黃金卷06（江蘇專用）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（解析版）

PAGE1試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2222頁(yè)【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】根據(jù)并集和補(bǔ)集的定義計(jì)算.【詳解】，.故選：A．2．已知，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因?yàn)?，所以，即．故選：A．3．已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C與交于A、B兩點(diǎn)（A．y2=23x B．y2【答案】B【分析】由AF=AD可得A點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得A點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可得直線l斜率，表示出直線l后，聯(lián)立曲線即可得【詳解】設(shè)Ax1,∴y1=由Ap,2∴l(xiāng)的方程為y由y=22x?p∴BF=x2+故選：B．4．已知函數(shù)，若在區(qū)間上的值域是，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，即可根據(jù)整體法求解.【詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，，要使在區(qū)間上的值域是，則，解得，故選：A5．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性求出時(shí)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，當(dāng)時(shí)，，，，則，，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率為2.故選：C．6．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算以及作差法，整理代數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，可得的大小關(guān)系；根據(jù)二項(xiàng)式定理以及中間執(zhí)法，整理，可得答案.【詳解】由，，則，令，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，即，故，可得，即；由，且，則，即.綜上，.故選：C．7．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，C．若acosC=2ccosA．3 B．32 C．32【答案】C【分析】根據(jù)題意，由余弦定理代入化簡(jiǎn)，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由余弦定理可知，cosC=由acosC=2ccos化簡(jiǎn)可得a2所以3a2=即bca當(dāng)且僅當(dāng)bc=3c所以bca2的最大值為故選：C8．直觀想象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，某位教師為了培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，在課堂上提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：現(xiàn)有10個(gè)直徑為4的小球，全部放進(jìn)棱長(zhǎng)為a的正四面體盒子中，則a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析10個(gè)小球在正四面體內(nèi)的位置情況，把正四面體的高用小球半徑與正四面體的棱長(zhǎng)表示，列等式即可求解.【詳解】我們先來(lái)證明如下引理：如下圖所示：

設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，面，，所以，，顯然為面的重心，所以，由勾股定理可得面,所以正四面體的高等于其棱長(zhǎng)的面倍.接下來(lái)我們來(lái)解決此題：如下圖所示：

10個(gè)直徑為4的小球放進(jìn)棱長(zhǎng)為a的正四面體中，成三棱錐形狀，有3層，則從上到下每層的小球個(gè)數(shù)依次為：1，，個(gè)，當(dāng)a取最小值時(shí)，從上到下每層放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個(gè)球都與正四面體底面相切，任意相鄰的兩個(gè)小球都外切，位于每層正三角狀頂點(diǎn)的所有上下相鄰小球的球心連線為一個(gè)正四面體，則該正四面體的棱長(zhǎng)為，可求得其高為，所以正四面體的高為，進(jìn)而可求得其棱長(zhǎng)a的最小值為．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)為：；乙組數(shù)據(jù)為：，若甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為，第百分位數(shù)為，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 B．乙組數(shù)據(jù)的極差為C．乙組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為 D．乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為【答案】ABC【分析】根據(jù)平均數(shù)、極差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)及百分位數(shù)的定義判斷即可.【詳解】不妨設(shè)甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，則乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為，第百分位數(shù)為，則，又，所以，所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；乙組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；乙組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故C正確；乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與的左支相交于兩點(diǎn)，若，且，則（

