2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.2函數(shù)的單調(diào)性第2課時(shí)學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊(cè)

3.1.2函數(shù)的單調(diào)性第2課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解斜率的含義及平均改變率的概念.2.駕馭推斷函數(shù)單調(diào)性的充要條件.自主預(yù)習(xí)閱讀課本第97頁~101頁”2.函數(shù)的平均改變率”,并完成下列問題(1)完成課本這一部分的填空題目.(2)思索課本第98頁“嘗試與發(fā)覺”.(3)直線斜率.(4)平均改變率.(5)平均改變率與函數(shù)單調(diào)性.課堂探究問題探究任務(wù)一閱讀課本第97頁~101頁完成下列問題.1.直線的斜率定義.2.函數(shù)平均改變率.3.函數(shù)單調(diào)性的充要條件.4.平均改變率的物理意義.任務(wù)二簡潔應(yīng)用例1利用平均改變率證明函數(shù)f(x)=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù)例2推斷直線y=kx+b(k≠0)的單調(diào)性.要點(diǎn)歸納一次函數(shù)單調(diào)性與k的關(guān)系:例3證明函數(shù)f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是減函數(shù),在[-1,+∞)上是增函數(shù).要點(diǎn)歸納二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性.評(píng)價(jià)反饋1.(多選題)若函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),則下列關(guān)系式不恒成立的是()A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a2)2.一高為H、滿缸水量為V的魚缸截面如圖所示,其底部破了一個(gè)小洞,滿缸水從洞中流出.若魚缸水深為h時(shí)的水的體積為v,則函數(shù)v=f(h)的大致圖像可能是圖中的()課后作業(yè)課本第102頁第6題,第103頁B組第1,2題核心素養(yǎng)專練函數(shù)f(x)=3x2-6x+1,x∈[0,3]的最大值是,最小值是.

參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究任務(wù)一略任務(wù)二簡潔應(yīng)用例1解:設(shè)x1≠x2,那么ΔyΔx假如x1,x2∈(-∞,0),則x1x2>0,此時(shí)ΔyΔx<0,所以函數(shù)在(-∞,0)上是減函數(shù),同理函數(shù)在(0,+∞例2解:設(shè)x1≠x2,那么ΔyΔx因此一次函數(shù)的單調(diào)性取決于k的符號(hào).當(dāng)k>0時(shí)一次函數(shù)在R上是增函數(shù);當(dāng)k<0時(shí)一次函數(shù)在R上是減函數(shù).要點(diǎn)歸納略例3證明:設(shè)x1≠x2,則ΔfΔx=x22+2x因此當(dāng)x1,x2∈(-∞,-1]時(shí),x2+x1+2<0,從而ΔfΔx<0,因此函數(shù)在(-∞,-1因此當(dāng)x1,x2∈[-1,+∞)時(shí),x2+x1+2>0,從而ΔfΔx>0,因此函數(shù)在[-1,+∞要點(diǎn)歸納略評(píng)價(jià)反饋1.ABC2.B核心素養(yǎng)專練10-2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)的平均改變率,理解函數(shù)單調(diào)性與平均改變率的關(guān)系.2.會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的充要條件證明簡潔函數(shù)的單調(diào)性.在運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性充要條件過程中,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).3.會(huì)依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解決一些實(shí)際問題,提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)1.函數(shù)的平均改變率一般地,當(dāng)x1≠x2時(shí),稱ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2](x1<x2時(shí))或2.函數(shù)單調(diào)遞增、遞減的充要條件一般地,若I是函數(shù)y=f(x)的定義域的子集,對(duì)隨意x1,x2∈I且x1≠x2,記y1=f(x1),y2=f(x2),ΔyΔx=y(1)y=f(x)在I上是增函數(shù)的充要條件是在I上恒成立;

(2)y=f(x)在I上是減函數(shù)的充要條件是在I上恒成立.

