專題03 利用相似測(cè)高及相似的性質(zhì)應(yīng)用6大題型-備戰(zhàn)2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末好題分類匯編（河南專用）

PAGE1PAGE2專題03利用相似測(cè)高及相似的性質(zhì)應(yīng)用6大題型題型一利用相似測(cè)高1．（22-23九年級(jí)上·河南周口·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AH是高，AM是中線，那么在結(jié)論①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠BAM，根據(jù)已知條件判斷∠B＝∠MAH不一定成立；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及余角的性質(zhì)得出∠B＝∠CAH．【詳解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中線，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，①正確；②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，∴∠B＝∠MAH不一定成立，②錯(cuò)誤；③∵∠BAC＝90°，AH是高，∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，③正確．故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期末）如圖，在A時(shí)測(cè)得旗桿的影長(zhǎng)是4米，B時(shí)測(cè)得旗桿的影長(zhǎng)是16米，若兩次的日照光線恰好垂直，則旗桿的高度是（

）米．

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用等角的余角相等得到，則可判斷，然后利用相似比可計(jì)算出．【詳解】解：如圖，，，，

∵，∴，∴，而，∴，∴，∴，即，∴，即旗桿的高度為．故選：D3．（23-24九年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期末）如圖，利用標(biāo)桿測(cè)量樓高，點(diǎn)C，A，B在同一直線上，，，垂足分別為A，B.若測(cè)得影長(zhǎng)米，米，影長(zhǎng)米，則樓高為（

）A．10米 B．12米 C．15米 D．20米【答案】B【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，根據(jù)同一時(shí)刻物體與影長(zhǎng)成比例得到對(duì)應(yīng)線段成比例解題即可．【詳解】解：∵同一時(shí)刻物體與影長(zhǎng)成比例，∴，即：，解得：；故選B．4．（23-24九年級(jí)上·河南商丘·期末）圖1是裝滿了液體的高腳杯（數(shù)據(jù)如圖），用去部分液體后，放在水平的桌面上如圖2所示，此時(shí)液體．【答案】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．高腳杯前后的兩個(gè)三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖：，，即相似比為,，,故答案為：．5．（23-24九年級(jí)上·河南開封·期末）如圖，是一塊銳角三角形余料，邊，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)，分別在，上，則這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是mm．【答案】24【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用．熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)與交點(diǎn)為E，正方形的邊長(zhǎng)為x，得到，根據(jù)正方形性質(zhì)得到，得到，推出，解得．【詳解】解：設(shè)與交點(diǎn)為E，正方形的邊長(zhǎng)為x，則，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，即，解得，∴這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是．故答案為：24．6．（19-20九年級(jí)上·河南鄭州·期末）已知等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高為h．（1）若點(diǎn)P在一邊BC上，如圖①，此時(shí)h3＝0，求證：h1+h2+h3＝h；（2）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，如圖②，以及點(diǎn)P在△ABC外，如圖③，這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，h1，h2，h3與h之間又有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說出你的猜想，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)成立，點(diǎn)P在△ABC外時(shí)不成立，理由見解析.【分析】(1)連接AP,將△ABC面積分成△ABP和△APC的面積,利用面積公式代入即可證明.(2)連接AP、BP、CP,將△ABC的面積分裂成幾個(gè)小三角形的面積之和,代入面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）如圖1，連接AP，則S△ABC＝S△ABP+S△APC∴BC?AM＝AB?PD+AC?PF即BC?h＝AB?h1+AC?h2又∵△ABC是等邊三角形∴BC＝AB＝AC，∴h＝h1+h2；（2）點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，h＝h1+h2+h3，理由如下：如圖2，連接AP、BP、CP，則S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP∴BC?AM＝AB?PD+AC?PF+BC?PE即BC?h＝AB?h1+AC?h2+BC?h3又∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝AC．∴h＝h1+h2+h3；點(diǎn)P在△ABC外時(shí)，h＝h1+h2﹣h3．理由如下：如圖3，連接PB，PC，PA由三角形的面積公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，即BC?AM＝AB?PD+AC?PE﹣BC?PF，∵AB＝BC＝AC，∴h1+h2﹣h3＝h，即h1+h2﹣h3＝h．7．（19-20九年級(jí)下·河南焦作·期末）如圖，某學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量校園內(nèi)一棵小樹的高度，用長(zhǎng)為的竹竿作測(cè)量工具，移動(dòng)竹竿，使竹竿影子的頂端、樹影子的頂端落在水平地面上的同一點(diǎn)，且點(diǎn)，，在同一直線上．已知，，求這棵樹的高度．【答案】這棵樹的高度為【分析】利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴．答：這棵樹的高度為．8．（18-19九年級(jí)下·河南駐馬店·期末）如圖所示，在離某建筑物處有一棵樹，在某時(shí)刻，長(zhǎng)的竹竿垂直地面，影長(zhǎng)為，此時(shí)，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影高為，那么這棵樹高約有多少米？【答案】這棵樹高．【分析】因?yàn)樵谕粫r(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長(zhǎng)的比值相同，利用竹竿這個(gè)參照物就可以求出圖中的，是的影子，然后加上CD就是樹高．【詳解】過點(diǎn)作交于點(diǎn)則，，即答：這棵樹高．題型二相似三角形的應(yīng)用舉例9．（23-24九年級(jí)上·河南許昌·期末）學(xué)完《相似》一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量河的寬度．如圖，這條河的兩岸是平行的，小麗站在離南岸20米（即米）的點(diǎn)處懶北岸，小軍、小強(qiáng)站在南岸邊，調(diào)整小軍、小強(qiáng)兩人的位置，當(dāng)小軍、小強(qiáng)兩人分別站在兩點(diǎn)處時(shí)，小麗發(fā)現(xiàn)河北岸邊的兩根電線桿恰好被小軍、小強(qiáng)遮擋（即三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線）．已知電線桿之間的距離為75米，小軍、小強(qiáng)兩人之間的距離為30米，求這條河的寬度．【答案】這條河的寬度為30米【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)這條河的寬度為x米．由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得到，代入有關(guān)數(shù)據(jù)列方程求解方程，即可得到河的寬度．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如解圖所示．依題意，米，米．設(shè)這條河的寬度為米．，．，即，解得．答：這條河的寬度為30米．10．（23-24九年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期末）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測(cè)量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)在同一直線上，已知紙板的兩條邊，，測(cè)得邊離地面的高度，，求樹高．【答案】【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用．首先利用勾股定理計(jì)算出長(zhǎng)，再證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，求出長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：在中，，即，，由題意得：，，，，，，，，解得，，11．（23-24九年級(jí)上·河南駐馬店·期末）寶嚴(yán)寺塔（圖1），俗稱“東關(guān)塔”，位于西平縣城東關(guān)，故名．該塔造型古樸，2006年6月被批準(zhǔn)為國(guó)家級(jí)文物保護(hù)單位．如圖2，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板來測(cè)量寶嚴(yán)寺塔的高度，他們通過調(diào)整測(cè)量位置，使斜邊與地面保持平行，并使邊與寶嚴(yán)寺塔頂點(diǎn)在同一直線上，已知米，米，目測(cè)點(diǎn)與地面的距離米，到寶嚴(yán)寺塔的水平距離米，求寶嚴(yán)寺塔的高度．

