2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章概率課時(shí)作業(yè)82.3條件概率與獨(dú)立事件含解析北師大版選修2-3

課時(shí)作業(yè)8條件概率與獨(dú)立事務(wù)時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．拋擲一顆骰子一次，A表示事務(wù)：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B表示事務(wù)：“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”，則事務(wù)A與B的關(guān)系是(B)A．相互互斥事務(wù)B．相互獨(dú)立事務(wù)C．既相互互斥又相互獨(dú)立事務(wù)D．既不互斥又不獨(dú)立事務(wù)解析：A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，A∩B＝{6}，所以P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，所以A與B是相互獨(dú)立事務(wù)．2．設(shè)A，B為兩個(gè)事務(wù)，若事務(wù)A和B同時(shí)發(fā)生的概率為eq\f(3,10)，在事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則事務(wù)A發(fā)生的概率為(B)A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,10)解析：由題意知：P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，∴P(A)＝eq\f(PAB,PB|A)＝eq\f(\f(3,10),\f(1,2))＝eq\f(3,5).3．兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為(B)A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：設(shè)事務(wù)A：“一個(gè)實(shí)習(xí)生加工出一等品”，事務(wù)B：“另一個(gè)實(shí)習(xí)生加工出一等品”，由于A、B相互獨(dú)立，則恰有一個(gè)一等品的概率P＝P(A∩eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)∩B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).4．從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事務(wù)A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事務(wù)B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝(B)A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：∵P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,4).5．假日期間，甲去黃山的概率是eq\f(1,4)，乙去黃山的概率是eq\f(1,5)，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么在假日期間甲、乙兩人至少有一人去黃山的概率是(C)A.eq\f(3,20) B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(9,20)解析：設(shè)甲、乙去黃山分別為事務(wù)A、B，則P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,5)，∴P(至少有一人去黃山)＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5).6．某校三位學(xué)生參與省實(shí)行的數(shù)學(xué)團(tuán)體競(jìng)賽，對(duì)于其中一題，他們各自解出的概率分別是eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，則此題能解出的概率是(D)A.eq\f(1,60) B.eq\f(3,20)C.eq\f(13,30) D.eq\f(3,5)解析：因?yàn)樗麄兏髯越獬龅母怕史謩e是eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，所以此題不能解出的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(2,5)，則此題能解出的概率為1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).7．試驗(yàn)女排和育才女排兩隊(duì)進(jìn)行競(jìng)賽，在一局競(jìng)賽中試驗(yàn)女排獲勝的概率是eq\f(2,3)，沒有平局．若采納三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且競(jìng)賽結(jié)束，則試驗(yàn)女排獲勝的概率等于(B)A.eq\f(4,9) B.eq\f(20,27)C.eq\f(8,27) D.eq\f(16,27)解析：試驗(yàn)女排要獲勝必需贏得其中兩局，可以是1,2局，可以是1,3局，也可以是2,3局，故試驗(yàn)女排獲勝的概率p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(20,27).8．已知每門大炮射擊一次擊中目標(biāo)的概率是0.3，現(xiàn)用n門這樣的大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)射擊一次，若要使目標(biāo)被擊中的概率超過95%，則n的最小整數(shù)值為(B)A．8 B．9C．10 D．11解析：把每門大炮射擊一次看成做了一次試驗(yàn)，擊中目標(biāo)看成試驗(yàn)勝利，則試驗(yàn)勝利的概率為0.3，用X表示這n門大炮擊中目標(biāo)的次數(shù)．事務(wù)“目標(biāo)被擊中”即{X>0}，則“目標(biāo)被擊中”的概率為P(X>0)＝1－P(X＝0)＝1－(1－0.3)n.為使目標(biāo)被擊中的概率超過95%，則有1－(1－0.3)n>95%，解得n>8.4.依據(jù)實(shí)際意義，至少要用9門這樣的大炮才能使目標(biāo)被擊中的概率超過95%，即n的最小整數(shù)值為9.二、填空題9．拋擲一枚骰子，視察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，A＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}＝{1,3,5}，B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3}＝{1,2,3}．若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為eq\f(2,3).解析：由題意知P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故在出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3的條件下，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(2,3).10．從編號(hào)為1,2，…，10的10個(gè)大小相同的球中任取4個(gè)，已知選出4號(hào)球的條件下，選出球的最大號(hào)碼為6的概率為eq\f(1,14).解析：令事務(wù)A＝{選出的4個(gè)球中含4號(hào)球}，B＝{選出的4個(gè)球中最大號(hào)碼為6}，依題意可知n(A)＝Ceq\o\al(3,9)＝84，n(AB)＝Ceq\o\al(2,4)＝6，∴P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(6,84)＝eq\f(1,14).11．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事務(wù)；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事務(wù)，則下列結(jié)論中正確的是②④(寫出全部正確結(jié)論的編號(hào))．①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③事務(wù)B與事務(wù)A1相互獨(dú)立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事務(wù)；⑤P(B)的值不能確定，因?yàn)樗cA1，A2，A3中原委哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)．