）A． B．C．雙曲線的漸近線方程為 D．直線的斜率為4【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的定義求得，，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】由，設(shè)，，由，得，則，，而，解得，因此，，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然，則，B正確；對(duì)于C，令，在中，由，得，則，，即，因此雙曲線的漸近線方程為，C正確；對(duì)于D，由，結(jié)合對(duì)稱性，圖中位置可互換，則直線的斜率為，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為，而雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為(即)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.11．在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)f(x)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α?(0<α≤90°)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱f(x)為“A．存在90°旋轉(zhuǎn)函數(shù)B．80°旋轉(zhuǎn)函數(shù)一定是70°旋轉(zhuǎn)函數(shù)C．若g(x)=ax+1x為45°D．若?(x)=bxex為【答案】ACD【分析】對(duì)A，舉例說(shuō)明即可；對(duì)B，舉反例判斷即可；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“α旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義逐個(gè)判斷即可；對(duì)CD，將45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與任意斜率為1的函數(shù)最多一個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立函數(shù)與直線的方程，分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷即可.【詳解】對(duì)A，如y=x滿足條件，故A正確；對(duì)B，如傾斜角為20°的直線是80°旋轉(zhuǎn)函數(shù)，不是70°旋轉(zhuǎn)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若g(x)=ax+1x為45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，g(x)=ax+1x逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，不存在與x軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個(gè)以上的交點(diǎn).故不存在傾斜角為45°的直線與g(x)=ax+1x的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).即y=x+bb∈當(dāng)a=1時(shí)，?bx+1=0最多1個(gè)解，滿足題意；當(dāng)a≠1時(shí)，a?1x2?bx+1=0的判別式Δ=b2?4對(duì)D，同C，?(x)=bxex與y=x+aa∈R的交點(diǎn)個(gè)數(shù)小于等于1，即對(duì)任意的a，a=又g'1=?1，故b即y=ex圖象在y=?bx?1上方，故?b≥0當(dāng)y=ex與y=?bx?1相切時(shí)，可設(shè)切點(diǎn)x0,ex0，對(duì)y=ex求導(dǎo)有故選：ACD第II卷（非選擇題）填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若向量，滿足，，，則．【解析】由題意，可得，因?yàn)椋?，所以，所以．故答案為：?3.已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則的大小關(guān)系是．【答案】【分析】根據(jù)條件判斷出在上是增函數(shù)，進(jìn)而利用單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù).因?yàn)?，所以，即，所?故答案為：.14.將“用一條線段聯(lián)結(jié)兩個(gè)點(diǎn)”稱為一次操作，把操作得到的線段稱為“邊”．若單位圓上n個(gè)顏色不相同且位置固定的點(diǎn)經(jīng)過(guò)k次操作后，從任意一點(diǎn)出發(fā)，沿著邊可以到達(dá)其他任意點(diǎn)，就稱這n個(gè)點(diǎn)和k條邊所構(gòu)成的圖形滿足“條件T”，并將所有滿足“條件T”的圖形個(gè)數(shù)記為T(n,k)，則T(5,4)=．【答案】125【分析】利用新定義，結(jié)合排列組合，分情況討論即可.【詳解】T5,4，即n=5，k=4情形1：有3個(gè)點(diǎn)是2條邊的端點(diǎn)，另2個(gè)點(diǎn)是1條邊的端點(diǎn)，有A5情形2：有1個(gè)點(diǎn)是3條邊的端點(diǎn)，有1個(gè)點(diǎn)是2條邊的端點(diǎn)，另3個(gè)點(diǎn)是1條邊的端點(diǎn)，有A5情形3：有1個(gè)點(diǎn)是4條邊的端點(diǎn)，另4個(gè)點(diǎn)是1條邊的端點(diǎn)，共有C5綜上：T5,4故答案為：125【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于特殊類型的排列問(wèn)題，注意根據(jù)問(wèn)題的特征將其轉(zhuǎn)化等價(jià)的排列問(wèn)題，而后者容易計(jì)數(shù).四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，即，解得或（舍去），所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知：，則，所以.16．（15分）如圖所示，在正方形中，將沿折起至.(1)求證：；(2)記二面角的大小為.當(dāng)時(shí)，求異面直線和所成角的余弦值的范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線線垂直證平面，再證；（2）由向量法求異面直線夾角.【詳解】（1）連接正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫危?由翻折不變性可知.又因?yàn)?，平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?（2）由（1）可知為二面角的平面角，即.法1（坐標(biāo)法）：如圖，以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，垂直于平面且向上為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，，，則，.所以，因?yàn)?，所?法2（基底法）：不妨設(shè)，則，以為基底，，，.因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所?17．（15分）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）要證明，只要證即可，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值即可證明．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且．?dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以要證，只要證明即可，即要證，等價(jià)于（*）．令，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以（*）成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．又在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得成立．綜上所述，原不等式成立．18．（17分）泊松分布是一種重要的離散型分布，用于描述稀有事件的發(fā)生情況.如果隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2…，且，其中，則稱服從泊松分布，記作.(1)設(shè)，且，求；(2)已知當(dāng)，時(shí)，可以用泊松分布近似二項(xiàng)分布，即對(duì)于，，當(dāng)不太大時(shí)，有.（?。┮阎椎貐^(qū)共有100000戶居民，每戶居民每天有0.00010的概率需要一名水電工.試估計(jì)某天需要至少2名水電工的概率；（ⅱ）在（ⅰ）的基礎(chǔ)上，已知乙地區(qū)共有200000戶居民，每戶居民每天有0.00004的概率需要一名水電工.試估計(jì)某天兩個(gè)地區(qū)一起至少需要3名水電工的概率.【答案】(1)(2)（?。唬áⅲ?【分析】（1）理解概率公式，就能用待定系數(shù)法先求出，再求出指定概率；（2）（?。├斫獠此煞植贾械?，從而再運(yùn)用公式計(jì)算對(duì)應(yīng)事件概率，轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件來(lái)研究即可；（ⅱ）先了解兩個(gè)獨(dú)立事件，同時(shí)發(fā)生總共需要水電工人數(shù)，運(yùn)用積事件求和：即，這里運(yùn)用到二項(xiàng)式展開(kāi)式定理，最后再用對(duì)立事件即可解得.【詳解】（1）由得，且，解得.故.（2）（?。┰O(shè)為甲地區(qū)某天需要的水電工數(shù)目，則，且.因?yàn)?，，，所?那么，某天至少需要2名水電工的概率約為（ⅱ）設(shè)為乙地區(qū)某天需要的水電工數(shù)目，則，且.因?yàn)?，，，所?于是.那么，某天兩個(gè)地區(qū)一起至少需要3名水電工的概率約為.19．（17分）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比，是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過(guò)右焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓相交于，（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩點(diǎn)，平分，平分．①求的取值范圍；②將點(diǎn)、、看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若外接圓的面積為，求直線的方程．【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得橢圓方程，方法2，利用定義整理得，再根據(jù)條件列式求得橢圓方程；方法3，利用定義進(jìn)行整理，由為常數(shù)，求得系數(shù)，得到橢圓方程；（2）①首先由面積比值求得，令，則，利用坐標(biāo)表示向量，求得，再求范圍；②由阿波羅尼斯圓定義知，，，在以，為定點(diǎn)得阿波羅尼斯圓上，由幾何關(guān)系列式得，求得，再根據(jù)，求得，即可計(jì)算直線方程.【詳解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得∴，，橢圓的方程為方法（2）設(shè)，由題意（常數(shù)），整理得：，故，又，解得：，．∴