圖1

圖2【答案】塔的高度為．【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．證明即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵米，米，米，∴，解得：，∵∴．答：塔的高度為．12．（23-24九年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期末）二七紀(jì)念塔位于河南省鄭州市二七廣場(chǎng)，是鄭州市的地標(biāo)性建筑之一．某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組欲測(cè)量其高度，如圖，在距紀(jì)念塔水平距離為的點(diǎn)B處豎立一根長(zhǎng)為的直桿，恰好使得觀測(cè)點(diǎn)E，直桿頂點(diǎn)A和塔頂點(diǎn)N在同一條直線上．若，，，求塔高．【答案】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，構(gòu)造相似三角形建立模型解決問題．根據(jù)題意得出，利用相似三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而得出．【詳解】解：，，∴，∵，，．由題意知，，，，，，解得：，，即二七紀(jì)念塔的高度為．13．（22-23九年級(jí)上·河南平頂山·期末）學(xué)完了《圖形的相似》這一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量一古建筑的高度（如圖1）．如圖2，在地面上取兩點(diǎn)，分別豎立兩根高為的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿間隔為，并且古建筑，標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿后退到處，從處觀察點(diǎn)，三點(diǎn)成一線；從標(biāo)桿后退到處，從處觀察點(diǎn)，三點(diǎn)也成一線．請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助實(shí)踐小組求出該古建筑的高度．【答案】該古建筑的高度為米【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由題意可得：，，，從而得到，進(jìn)而得到，，由相似三角形的性質(zhì)可得，，由得出，求出的長(zhǎng)，即可得解，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：，，，，，，，，，，，解得：，，，該古建筑的高度為米．14．（21-22九年級(jí)上·河南平頂山·期末）閱讀下面材料，完成學(xué)習(xí)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)：測(cè)量樹的高度．在物理學(xué)中我們學(xué)過光的反射定律，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組想利用光的反射定律測(cè)量池塘對(duì)岸一棵樹的高度AB，測(cè)量和計(jì)算的部分步驟如下：①如圖，在地面上的點(diǎn)處放置了一塊平面鏡，小華站在的延長(zhǎng)線上，當(dāng)小華從平面鏡中剛好看到樹的頂點(diǎn)時(shí)，測(cè)得小華到平面鏡的距離，小華的眼睛到地面的距離；②將平面鏡從點(diǎn)沿的延長(zhǎng)線移動(dòng)到點(diǎn)處，小華向后移動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，小華的眼睛又剛好在平面鏡中看到樹的頂點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小華到平面鏡的距離；③計(jì)算樹的高度AB：設(shè)，．，，．任務(wù)：請(qǐng)你根據(jù)材料中得到的測(cè)量數(shù)據(jù)和計(jì)算步驟，將剩余的計(jì)算部分補(bǔ)充完整．【答案】米，見解析【分析】根據(jù)題意得出，利用相似三角形的性質(zhì)得出AB，的長(zhǎng)進(jìn)而得出答案．【詳解】解：設(shè)米，米．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∴，∴．∴，解得．把代入，得，解得．答：樹的高度AB為．15．（21-22九年級(jí)上·河南鶴壁·期末）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國(guó)佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來測(cè)量東塔的高度．東塔的高度為，選取與塔底在同一水平地面上的、兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿間隔為，并且東塔、標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察點(diǎn)，、、在一直線上；從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察A點(diǎn)，A、、三點(diǎn)也在一直線上，且、、、、在同一直線上，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔的高度．