解析：P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq\f(5×5,10×11)＋eq\f(2×4,10×11)＋eq\f(3×4,10×11)＝eq\f(9,22)，故①⑤錯(cuò)誤；②P(B|A1)＝eq\f(\f(5×5,10×11),\f(1,2))＝eq\f(5,11)，正確；③事務(wù)B與A1的發(fā)生有關(guān)系，故錯(cuò)誤；④A1，A2，A3不行能同時(shí)發(fā)生，是互斥事務(wù)．三、解答題12．甲、乙兩人各射擊一次，假如兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，求：(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；(2)恰有1人擊中目標(biāo)的概率；(3)至少有1人擊中目標(biāo)的概率；(4)至多有1人擊中目標(biāo)的概率．解：設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事務(wù)A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事務(wù)B.因?yàn)槭聞?wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立，所以A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨(dú)立，且P(A)＝P(B)＝0.6，P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))＝0.4.(1)兩人都擊中目標(biāo)是事務(wù)A與事務(wù)B同時(shí)發(fā)生，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.6＝0.36.(2)恰有1人擊中目標(biāo)的含義為：“甲擊中目標(biāo)、乙未擊中目標(biāo)”或“乙擊中目標(biāo)、甲未擊中目標(biāo)”，即事務(wù)Aeq\x\to(B)或事務(wù)eq\x\to(A)B發(fā)生．由于兩人各射擊一次，事務(wù)Aeq\x\to(B)和事務(wù)eq\x\to(A)B不行能同時(shí)發(fā)生，因此事務(wù)Aeq\x\to(B)和事務(wù)eq\x\to(A)B是互斥事務(wù)，所以恰有1人擊中目標(biāo)的概率為P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝0.6×0.4×2＝0.48.(3)至少有1人擊中目標(biāo)，即事務(wù)Aeq\x\to(B)或事務(wù)eq\x\to(A)B或事務(wù)AB發(fā)生，由于兩人各射擊一次，事務(wù)Aeq\x\to(B)、事務(wù)eq\x\to(A)B、事務(wù)AB不行能同時(shí)發(fā)生，為互斥事務(wù)，所以至少有1人擊中目標(biāo)的概率為P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝0.36＋0.48＝0.84.(4)方法一：至多有1人擊中目標(biāo)，即事務(wù)Aeq\x\to(B)或事務(wù)eq\x\to(A)B或事務(wù)eq\x\to(A)eq\x\to(B)發(fā)生，由于兩人各射擊一次，事務(wù)Aeq\x\to(B)、事務(wù)eq\x\to(A)B、事務(wù)eq\x\to(A)eq\x\to(B)不行能同時(shí)發(fā)生，為互斥事務(wù)，所以至多有1人擊中目標(biāo)的概率為P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＋P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＋0.48＝0.4×0.4＋0.48＝0.64.方法二：“至多有1人擊中目標(biāo)”的對(duì)立事務(wù)為“兩人都沒有擊中目標(biāo)”，所以至多有1人擊中目標(biāo)的概率為1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.6×0.6＝1－0.36＝0.64.13．一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，那么(1)先摸出1個(gè)白球不放回，再摸出1個(gè)白球的概率是多少？(2)先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率是多少？解：(1)設(shè)“先摸出1個(gè)白球不放回”為事務(wù)A，“再摸出1個(gè)白球”為事務(wù)B，則“先后兩次摸到白球”為AB，先摸一球不放回，再摸一球共有4×3種結(jié)果，∴P(A)＝eq\f(2×3,4×3)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2×1,4×3)＝eq\f(1,6).∴P(B|A)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).∴先摸1個(gè)白球不放回，再摸出1個(gè)白球的概率為eq\f(1,3).(2)設(shè)“先摸出一個(gè)白球放回”為事務(wù)A1，“再摸出一個(gè)白球”為事務(wù)B1，兩次都摸到白球?yàn)槭聞?wù)A1B1，P(A1)＝eq\f(2×4,4×4)＝eq\f(1,2)，P(A1B1)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，∴P(B1|A1)＝eq\f(PA1B1,PA1)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).∴先摸一個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率為eq\f(1,2).——實(shí)力提升類——14．在一場(chǎng)五局三勝制的乒乓球?qū)官愔?，?dāng)甲運(yùn)動(dòng)員先勝兩局時(shí)，競(jìng)賽因故中斷．已知甲、乙水平相當(dāng)，每局兩人獲勝的概率都為eq\f(1,2)，則這場(chǎng)競(jìng)賽的獎(jiǎng)金安排(甲乙)應(yīng)為(B)A．61 B．71C．31 D．41解析：獎(jiǎng)金安排比即為甲、乙取勝的概率比．甲前兩局已勝，甲勝有三種狀況：①甲第三局勝為A1，P(A1)＝eq\f(1,2)；②甲第三局負(fù)、第四局勝為A2，P(A2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；③甲第三局、第四局負(fù)，第五局勝為A3，P(A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).所以甲勝的概率P＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(7,8)，則乙勝的概率為eq\f(1,8).故選B.15．乒乓球競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：一局競(jìng)賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換．每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分．設(shè)在甲、乙的競(jìng)賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的輸贏結(jié)果相互獨(dú)立．甲、乙在一局競(jìng)賽中，甲先發(fā)球．(1)求起先第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率；(2)求起先第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先的概率．解：記Ai表示事務(wù)：第1次和第2次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i＝0,1,2；Bi表示事務(wù)：第3次和第4次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i＝0,1,2；A表示事務(wù)：第3次發(fā)球，甲得1分；B表示事務(wù)：起先第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2；C表示事務(wù)：起先第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先．(1)B＝A0·A＋A1·eq\x\to(A)，P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，P(B)＝P(A0·A＋A1·eq\x\to(A))＝P(