chǎn)n＝eq\r(3n－3) B．a(chǎn)n＝eq\r(3n－1)C．a(chǎn)n＝eq\r(3n＋1) D．a(chǎn)n＝eq\r(3n＋3)解析：方法一：因?yàn)閍1＝eq\r(3×1－1)，a2＝eq\r(3×2－1)，a3＝eq\r(3×3－1)，a4＝eq\r(3×4－1)，由此揣測an＝eq\r(3n－1)，方法二：由a1＝eq\r(2)可解除A、C、D，選B.3．下邊所示的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)覺的，稱為楊輝三角形，依據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，a所表示的數(shù)是(C)1121133114a4115101051A．2B．4C．6D．8解析：由楊輝三角形可以發(fā)覺：每一行除1外，每個(gè)數(shù)都是它肩膀上的兩數(shù)之和．故a＝3＋3＝6.4．類比平面正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，則在正四面體的下列性質(zhì)中，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?C)①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的隨意兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，隨意相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形．A．① B．①②C．①②③ D．③解析：由平面幾何與立體幾何的類比特點(diǎn)可知三條性質(zhì)都是恰當(dāng)?shù)模?．如圖，從所給的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇最合適的一個(gè)填入問號(hào)處，使之呈現(xiàn)肯定的規(guī)律性(A)解析：每一行圖中的黑點(diǎn)從右上角依次遞減一個(gè)．6．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為(D)A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1a2…a9＝2×9D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：等比數(shù)列中的積運(yùn)算類比等差數(shù)列中的和運(yùn)算，從而有a1＋a2＋…＋a9＝＝2×9.7．視察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72013的末兩位數(shù)字為(C)A．01B．43C．07D．49解析：因?yàn)?1＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，76＝117649，…，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4.又2013＝4×503＋1，所以72013的末兩位數(shù)字與71的末兩位數(shù)字相同，為07.8．將正整數(shù)排成下表：12345678910111213141516……則在表中數(shù)字2013出現(xiàn)在(D)A．第44行第78列B．第45行第78列C．第44行第77列D．第45行第77列解析：第n行有2n－1個(gè)數(shù)字，前n行的數(shù)字個(gè)數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2013<2025，∴2013在第45行．又2025－2013＝12，且第45行有2×45－1＝89個(gè)數(shù)字，∴2013在第89－12＝77列．二、填空題9．視察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.解析：視察等式，發(fā)覺等式左邊各指數(shù)冪的指數(shù)均為3，底數(shù)之和等于右邊指數(shù)冪的底數(shù)，右邊指數(shù)冪的指數(shù)為2，故猜想第五個(gè)等式應(yīng)為13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.10．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長比為12，則它們的體積比為18.解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).11．四個(gè)小動(dòng)物換座位，起先時(shí)鼠、猴、兔、貓分別坐在編號(hào)為1,2,3,4的位置上(如圖)，第1次前后排動(dòng)物互換座位，第2次左右列動(dòng)物互換座位，第3次前后排動(dòng)物互換座位，……這樣交替進(jìn)行下去，那么第2014次互換座位后，小兔的座位對應(yīng)的編號(hào)是2.解析：第4次左右列動(dòng)物互換座位后，鼠、猴、兔、貓分別坐在編號(hào)為1,2,3,4的位置上，即回到起先時(shí)的座位狀況，于是可知這樣交替進(jìn)行下去，呈現(xiàn)出周期為4的周期現(xiàn)象，又2014＝503×4＋2，故第2014次互換座位后的座位狀況就是第2次互換座位后的座位狀況，所以小兔的座位對應(yīng)的編號(hào)是2.三、解答題12．已知在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想an.解：(1)a2＝eq\f(3a1,a1＋3)＝eq\f(3×\f(1,2),\f(1,2)＋3)＝eq\f(3,7)＝eq\f(3,2＋5)，同理，a3＝eq\f(3a2,a2＋3)＝eq\f(3,8)＝eq\f(3,3＋5)，a4＝eq\f(3,9)＝eq\f(3,4＋5)，a5＝eq\f(3,10)＝eq\f(3,5＋5)，(2)猜想an＝eq\f(3,n＋5).13．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，視察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…依據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理歸納當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)的表達(dá)式．解：由已知可歸納如下：f1(x)＝eq\f(x,21－1x＋21)，f2(x)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…，fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).所以歸納得到當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).——實(shí)力提升類——14．《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年頭在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它事實(shí)上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈eq\f(2,75)L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為(B)A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)解析：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，由題意知eq\f(2,75)L2h＝eq\f(1,3)πr2h?eq\f(2,75)L2＝eq\f(1,3)πr2，而L＝2πr，代入得π＝eq\f(25,8).15.如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分別為α1，α2，α3，三側(cè)面△SBC，△SAC，△SAB的面積分別為S1，S2，S