【答案】36m【分析】設(shè)，則，通過證明，得到，即，同理得到，則可建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，則∵，，∴，∴，∴，即，同理可證，∴，即，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴，∴，∴該古建筑AB的高度為36m．16．（19-20九年級(jí)上·河南鄭州·期末）《鐵血紅安》在中央一臺(tái)熱播后，吸引了眾多游客前往影視基地游玩．某天小明站在地面上給站在城樓上的小亮照相時(shí)發(fā)現(xiàn)：他的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點(diǎn)恰好在一條直線上（如圖）．已知小明的眼睛離地面1.6米，涼亭頂端離地面2米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為40米，小亮身高1.7米．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出城樓的高度．【答案】城樓的高度為米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由題意可得：，，，，，，，解得：，，故城樓的高度為：（米，答：城樓的高度為米．17．（21-22九年級(jí)上·河南商丘·期末）位于沱河南岸的永城沱南生態(tài)廣場(chǎng)，有座雕塑《漢韻南風(fēng)裊裊歌》，雕塑由主體和書著《永城賦》的基座兩部分構(gòu)成（如圖），其立意是“這里是漢興腹地，這里是豫東江南……”九·1班數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們想利用學(xué)過的測(cè)量旗桿高度的方法測(cè)量這座雕塑（含基座，下同）的高度（從雕塑周圍地平面算起），已知負(fù)責(zé)測(cè)量的小永身高為h米（眼睛以上的高度忽略不計(jì)），測(cè)量時(shí)小永的影長(zhǎng)為a米，雕塑的影長(zhǎng)為b米；利用小鏡測(cè)量時(shí)，小永離鏡子的距離為c米，鏡子離雕塑的最高點(diǎn)所在直線的距離為d米．請(qǐng)你幫助小永選擇其中一個(gè)方案，畫出圖形并計(jì)算出雕塑的高度（結(jié)果用含字母的式子表示），【答案】；圖像見解析．【分析】根據(jù)同一時(shí)刻，用物體與影子構(gòu)成相似三角形，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】圖像如下：如圖分別為雕塑與小永的實(shí)物與影子圖兩物與地面垂直都在同一時(shí)間點(diǎn)的陽(yáng)光照射下，~則雕塑高為18．（21-22九年級(jí)上·河南許昌·期末）如圖，小明用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量水平地面上樹AB的高度，已知兩直角邊，他調(diào)整自己的姿勢(shì)和三角形紙板的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，DM垂直于地面，測(cè)得，邊DF離地面的距離為，求樹高AB．【答案】15.6米【分析】證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．答：樹高15.6m．題型三利用相似三角形的性質(zhì)求解19．（23-24九年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期末）在中，，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是，點(diǎn)Q的速度是，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P，Q就停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求：

(1)用含t的代數(shù)式表示，；(2)當(dāng)t為多少時(shí)，的長(zhǎng)度等于？(3)當(dāng)t為多少時(shí)，以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？【答案】(1)，(2)為0．2或3秒(3)為2或【分析】此題是相似形綜合題，主要考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列代數(shù)式即可．（2）利用勾股定理求解即可．（3）分情況討論，和，代入求解即可．【詳解】（1）解：用含的代數(shù)式表示，；故答案為，．（2）解：在中，根據(jù)勾股定理得，，，解得：或，當(dāng)為0．2或3秒時(shí)，的長(zhǎng)度等于．（3）解：以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，且，①，，，，②，，，，即當(dāng)為2或時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似．20．（22-23九年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，點(diǎn)在一條直線上，與相交于點(diǎn)

