《備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)》課時(shí)作業(yè)-第八章-第1節(jié)-直線與方程

第1節(jié)直線與方程知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練直線的傾斜角與斜率1,2直線方程5,8,9兩條直線的位置關(guān)系3,4,61115距離問題710,12,14對稱問題131.直線x+3y+1=0的傾斜角是(D)A.π6 B.πC.2π3 D.解析:由直線的方程得直線的斜率為k=-33設(shè)傾斜角為α,則tanα=-33又α∈[0,π),所以α=5π6故選D.2.若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共線,則a等于(A)A.1±2或0 B.2-C.2±52 D.解析:由題意知kAB=kAC,即a2+a即a(a2-2a-1)=0,解得a=0或a=1±2.故選A.3.在同一平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:ax+y+b=0和直線l2:bx+y+a=0有可能是(B)解析:由題意l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,當(dāng)a>0,b>0時(shí),-a<0,-b<0.選項(xiàng)B符合.故選B.4.(2021·福建漳州高三模擬)已知a2-3a+2=0,則直線l1:ax+(3-a)y-a=0和直線l2:(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的位置關(guān)系為(D)A.垂直或平行 B.垂直或相交C.平行或相交 D.垂直或重合解析:因?yàn)閍2-3a+2=0,所以a=1或a=2.當(dāng)a=1時(shí),l1:x+2y-1=0,l2:4x-2y-3=0,k1=-12,k2所以k1·k2=-1,則兩直線垂直;當(dāng)a=2時(shí),l1:2x+y-2=0,l2:2x+y-2=0,則兩直線重合.故選D.5.若直線xa+yA.2 B.3 C.4 D.5解析:將(1,1)代入直線xa+y得1a+1故a+b=(a+b)(1a+1b)=2+ba6.(多選題)(2021·山東模擬)若三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能圍成三角形,則(ABC)A.a=1 B.a=-1C.a=-2 D.a=2解析:①當(dāng)a=1時(shí),直線l1,l2,l3重合,不能構(gòu)成三角形,符合題意.②當(dāng)a≠1時(shí),若三條直線交于一點(diǎn),則也不能構(gòu)成三角形.由x+ay+1=0,x+y+a③三條直線中有兩條平行或重合,若l1和l3平行或重合,則a=1;若l2和l3平行或重合,則a=1;若l1和l2平行或重合,則-a=-1a,得a=±7.已知坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線l1:x-y+1=0的對稱點(diǎn)為A,設(shè)直線l2經(jīng)過點(diǎn)A,則當(dāng)點(diǎn)B(2,-1)到直線l2的距離最大時(shí),直線l2的方程為(B)A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0解析:設(shè)A(x0,y0),依題意可得x解得x0設(shè)點(diǎn)B(2,-1)到直線l2的距離為d,當(dāng)d=|AB|時(shí)取得最大值,此時(shí)直線l2垂直于直線AB.又-1kAB=所以直線l2的方程為y-1=32即3x-2y+5=0.故選B.8.已知直線l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,則直線l恒過定點(diǎn).

解析:直線l的方程變形為a(x+y)-2x+y+6=0,由x解得x=2,y=-2,所以直線l恒過定點(diǎn)(2,-2).答案:(2,-2)9.菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為A(-4,7),C(6,-5),BC邊所在直線過點(diǎn)P(8,-1).求:(1)AD邊所在直線的方程;(2)對角線BD所在直線的方程.解:(1)kBC=-5因?yàn)锳D∥BC,所以kAD=2.所以AD邊所在直線的方程為y-7=2(x+4),即2x-y+15=0.(2)kAC=-5-7因?yàn)榱庑蔚膶蔷€互相垂直,所以BD⊥AC,所以kBD=56因?yàn)锳C的中點(diǎn)(1,1),也是BD的中點(diǎn),所以對角線BD所在直線的方程為y-1=56即5x-6y+1=0.10.若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點(diǎn),則點(diǎn)(m,n)到原點(diǎn)的距離的最小值為(A)A.5 B.6 C.23 D.25解析:聯(lián)立y=2把(1,2)代入mx+ny+5=0得m+2n+5=0,即m=-5-2n.點(diǎn)(m,n)到原點(diǎn)距離d=m2+n2=(-5當(dāng)n=-2,m=-1時(shí)取“=”.故選A.11.與直線x-2y+3=0平行,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4的直線方程是.

解析:設(shè)所求直線方程為x-2y+λ=0,令x=0,得y=λ2;令y=0,得x=-λ,由題意得12×|λ2|·答案:x-2y±4=012.兩平行直線l1,l2分別過點(diǎn)P(-1,3),Q(2,-1),它們分別繞P,Q旋轉(zhuǎn),但始終保持平行,則l1,l2之間的距離的取值范圍是.

解析:因?yàn)閘1∥l2,且P∈l1,Q∈l2,所以l1,l2間的最大距離為|PQ|=[2又l1與l2不重合,所以l1,l2之間距離的取值范圍是(0,5].答案:(0,5]13.已知直線l:3x-y+3=0,求:(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對稱點(diǎn);(2)直線x-y-2=0關(guān)于直線l對稱的直線方程;(3)直線l關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱的直線方程.解:(1)設(shè)P(x,y)關(guān)于直線l:3x-y+3=0的對稱點(diǎn)為P′(x′,y′).因?yàn)閗PP′·kl=-1,即y'-又PP′的中點(diǎn)在直線3x-y+3=0上,所以3×x'+x由①②得x把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,所以點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(-2,7).(2)用③④分別代換x-y-2=0中的x,y,得關(guān)于l對稱的直線方程為-4x+3化簡得7x+y+22=0.(3)在直線l:3x-y+3=0上取點(diǎn)M(0,3),關(guān)于(1,2)的對稱點(diǎn)M′(x′,y′),所以x'+02所以M′(2,1).直線l關(guān)于點(diǎn)(1,2)的對稱直線平行于l,所以k=3,所以對稱直線方程為y-1=3×(x-2),即3x-y-5=0.14.已知點(diǎn)P(2,-1).(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程;(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程,并求出最大距離;(3)是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線?若存在,求出方程;若不存在,請說明理由.解:(1)過點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)的距離為2,而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-1),顯然,過點(diǎn)P(2,-1)且垂直于x軸的直線滿足條件,此時(shí)l的斜率不存在,其方程為x=2.若斜率存在,設(shè)l的方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知得|-2解得k=34此時(shí)直線l的方程為3x-4y-10=0.綜上可得直線l的方程為x=2或3x-4y-10=0.(2)作圖可得過點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過點(diǎn)P且與PO垂直的直線,如圖.由l⊥OP,得kl·kOP=-1,因?yàn)閗OP=-12所以kl=-1k由直線方程的點(diǎn)斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以直線2x-y-5=0是過點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線,最大距離為|-5|5(3)由(2)可知,過點(diǎn)P不存在到原點(diǎn)的距離超過5的直線,因此不存在過點(diǎn)P且到原點(diǎn)的距離為6的直線.15.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別在x軸與直線y=33(x+1)上從左向右依次取點(diǎn)Ak,Bk(k=1,2,…,其中A1是坐標(biāo)原點(diǎn)),使△AkBkAk+1是等邊三角形,則△A10B10A11的邊長是解析:直線y=33(x+1)的傾斜角為30°又△A1B1A2是等邊三角形,所以∠PB1A2=90°,所以等邊△A1B1A2的邊長為1,且A2B1∥A3B2∥…∥A10B9,A2B1與直線