課前檢測推斷.1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)滿意Δy=kΔx.()2.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均改變率ΔyΔx=y13.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖像上一點(diǎn)(-1,-2)及鄰近一點(diǎn)(-1+Δx,-2+Δy),則ΔyΔx=A.3 B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2 D.3-Δx新課導(dǎo)入科考隊(duì)對(duì)“早穿棉襖午穿紗,圍著火爐吃西瓜”這一獨(dú)特的沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)考察,如圖是某天氣溫隨時(shí)間的改變曲線.請(qǐng)依據(jù)曲線圖思索下列問題:問題1在區(qū)間[6,17]對(duì)應(yīng)的曲線上任取不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),ΔyΔx=y問題2假如在區(qū)間[2,10]對(duì)應(yīng)的曲線上任取不同兩點(diǎn)C(x3,y3),D(x4,y4),ΔyΔx=y合作如下圖所示,視察函數(shù)圖像上隨意兩點(diǎn)連線的斜率的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系,并總結(jié)出一般規(guī)律.(1)(2)函數(shù)單調(diào)遞增的充要條件是其圖像上隨意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0,函數(shù)單調(diào)遞減的充要條件是其圖像上隨意兩點(diǎn)連線的斜率都小于0.課堂探究題型一函數(shù)單調(diào)遞增、遞減充要條件的應(yīng)用例1證明函數(shù)f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是減函數(shù),在[-1,+∞)上是增函數(shù),并求出這個(gè)函數(shù)的最值.引申推斷二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性,并求出相應(yīng)的最值.跟蹤訓(xùn)練1證明f(x)=x是定義域上的增函數(shù).題型二利用單調(diào)性解求參數(shù)范圍例2(1)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),試比較f(a2-a+1)與f34的大小(2)已知函數(shù)f(x)=1x,x≥10,kx+1,x<10,跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)=-x2+2ax(x≤1),(2a-1)x-3a+6(x>1)滿意:對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x1≠x2,都有(A.12,1C.[1,2] D.[1,+∞)(2)已知g(x)是定義在[-2,1]上的減函數(shù),且g(t-1)>g(1-3t),求t的取值范圍.題型三實(shí)際應(yīng)用例3某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家依據(jù)以往的銷售閱歷得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái)),其總成本為G(x)(萬元),其中固定成本為2.8萬元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本).銷售收入R(x)(萬元)滿意:R(x)=-0.4x2+4.2x(1)寫出利潤函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤=銷售收入-總成本).(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí),可使盈利最多?課堂練習(xí)1.向一個(gè)圓臺(tái)形的容器(如圖所示)中倒水,且隨意相等的時(shí)間間隔內(nèi)所倒的水體積相等,記容器內(nèi)水面的高度y隨時(shí)間t改變的函數(shù)為y=f(t),則以下函數(shù)圖像中,可能是y=f(t)的圖像的是()2.已知函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在[5,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(-∞,40) B.(-∞,40]C.(40,+∞) D.[40,+∞)3.已知函數(shù)f(x)=2x(1)證明函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上是減函數(shù);(2)求x∈[0,3]時(shí),函數(shù)f(x)的值域.核心素養(yǎng)專練A組1.f(x)對(duì)隨意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a,b,總有f(a)-f(b)A.函數(shù)f(x)先增后減B.函數(shù)f(x)先減后增C.函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)D.函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)2.一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s=3+t2,則在一小段時(shí)間[2,2.1]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為()A.0.41 B.3 C.4 D.4.13.已知函數(shù)f(x)=2x-3,當(dāng)x≥1時(shí),恒有f(x)≥m成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.R B.(-∞,-1]C.[-1,+∞) D.?4.已知函數(shù)f(x)=x+7,-1≤x<1,2A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不對(duì)5.已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上單調(diào)遞減,在[-2,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)在[1,2]上的值域?yàn)?

6.f(x)是定義在[0,+∞)上的減函數(shù),則不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是.

7.甲、乙兩廠污水的排放量W與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示,試指出哪一個(gè)廠治污效果較好?B組設(shè)函數(shù)f(x)=ax-1x+1,其中(1)若a=1,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,3],求f(x)的最大值和最小值;(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),求使函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)的a的取值范圍.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究題型一函數(shù)單調(diào)遞增、遞減充要條件的應(yīng)用例1證明:設(shè)x1≠x2,則ΔfΔx=f(x2)-f(因此:當(dāng)x1,x2∈(-∞,-1]時(shí),有x1+x2<-2,從而ΔfΔx<0,因此f(x)在(-∞,-1當(dāng)x1,x2∈[-1,+∞)時(shí),有x1+x2>-2,從而ΔfΔx>0,因此f(x)在[-1,+∞由函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)沒有最大值;而且,當(dāng)x∈(-∞,-1]時(shí),有f(x)≥f(-1),當(dāng)x∈[-1,+∞)時(shí),不等式也成立,因此f(-1)=-1是函數(shù)的最小值.引申用類似的方法可以證明,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性為:(1)當(dāng)a>0時(shí),f(x)在-∞,-b2a上單調(diào)遞減,在-b2a,+(2)當(dāng)a<0時(shí),f(x)在-∞,-b2a上單調(diào)遞增,在-b2a,+跟蹤訓(xùn)練1證明:函數(shù)f(x)=x的定義域?yàn)閇0,+∞),設(shè)?x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,則ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1=x2-x1x2題型二利用單調(diào)性求參數(shù)范圍例2解:(1)由a2-a+1=a-122+34≥34當(dāng)a=12時(shí)取等號(hào),而函數(shù)所以f(a2-a+1)≤f34(2)若f(x)=1x,x≥則k<0,10k跟蹤訓(xùn)練2(1)C(2)解:因?yàn)間(x)是定義在[-2,1]上的減函數(shù),且g(t-1)>g(1-3t).所以-2≤t-1≤1,故t的取值范圍為0≤t<12題型三實(shí)際應(yīng)用例3解:(1)由題意得G(x)=2.8+x,所以f(x)=R(x)-G(x)=-(2)當(dāng)x>5時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)<f(5)=3.2(萬元),當(dāng)0≤x≤5時(shí),函數(shù)f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,當(dāng)x=4時(shí),f(x)有最大值為3.6萬元,所以當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)產(chǎn)品時(shí),可使盈利最大為3.6萬元.課堂練習(xí)1.D2.B3.(1)證明:設(shè)隨意x1,x2∈(-1,+∞)且x1≠x2,則ΔfΔx=f(x∵x1>-1,x2>-1,∴x1+1>0,x2+1>0,∴-2(x1+1)(x2∴函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上是減函數(shù).(2)解:由(1)的證明知,函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上是減函數(shù).∵[0,3]?(-1,+∞),∴函數(shù)f(x)在[0,3]上是減函數(shù).∴函數(shù)f(x)在[0,3]上的最大值是f(0)=2,最小值是f(3)=12.∴函數(shù)f(x)在[0,3]上的值域是1核心素養(yǎng)專練A組1.C2.D3.B4.A5.[21,49]6.87.解:在t0處,雖然W1(t0)=W2(t0),但W1(t即W1(t所以,在相同時(shí)間Δt內(nèi),甲廠比乙廠的平均治污率小.所以乙廠治污效果較好.B組解:f(x)=ax-1x+1=(1)當(dāng)a=1時(shí),