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先證明出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得到，即可證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵==，∴；∴，∴，即；（2）∵，∴．∵，，∴．21．（22-23九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是菱形．若的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，且．(1)＝，＝；(2)連接，若點(diǎn)E為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，若與相似，則此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)8，6(2)或【分析】（1）解一元二次方程即可求解；（2）分類討論，根據(jù)不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系列出比例式，求出坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：因?yàn)榈拈L(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，解方程得，，因?yàn)?，所以，故答案為?，6；（2）解：設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則，因?yàn)椋?，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以?dāng)時(shí)，∴＝，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：；當(dāng)時(shí)，∴＝，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：；綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：或．22．（21-22九年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠DAC＝∠B．點(diǎn)E在AD邊上，CD＝CE．(1)求證：△ABD∽△CAE；(2)若AB＝9，AC＝BD＝6，求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】(1)根據(jù)已知條件可得，∠DAC=∠B，即可證明△ABD~△CAE；(2)根據(jù)△ABD~△CAE，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AE的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）由（1）得，∴，，，，∴．23．（21-22九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）（1）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上．在方格紙內(nèi)畫，使，相似比為，且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（2）的面積是______．【答案】（1）答案見解析；（2）12【分析】（1）根據(jù)相似比為先確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，再連接即可得到答案；（2）先求出根據(jù)△ABC的面積，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到的面積．【詳解】（1）如圖，為所求作圖形；（答案不唯一）（2）由題意得，，相似比為故答案為：12．24．（19-20九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）已知在中，，，，為邊上的一點(diǎn)．過點(diǎn)作射線，分別交邊、于點(diǎn)、．（1）當(dāng)為的中點(diǎn)，且、時(shí)，如圖1，_______：（2）若為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，_______；（3）若改變點(diǎn)到圖3的位置，且時(shí)，求的值．【答案】（1）2；（2）2；（3）【分析】（1）由為的中點(diǎn)，結(jié)合三角形的中位線的性質(zhì)得到從而可得答案；（2）如圖，過作于過作于結(jié)合（1）求解再證明利用相似三角形的性質(zhì)可得答案；（3）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明,可得再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解同法求解從而可得答案．【詳解】解：（1）為的中點(diǎn)，故答案為：（2）如圖，過作于過作于由（1）同理可得：故答案為：（3）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，，∴．∴∴．∵，∴．∵，∴．∴．同理可得：．∴．25．（19-20九年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期末）將一副直角三角板按右圖疊放．(1)證明：△AOB∽△COD；(2)求△AOB與△DOC的面積之比．【答案】(1)見解析；(2)1：3【分析】（1）推出∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，就可得△AOB∽△COD；（2）設(shè)BC=a，則AB=a，BD=2a，由勾股定理知：CD=a，得AB：CD=1：，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得面積比.【詳解】解：(1)∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD(2)設(shè)BC=a，則AB=a，BD=2a由勾股定理知：CD=a∴AB：CD=1：

∴△AOB與△DOC的面積之比等于1：3．26．（23-24九年級(jí)上·河南濮陽(yáng)·期末）已知，如圖，A（0．8），B（4，0），D是AB的中點(diǎn)，過D點(diǎn)作直線與△AOB的一邊交于點(diǎn)E，直線DE截△ABO得到的小三角形與△ABO相似，求滿足題意的所有E點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（0，4），（2，0），（0，3）．【詳解】試題分析：分別從①當(dāng)DE∥OB時(shí)，△AED∽△AOB，②當(dāng)DE∥OA時(shí)，△BDE∽△BAD，③過D作DE⊥AB交OA于E，去分析求解即可求得答案．試題解析：（1）當(dāng)DE∥OB時(shí)，△AED∽△AOB此時(shí)E（0，4），（2）當(dāng)DE∥OA時(shí)，△BDE∽△BAD此時(shí)E（2，0），

（3）過D作DE⊥AB交OA于E，則△ADE∽△AOB則∵∴8AE=∴AE=5∴E（0，3）

綜上可得：E點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，4），（2，0），（0，3）．題型四在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形27．（21-22九年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，在5×5的邊長(zhǎng)為1小的正方形的網(wǎng)格中，如圖1△ABC和△DEF都是格點(diǎn)三角形（即三角形的各頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上）．(1)判斷：△ABC與△DEF是否相似？并說明理由；(2)在如圖2的正方形網(wǎng)格中，畫出與△DEF相似且面積最大的格點(diǎn)三角形，并直接寫出其面積．【答案】(1)相似，見解析(2)圖見解析，面積為5【分析】（1）相似，分別求出每個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似判斷即可；（2）根據(jù)勾股定理得出三角形各邊長(zhǎng)，利用邊長(zhǎng)之比相等，作出面積最大的格點(diǎn)三角形即可．【詳解】（1）△ABC∽△DEF，理由如下：在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，∴，∴△ABC∽△DEF；（2）如圖，△MNP即為所求，．28．（21-22九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）（1）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上．在方格紙內(nèi)畫，使，相似比為，且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（2）的面積是______．【答案】（1）答案見解析；（2）12【分析】（1）根據(jù)相似比為先確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，再連接即可得到答案；（2）先求出根據(jù)△ABC的面積，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到的面積．【詳解】（1）如圖，為所求作圖形；（答案不唯一）（2）由題意得，，相似比為故答案為：12．29．（20-21九年級(jí)上·河南商丘·期末）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)、頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知Rt△ABC是6×6網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點(diǎn)三角形中．求面積最大的三角形的斜邊長(zhǎng)．【答案】5【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)確定兩直角邊的比值為1：2，以及6×6網(wǎng)格圖形中，最長(zhǎng)線段為6，進(jìn)行嘗試，可確定、、為邊的這樣一組三角形滿足條件．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB＝，AC：BC＝1∶2，∴與Rt△ABC相似的格點(diǎn)三角形的兩直角邊的比值為1∶2，若該三角形最短邊長(zhǎng)為4，則另一直角邊長(zhǎng)為8，但在6×6網(wǎng)格圖形中，最長(zhǎng)線段為6，但此時(shí)畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點(diǎn)都在格點(diǎn)且長(zhǎng)為8的線段，故最短直角邊長(zhǎng)應(yīng)小于4，在圖中嘗試，可畫出DE＝，EF＝2，DF＝5的三角形，∵＝＝＝，∴△ACB∽△DEF，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此時(shí)△DEF的面積為：×2÷2＝10，△DEF為面積最大的三角形，其斜邊長(zhǎng)為5．30．（23-24九年級(jí)·河南安陽(yáng)·期末）如圖，圖①、圖②、圖③均為4×2的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．按要求在圖②、圖③中各畫一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形．要求：（1）所畫的兩個(gè)三角形都與△ABC相似但都不與△ABC全等．（2）圖②和圖③中新畫的三角形不全等．【答案】作圖見解析.【分析】將原三角形的三邊分別擴(kuò)大和2倍即可得．【詳解】如圖，△A1B1C1和△A2B2C2即為所求作三角形．題型五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題31．（23-24九年級(jí)上·河南濮陽(yáng)·期末）如圖，在鈍角三角形中，，，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B停止，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)到點(diǎn)A停止，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度為，動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為，如果兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（

