2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.2等差數(shù)列的性質(zhì)課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE4課時(shí)作業(yè)10等差數(shù)列的性質(zhì)時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于(A)A．8B．4C．6D．12解析：因?yàn)閍3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.2．由公差d≠0的等差數(shù)列a1，a2，…，an，…組成一個數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列說法正確的是(C)A．該新數(shù)列不是等差數(shù)列B．是公差為d的等差數(shù)列C．是公差為2d的等差數(shù)列D．是公差為3d的等差數(shù)列解析：∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，∴數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差為2d的等差數(shù)列．3．等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋a3＝9，a1＋a2＋…＋a6＝36，則a7＋a8＋a9＝(B)A．63B．45C．36D．27解析：由{an}是等差數(shù)列，得a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9也成等差數(shù)列．又a4＋a5＋a6＝36－9＝27，故新的公差為18，所以a7＋a8＋a9＝27＋18＝45.4．已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，a7＝4a3，則a4＋a10＝(B)A．16B．32C．20D．40解析：由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，得5a3＝20，所以a3＝4，所以a7＝16，所以a4＋a10＝2a7＝32.5．已知等差數(shù)列{an}滿意a1＋a2＋…＋a101＝0，則有(D)A．a(chǎn)1＋a101>0B．a(chǎn)2＋a100<0C．a(chǎn)3＋a100<0D．a(chǎn)51＝0解析：依題意，由a1＋a2＋…＋a101＝0，得50(a1＋a101)＋a51＝0，所以101a51＝0，所以a51＝0.6．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣的一道題，大意是：把120個面包分成5份，使每份的面包個數(shù)成等差數(shù)列，且較多的3份之和恰好是較少的2份之和的7倍，則最少的那份面包個數(shù)為(C)A．4B．3C．2D．1解析：設(shè)這5份面包的個數(shù)從小到大分別為a1，a2，…，a5，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋…＋a5＝120，,a3＋a4＋a5＝7a1＋a2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a3＝120，,3a4＝7a1＋a2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝24，,3a1＋3d＝72a1＋d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝11.))二、填空題7．等差數(shù)列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d＝－6.解析：由題意知d＝eq\f(a8－a3,8－3)＝eq\f(－30,5)＝－6.8．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝60，則a36＋b36＝400.解析：∵數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，∴數(shù)列{an＋bn}為等差數(shù)列．又a1＝15，b1＝35，∴a1＋b1＝50，又∵a2＋b2＝60，∴數(shù)列{an＋bn}的公差為10，∴a36＋b36＝50＋35×10＝400.9．已知中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2017，則該數(shù)列的首項(xiàng)為3.解析：設(shè)等差數(shù)列為{am}，若這組數(shù)有(2m＋1)個，則am＋1＝1010，a2m＋1＝2017.又a1＋a2m＋1＝2am＋1，即a1＋2017＝2×1010，所以a1＝3，若這組數(shù)有2m個，則am＋am＋1＝1010×2＝2020，a2m＝2017.又a1＋a2m＝am＋am＋1，即a1＋2017＝2020，所以a1＝3.綜上，該數(shù)列的首項(xiàng)為3.三、解答題10．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.解：(方法一)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，a15為首項(xiàng)，則a60為其第4項(xiàng)．∴a60＝a15＋3d，得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.(方法二)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))故a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.11．某公司2024年生產(chǎn)一種數(shù)碼產(chǎn)品，獲利200萬元，從2024年起，預(yù)料其利潤每年比上一年削減20萬元，根據(jù)這一規(guī)律，假如該公司不研發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，試計(jì)算從哪一年起，該公司生產(chǎn)這一產(chǎn)品將出現(xiàn)虧損？解：記2024年為第1年，由題設(shè)可知第1年獲利200萬元，第2年獲利180萬元，第3年獲利160萬元，……則該公司每年獲得的利潤構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且當(dāng)an<0時(shí)，該公司生產(chǎn)此產(chǎn)品將出現(xiàn)虧損．設(shè)第n年的利潤為an，因?yàn)閍1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.由題意知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，令an<0，即220－20n<0，解得n>11，即從第12年起，也就是從2028年起先，該公司生產(chǎn)此產(chǎn)品將出現(xiàn)虧損．——實(shí)力提升類——12．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，則(C)A．d<0 B．d>0C．a(chǎn)1d<0 D．a(chǎn)1d>0解析：∵數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，∴2a1an>2a1an＋1，n∈N*.∴a1an>a1an＋1.∴a1(an＋1－an)<0.∵數(shù)列{an}為公差為d的等差數(shù)列，∴a1d<0.故選C.13．已知函數(shù)f(x)＝2x，等差數(shù)列{an}的公差d＝2，若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，則log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝－6.解析：∵f(x)＝2x，f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，∴2a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝4，∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2.又{an}的公差為2，∴a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－5d＝－8，∴a1＋a2＋…＋a9＋a10＝－6，∴l(xiāng)og2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝log22a1＋a2＋…＋a9＋a10＝log22－6＝－6.14．假如有窮數(shù)列a1，a2，…，am(m為正整數(shù))滿意條件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，則稱其為“對稱”數(shù)列．例如數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,4,8都是“對稱”數(shù)列．已知在21項(xiàng)的“對稱”數(shù)列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則c2＝19.解析：因?yàn)閏11，c12，…，c21是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又{cn}為21項(xiàng)的對稱數(shù)列，所以c2＝c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.15．已知無窮等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，公差d＝－5，依次取出序號能被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求{bn}的通項(xiàng)公式；(3){bn}中的第503項(xiàng)是{an}中的第幾項(xiàng)？解：數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的一個子數(shù)列，其序號構(gòu)成以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．由于{an}是等差數(shù)列，則{bn}也是等差數(shù)列．(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.數(shù)列{an}中序號被4除余3的項(xiàng)是{an}中的第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng)，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)設(shè){an}中的第m項(xiàng)是{bn}