2024-2025學年高中數(shù)學第四章三角恒等變換2.4積化和差與和差化積公式課后習題含解析北師大版必修第二冊

PAGE2.4積化和差與和差化積公式課后篇鞏固提升基礎達標練1.已知cosα-cosβ=12,sinα-sinβ=-13,則tanα+β解析因為cosα-cosβ=12所以-2sinα+β2因為sinα-sinβ=-13所以2cosα+β2sinα因為sinα-β2≠0,cos所以-tanα+β2即tanα+答案32.把tanx-tany化為積的形式為()A.cos(x-C.sin(x-解析tanx-tany=sin=sin=1=sin(答案C3.cos20°-cos50°=()A.cos35°cos15° B.sin35°sin15°C.2sin15°sin35° D.2sin15°cos35°解析cos20°-cos50°=-2sin20°+50=-2sin35°sin(-15°)=2sin15°sin35°.答案C4.sin220°+cos250°+sin20°cos50°=()A.-1 B.2 C.43 D.解析原式=-12[cos(20°+20°)-cos(20°-20°)]+12[cos(50°+50°)+cos(50°-50°)]+12(sin70°-=12(1-cos40°)+12(1+cos100°)+12(sin70°-=1-12cos40°+12cos100°+12sin70°-=34+12sin70°+12(cos100=34+12sin70°-=34+12sin70°-sin30°sin70答案D5.cos(x+2020)-cos(x-2020)=.

解析原式=-2sinx+2020+x=-2sinxsin2024.答案-2sinxsin20206.cos37.5°cos22.5°=.

解析cos37.5°cos22.5°=12(cos60°+cos15°=14+12cos15答案2+7.cos15°cos60°cos75°=.

解析原式=12cos15°cos75=14[cos90°+cos(-60°)]=1答案18.求值:sin42°-cos12°+sin54°.解原式=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=sin54°-sin18°=2cos36°sin18°=2×2cos36=2cos36=2sin36=sin72°9.求證:2cos20°+2sin20°-12cos20證明左邊=2cos20=sin45=sin5=sin5=sin5=sin5=cos15°sin15°所以原等式成立.實力提升練1.已知sin(α+β)sin(β-α)=m,則cos2α-cos2βA.-m B.mC.-4m D.4m解析sin(α+β)=sin(β-α)=cos2α-答案B2.在△ABC中,若sinAsinB=12(1+cosC),則△ABC是(A.等邊三角形 B.等腰三角形C.不等邊三角形 D.直角三角形解析由已知得sinAsinB=-12[cos(A+B)-cos(A-B)]=12(1+cosC又A+B=π-C,所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cosC.所以cos(A-B)=1.又-π<A-B<π,所以A-B=0.所以A=B,故△ABC為等腰三角形.答案B3.cos(x+3)-cos(x-3)+sin(x+3)-sin(x-3)=()A.2cos3cosx-π4B.22sin3cosx-π4C.-22sin3sinx+π4D.-22sin3sinx-π4解析原式=-2sinx+3+x-32sinx+3-(x-3)2+2cosx+3+x-32sinx+3-(x-3)答案D4.若sinα+sinβ=33(cosβ-cosα),且α∈(0,π),β∈(0,π),則tanα-β2=;α-β解析由已知得2sinα+β2cosα-β2=33·-2sinα+β2sinβ-α2,因為0<α+β2<π,所以α-β=2π答案35.cos80°+2cos40°sin80解析cos80=2cos60=2cos30°答案36.計算:sin20°cos70°+sin10°sin50°.解sin20°cos70°+sin10°sin50°==12[sin(20°+70°)+sin(20°-70°)]-12[cos(10°+50°)-cos(10°-50=12(sin90°-sin50°)-12(cos60°-cos40=12-12sin50°=12-12sin50°-147.已知向量a=(sinB,1-cosB)與向量b=(2,0)的夾角為π3,其中A,B,C是△ABC的內(nèi)角(1)求B的大小;(2)求sinA+sinC的取值范圍.解(1)由題意,得|a|=sin|b|=2,a·b=2sinB.由夾角公式,得cosπ3整理得2sin2B+cosB-1=0,即2cos2B-cosB-1=0.所以cosB=1(舍去)或cosB=-12又因為0<B<π,所以B=2π(2)因為A+B+C=π,B=2π3,所以A+C=所以-π3<A-C<π3.所以-所以sinA+sinC=2sinA+C=2sinπ6cosA-C2所以sinA+sinC的取值范圍是32,1.素養(yǎng)培優(yōu)練1.2cos2x+π3sin2x-π3=()A.12+cos4x B.12-C.32+cos4x D.32+解析2cos2x+π3sin2x-π3=sin2x+π3+2x-π3-sin2x+π3-2x-π3=sin4x+sin2π3=32+sin4x.答案D2.已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C滿意A+C=2B,1cosA+1cosC=-2解由題設條件知B=60°,A+C=120°,所以1cosA+1即cosA+cosC=-22cosAcosC,則2cosA+C2cosA-C2=-2[cos(A+C)+cos(A-C)],將cosA+C2=cos60°=12,cos(A+C)=cos120°因為cos(A-C)=