）A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s【答案】B【分析】本題考查相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題，分和兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，由題意，得：，∴，當(dāng)時(shí)：則，即，解得：；當(dāng)時(shí)：則，即，解得：；綜上：或；故選B．32．（23-24九年級(jí)上·河南開封·期末）如圖，已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為10的正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且，若在射線上有一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B，M，C為頂點(diǎn)的三角形與相似，那么．【答案】8或【分析】本題考查相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．由余角的性質(zhì)推出，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩種情況下，分別求出的長(zhǎng)，即可得到答案．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，．當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，那么的長(zhǎng)是8或．故答案為：8或．33．（23-24九年級(jí)上·河南開封·期末）在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果、兩點(diǎn)分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么當(dāng)與相似時(shí)，的面積是．【答案】或【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)．根據(jù)題意分情況討論并列式即可得到本題答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：設(shè)、兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是s，∴，，∴，∵，①當(dāng)時(shí)，，∵，，∴，解得：，∴，，∴的面積是：；②當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，∴，，∴的面積是：；故答案為∶或．34．（23-24九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）在菱形中，，點(diǎn)是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著邊按由的路徑運(yùn)動(dòng)，到達(dá)終點(diǎn)停止，當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，則線段的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)可計(jì)算出的長(zhǎng)度，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合，分類討論：當(dāng)點(diǎn)在AD上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在CD上時(shí)；結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下，連接，

∵四邊形是菱形，，∴，，∴，∵點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，∴，即，在中，，，則，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在AD上時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴，則，∴；②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在CD上時(shí)，當(dāng)時(shí)，

連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)，，可得是等邊三角形，∴根據(jù)上述證明可得，點(diǎn)P1是AD的中點(diǎn)，且，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P1對(duì)稱，∴，∴點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，且，∴，即，∴，∴；綜上所述，的長(zhǎng)為或，故答案為：或．35．（22-23九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿著邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿著邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，若以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．【答案】或【分析】設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則，，再分兩種情況求t的值，一是，則，可列方程；二是，則，可列方程，解方程求出相應(yīng)的t的值即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，解得；∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，解得．綜上所述，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或．故答案為：或．36．（22-23九年級(jí)上·河南開封·期末）如圖，的兩條直角邊，，點(diǎn)D沿從A向B運(yùn)動(dòng)，速度是/秒，同時(shí)，點(diǎn)E沿從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為/秒．動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止連接、、．

(1)若與相似，求動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；(3)在運(yùn)動(dòng)的過程中，能否為的中位線？說明理由．【答案】(1)秒或秒(2)秒(3)不能，理由見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．（1）已知是直角三角形，要與其相似，圖中已有一個(gè)公共角，所以只需的另外兩個(gè)角有一個(gè)角是直角，那么與相似．由此對(duì)應(yīng)兩種情況：或，需分情況討論分析．然后兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于，證明，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出時(shí)間；（3）若若為的中位線，則，則，求出，此時(shí)，，故，故不能為的中位線．【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得設(shè)經(jīng)過運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，與相似．則，，，；①當(dāng)，即時(shí)，；，即，．②當(dāng)，即時(shí)，，，即，．和都符合，

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒或秒時(shí)，與相似；（2）解：如圖，過點(diǎn)E作于F，

設(shè)經(jīng)過運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，則，，，；，即，，，，，，，，，，，，，即，（秒）．（3）解：不能，理由如下：如圖，

若為的中位線，則，則，∴，解得：，此時(shí)，，∴，∴不可能為的中位線．37．（23-24九年級(jí)上·河南鶴壁·期末）如圖1，在中，，點(diǎn)D是上一定點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)，以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從D出發(fā)，以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P出發(fā)后，點(diǎn)Q才開始出發(fā)，且當(dāng)一個(gè)點(diǎn)達(dá)到B時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止．圖2是當(dāng)時(shí)的面積與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)圖象．(1)_______，________；(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊上時(shí)，t為何值時(shí)，使得與為相似？【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了相似的綜合題：熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)從函數(shù)圖象中獲取信息；會(huì)根據(jù)勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算；提高運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題的能力．（1）根據(jù)函數(shù)圖象得到當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，的面積為18，利用三角形面積公式可計(jì)算出，則，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在點(diǎn)，作于，在中根據(jù)勾股定理計(jì)算出，再證明，利用相似比計(jì)算出，然后根據(jù)三角形面積公式得到，即；（2）分類討論：當(dāng)，點(diǎn)在點(diǎn)，，若得到，利用相似比得值；當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，利用相似比得值；當(dāng)時(shí)，，利用相似比得值；【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，的面積為18，∴，解得，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在點(diǎn)，點(diǎn)在上，如圖1，作于，在中，，，∵，，∴，即，解得，∴，即；故答案為：；（2）解：點(diǎn)在邊上，當(dāng)，點(diǎn)在點(diǎn)，，若，∴，即，解得；當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，，如圖2，∵，∴，即，解得，不合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，如圖3，∵，∴，即，解得，綜上所述，當(dāng)為或時(shí)，與為相似．38．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，的兩條直角邊，，點(diǎn)D沿從A向B運(yùn)動(dòng)，速度是/秒，同時(shí)，點(diǎn)E沿從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為/秒．動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止．連接、、．(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒時(shí)，與相似．(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，為何值？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)或(2)當(dāng)時(shí)，秒．理由見解析．【分析】（1）本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，判斷何時(shí)與相似是解決問題的關(guān)鍵．已知是直角三角形，要與其相似，圖中已有一個(gè)公共角，所以只需的另外兩個(gè)角有一個(gè)角是直角，那么與相似．由此對(duì)應(yīng)兩種情況：或，需分情況討論分析．然后兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．（2）本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，構(gòu)造輔助線，找到三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于，證明，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出時(shí)間．【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，與相似．則，，，；1）當(dāng)，即時(shí)，；，即，．２）當(dāng)，即時(shí)，，，即，．和都符合，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒或秒時(shí)，與相似．故答案為：或．（2）如圖，過點(diǎn)E作于F，設(shè)經(jīng)過運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，則，，，；，即，，，，，，，，，，，，，即，（秒）．39．（2024·河南洛陽(yáng)·一模）如圖，正方形的邊與矩形的邊重合，將正方形以1cm/秒的速度沿方向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合．已知正方形的邊長(zhǎng)為1cm，，，設(shè)正方形移動(dòng)的時(shí)間為x秒，且．

(1)直接填空：cm（用含x的代數(shù)式表示）；(2)若以G、D、C為頂點(diǎn)的三角形同相似，求x的值；(3)連接，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)P，連接．若的面積記為，的面積記為，則的值會(huì)發(fā)生變化嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或(3)不會(huì)發(fā)生變化，理由見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：（1）根據(jù)，正方形的邊長(zhǎng)為1cm，結(jié)合題意，列出式子即可；（2）分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）證明，推出，分別求得和，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，正方形的邊長(zhǎng)為1cm，正方形以1cm/秒的速度沿方向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合．，故答案為：；（2）解：由題意得，，，，當(dāng)時(shí)，，，解得：；當(dāng)時(shí)，，，解得：，當(dāng)或時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形同相似．（3）解：結(jié)論：的值不會(huì)發(fā)生變化．理由如下：，，又，，，，，，，的值不會(huì)發(fā)生變化．40．（22-23九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖,在矩形ABCD中，，，動(dòng)點(diǎn)M以的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N以的速度從點(diǎn)D出發(fā),沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（）．(1)當(dāng)為何值時(shí)，的面積等于矩形面積的？(2)是否存在某一時(shí)刻,使得以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由的面積等于矩形面積的，可得，即可求得或（2）與相似，分為兩種情況討論即可得到或【詳解】（1）由題意可知:，∴∵的面積等于矩形面積的∴解之得:，∴或時(shí)，的面積等于矩形面積的（2）存在．理由如下：∵與相似∴分為兩種情況：①當(dāng)時(shí)∴，即解得：②當(dāng)時(shí)∴，即解得：

綜上所述,當(dāng)或時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似題型六相似三角形的綜合問題41．（19-20九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE⊥AB交AC邊于點(diǎn)D，將∠A沿直線DE翻折，點(diǎn)A落在線段AB上的F處，連接FC，當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為．【答案】2或或．【分析】由勾股定理求出AB，設(shè)AE=x，則EF=x，BF=10﹣2x；分三種情況討論：①當(dāng)BF=BC時(shí)，列出方程，解方程即可；②當(dāng)BF=CF時(shí)，F(xiàn)在BC的垂直平分線上，得出AF=BF，列出方程，解方程即可；③當(dāng)CF=BC時(shí)，作CG⊥AB于G，則BG=FGBF，由射影定理求出BG，再解方程即可．【詳解】由翻折變換的性質(zhì)得：AE=EF．∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB10．設(shè)AE=x，則EF=x，BF=10﹣2x．分三種情況討論：①當(dāng)BF=BC時(shí)，10﹣2x=6，解得：x=2，∴AE=2；②當(dāng)BF=CF時(shí)．∵BF=CF，∴∠B=∠FCB．∵∠A+∠B=90°，∠FCA+∠FCB=90°，∴∠A=∠FCA，∴AF=FC．∵BF=FC，∴AF=BF，∴x+x=10﹣2x，解得：x，∴AE；③當(dāng)CF=BC時(shí)，作CG⊥AB于G，如圖所示：則BG=FGBF．根據(jù)射影定理得：BC2=BG?AB，∴BG，即(10﹣2x)，解得：x，∴AE；綜上所述：當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為：2或或．故答案為：2或或．42．（22-23九年級(jí)上·河南鄭州·期末）在中與中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；（2）類比探究當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．（3）問題解決在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出的面積的最大值與最小值．【答案】（1）CG=CF，CF⊥CG；（2）成立，CG=CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面積最大值，最小值．【分析】（1）觀察猜想由直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半再結(jié)合30°直角三角形三邊比即可證明；（2）類比探究先證明△BCD∽△ACE，再證明△ACG∽△BCF，可得結(jié)論；（3）問題解決延長(zhǎng)BC至H，使BC=CH=1，連接DG，由三角形中位線定理結(jié)合三角形面積公式可求△CFG的面積=，求出DH最小值即可．【詳解】（1）觀察猜想∵在Rt△ABC中與Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，∴AE=2DC=2，AC=BC=，AB=2BC，∠CDE=60°，∴BC=1，AB=2，∵點(diǎn)F，G分別是BD，AE的中點(diǎn)，∴CG=AE=，CG=AG，CF=AB=1，CF=AF，∴CG=CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°，∴∠FCG=90°，∴CF⊥CG，故答案為：CG=CF，CF⊥CG；（2）類比探究仍然成立，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，∴∠BCD=∠ACE，AC=BC，CE=CD，∴，∴△BCD∽△ACE，∴，∠CAE=∠CBD，∵點(diǎn)F，G分別是BD，AE的中點(diǎn)，∴BF=BD，AG=AE，∴∴△ACG∽△BCF，∴，∠BCF=∠ACG，∴CG=CF，∠ACB=∠FCG=90°，∴CF⊥CG；（3）問題解決如圖，延長(zhǎng)BC至H，使BC=CH=1，連接DH，∵點(diǎn)F是BD中點(diǎn)，BC=CH=1，∴CF=DH，由（2）可知，CF⊥CG，∴△CFG的面積=×CF×CG=CF2，∴△CFG的面積=，∴當(dāng)DH取最大值時(shí)，△CFG的面積有最大值，當(dāng)DH取最小值時(shí)，△CFG的面積有最小值，∵CD=，∴點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)D在射線HC的延長(zhǎng)線上時(shí)，DH有最大值為+1，∴△CFG的面積最大值=，∴當(dāng)點(diǎn)D在射線CH長(zhǎng)線上時(shí)，DH有最小-1，∴△CFG的面積最小值=．43．（20-21九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，連接DB，將線段DB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，連接BE、CE．（1）求的值；（2）求射線AD與直線CE相交所成的較小角的度數(shù)；（3）題設(shè)其它條件不變，若點(diǎn)D是∠BAC平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB=1，∠DBC=15°，直接寫出線段CE的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）射線AD與直線CE相交所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）CE的長(zhǎng)為或【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，證△ABD∽△CBE，求相似比即可；（2）延長(zhǎng)AD、CE相交于點(diǎn)F，由相似可知∠BCF=∠BAD=45°，再根據(jù)角平分線和三角形內(nèi)角和求∠F即可；（3）作DF⊥AB，垂足為F，根據(jù)D點(diǎn)在三角形內(nèi)和外分類討論，利用30°角的直角三角形性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及（1）的結(jié)論可求EC．【詳解】解：（1）由題意知ΔABC和ΔBDE均為等腰直角三角形．∴，．∠ABC=∠DBE=45°．∴，∵∠ABC=∠DBE=45°．∴∠ABD=∠CBE．∴△ABD∽△CBE．∴．（2）延長(zhǎng)AD、CE相交于點(diǎn)F，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵AF平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAF=∠BAC=45°．∵△ABD∽△CBE．∴∠BCF=∠BAD=45°．∠F=180°-∠BCF-∠ACB-∠CAF=45°．射線AD與直線CE相交所成的較小角的度數(shù)為45°．（3）如圖1，作DF⊥AB，垂足為F，∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，∴∠DBA=30°，∴設(shè)DF為x，BD為2x，∴BF=，∵∠BAD=45°，∴DF=AF=x，AD=∵AB=1，∴，解得，，AD=，∵，∴CE=，如圖2，作DF⊥AB，垂足為F，∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，∴∠DBA=60°，∠BDF=30°，∴設(shè)BF為x，BD為2x，∴DF=，∵∠BAD=45°，∴DF=AF=，AD=∵AB=1，∴，解得，，AD=，∵，∴CE=，CE的長(zhǎng)為或．44．（20-21九年級(jí)上·河南駐馬店·期末）問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，在中，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，填空：________，________；類比探究：（2）如圖2，在（1）的條件下將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，請(qǐng)求出，的值；拓展延伸：（3）如圖3，和同為等邊三角形，且，連接，，將繞（）的中點(diǎn)逆時(shí)針自由旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中的最大值．【答案】（1），；（2），；（3）【分析】（1）在中，由勾股定理求出，由，可得，由，截線段成比例，由，分比，即即可（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，由，，可得，由性質(zhì)，，可證，利用性質(zhì)；（3）如圖4，連接，，由點(diǎn)是（）的中點(diǎn)，和同為等邊三角形，可知，可推得，由，，可證，可得，可求，，由三邊關(guān)系可得，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)（如圖5），存在最大值為即可求出．【詳解】解：（1），；解答如下：在中，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，故答案為：，；（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴；（3）的最大值為；提示如下：如圖4，連接，，∵點(diǎn)是（）的中點(diǎn)，和同為等邊三角形，由三線合一性質(zhì)可知，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴，，在中，由三邊關(guān)系可得，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)（如圖5），存在最大值為，∵，∴當(dāng)存在最大值時(shí)，的最大值．45．（20-21九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖1，中，，點(diǎn)分別在邊上,,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），直線相交于點(diǎn)．（1）若，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是_______．（2）若，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)僅就圖3所示的情況加以證明；否則，請(qǐng)寫出正確結(jié)論，并說明理由．②若,是的中點(diǎn)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）①結(jié)論不成立．正確結(jié)論：；理由見解析；②CP的長(zhǎng)或.【分析】(1)利用SAS證明△ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，由∠CBP+∠ACE+∠ACB=，得到∠BPC=，即BD⊥CE；(2)①根據(jù)DE∥BC，得到，，根據(jù)∠BAD=∠CAE，，證明，得到，利用，得到，證得；②根據(jù)，，，求得AB=，BC=2AB=2，根據(jù)是的中點(diǎn)，DE∥BC，得到AE=，，根據(jù)題意畫出圖形，利用矩形的性質(zhì)及勾股定理計(jì)算得出CP的長(zhǎng)．【詳解】(1)在中，，，∴∠ACB=，∴AB=AC，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，由旋轉(zhuǎn)得：∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABC+∠ACB=，∴∠CBP+∠ACE+∠ACB=，∴∠BPC=，即BD⊥CE；故答案為：BD=CE，BD⊥CE；(2)結(jié)論不成立.結(jié)論:如圖，∵DE∥BC，∴，∴，，如圖3，∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②∵，，，∴AB=，BC=2AB=2，∵是的中點(diǎn)，DE∥BC，∴AE=，，如圖1，當(dāng)四邊形ADPE是矩形時(shí)，則∠ADB=∠ADP=，∵，∴BD=，∵PD=AE=，∴BP=3，∴CP=；如圖2，當(dāng)四邊形ADPE是矩形時(shí)，則∠AEP=∠AEC=，∵AE=，∴∠ACE=∠ACB=，∴點(diǎn)E在線段BC上，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，∴CP=CB=，綜上，CP的長(zhǎng)為或．．46．（20-21九年級(jí)上·河南鄭州·期末）在中，，，將繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（），得到．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，設(shè)與相交于點(diǎn)．求證：是等邊三角形．

圖①（2）如圖②，連接、，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的值是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)值；如果變化，請(qǐng)說明理由．

圖②（3）如圖③，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，，連接，當(dāng)______時(shí)，長(zhǎng)度最大，最大值為______．

圖③【答案】（1）見解析；（2）的值不變，恒為，理由見解析；（3），．【分析】（1）畫出示意圖，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，繼而由三角形內(nèi)角和180°解得，最后根據(jù)等邊三角形的判定方法解題；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，解得繼而證明，最后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解題即可；（3）由含30°角直角三角形的性質(zhì)，解得，由中點(diǎn)的性質(zhì)，解得，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半解得，接著由三角形三邊關(guān)系得，由此可知當(dāng)，此時(shí)最大，據(jù)此解題．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形；（2）的值不變，恒為．理由如下：∵，，∴，，∴，，∵，∴∴；

（3）連接，如圖，是的中點(diǎn)，繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，只有當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，此時(shí)最大，如圖，即的最大值為，點(diǎn)為的中點(diǎn)此時(shí)，故答案為：，．47．（19-20九年級(jí)上·河南周口·期末）在ΔABC中，，是平面內(nèi)不與點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)時(shí)，的值是_________，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．（2）類比探究：如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，當(dāng)時(shí)，若是的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)在同一條直線上，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】（1），；（2），30°，見解析；（3）的值是或【分析】（1）如圖1中，連接PC，BD，延長(zhǎng)BD交PC于K，交AC于G．證明△PAC≌△DAB（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理即可解決問題．（2）如圖2，設(shè)MN交AC于F，延長(zhǎng)MN交PC于E．證明△ACP∽△AMN，推出∠ACP=∠AMN，可得結(jié)論；（3）分兩種情形分別畫出圖形，利用三角形中位線定理即可解決問題．【詳解】解：（1），如圖1，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，均是等邊三角形，，，在△PAC和△DAB中，，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，