河南洛陽2020-2021學年八下期末數(shù)學試題（解析版）

2020-2021學年河南省洛陽市八年級（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題1.若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A.x≠﹣3 B.x≥﹣3 C.x≤﹣3 D.x＞﹣3【1題答案】【答案】D【解析】【分析】直接利用二次根式有意義的條件結(jié)合分式有意義的條件分析得出答案．【詳解】解：二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則且，解得：．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確把握相關(guān)有意義的條件．2.下列各式中，運算正確的是（）A. B. C. D.【2題答案】【答案】D【解析】【分析】．根據(jù)算術(shù)平方根的算法進行求解即可得出答案；．根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算即可得出答案；．根據(jù)二次根式加減運算進行計算即可得出答案；．根據(jù)二次根式的除法法則進行計算即可得出答案．【詳解】解：．，選項不符合題意；．，選項不符合題意；．，選項不符合題意；．，選項符合題意．故選：．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題的關(guān)建是熟練應用二次根式的混合運算法則進行求解．3.如圖所示，點B，D在數(shù)軸上，OB=3，OD=BC=1，∠OBC=90°，以D為圓心，DC長為半徑畫弧，與數(shù)軸正半軸交于點A，則點A表示的實數(shù)是（）A. B.1 C.1 D.不能確定【3題答案】【答案】C【解析】【分析】由勾股定理得到CD的長度，再根據(jù)圖形得到A點坐標．【詳解】由題意可得：BD=4，BC=1則CD，即AD=故A點對應的實數(shù)為：1．故選：C．【點睛】本題考查勾股定理和數(shù)形結(jié)合思想的綜合應用，熟練地利用勾股定理和坐標求值是解題關(guān)鍵．4.小明同學對數(shù)據(jù)26，36，36，46，5■，52進行統(tǒng)計分析．發(fā)現(xiàn)其中一個兩位數(shù)的個位數(shù)字被墨水涂污看不到了，則計算結(jié)果與被涂污數(shù)字無關(guān)的是（）A.平均數(shù) B.方差 C.中位數(shù) D.眾數(shù)【4題答案】【答案】C【解析】【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差和標準差的定義對各選項進行判斷．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和標準差都與第5個數(shù)有關(guān)，而這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為36與46的平均數(shù)，與第5個數(shù)無關(guān)．故選：C．【點睛】本題考查了方差：它也描述了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離散程度.也考查了中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、方差和標準差的定義．5.甲、乙、丙、丁四人的數(shù)學測驗成績分別為90分、90分、x分、80分，若這組成績的眾數(shù)與平均數(shù)恰好相等，則這組成績的眾數(shù)是（）A.100分 B.95分 C.90分 D.85分【5題答案】【答案】C【解析】【分析】若，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是80分、90分，而這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)只有1個，據(jù)此排除，再由眾數(shù)的定義可得出答案．【詳解】解：若，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是80分、90分，而這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)只有1個，所以，所以這組數(shù)據(jù)中90分出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是90分，故選：C．【點睛】本題主要考查眾數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．6.《九章算術(shù)》中記載：今有戶不知高、廣，竿不知長、短．橫之不出四尺，從之不出二尺，斜之適出．問戶高、廣、斜各幾何？譯文是：今有門，不知其高、寬，有竿，不知其長、短．橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬、對角線長分別是多少?若設門對角線長為x尺，則可列方程為（）A. B.C. D.【6題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運用勾股定理可求出門高、寬、對角線長．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：

x2=（x-4）2+（x-2）2，

故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的運用，正確運用勾股定理，將數(shù)學思想運用到實際問題中是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．7.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA＝6，OH＝4，則菱形ABCD的面積為（）A.24 B.48 C.72 D.96【7題答案】【答案】B【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)得，，，則，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出的長度，然后由菱形的面積公式求解即可．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，，，菱形的面積，故選：B．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)，菱形的面積公式等知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，求出的長．8.如圖，在ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P為斜邊AB上一動點，過點P作PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，連接EF，則線段EF的最小值為（）A. B. C. D.【8題答案】【答案】C【解析】【分析】連接，先證四邊形是矩形，則，當時，最小，然后利用三角形面積解答即可．【詳解】解：連接，如圖：，，，，四邊形是矩形，，當最小時，也最小，，，，，當時，最小，此時，，線段長的最小值為，故選：C．【點睛】本題主要考查的是矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，求出的最小值．9.已知等腰三角形的周長是10，底邊長y是腰長x的函數(shù)，則下列圖象中，能正確反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A. B. C. D.【9題答案】【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)三角形的周長公式求出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出的取值范圍，然后選擇即可．【詳解】解：由題意得，，所以，，由三角形的三邊關(guān)系得，，解不等式①得，，解不等式②得，，所以，不等式組解集是，正確反映與之間函數(shù)關(guān)系的圖象是選項圖象．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象，三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形的三邊關(guān)系求自變量的取值范圍．10.如圖，已知AOBC的頂點O(0，0)，點B在x軸正半軸上，按以下步驟作圖：①以點O為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交邊OA，OB于點D，E；②分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點F；③作射線OF，交邊AC于點G．若G的坐標為(2，4)，則點A的坐標是（）A.(﹣3，4) B.(﹣2，4) C. D.【10題答案】【答案】A【解析】【分析】首先證明，設，則，在中，，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，設交軸于．，．，四邊形是平行四邊形，，，，，，設，則，在中，，，，，故選：A．【點睛】本題考查作圖基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明，學會利用參數(shù)解決問題．二、填空題11.計算：_____．【11題答案】【答案】【解析】【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式得到原式，然后進行除法運算后合并即可．【詳解】解：原式．故答案為．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．12.小王參加某企業(yè)招聘測試，他的筆試、面試、技能操作得分分別為95分、80分、90分，若依次按照60%、30%、10%確定成績，則小王的成績是_____．【12題答案】【答案】90【解析】【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的求法可以求得小王的成績，本題得以解決．【詳解】解：根據(jù)題意得：（分，答：小王的成績是90分．故答案為：90．【點睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的計算公式．13.已知一組數(shù)據(jù)為7，2，5，x，8，它們的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的方差為_____．【13題答案】【答案】【解析】【分析】先由平均數(shù)是5計算的值，再根據(jù)方差的計算公式，直接計算可得．【詳解】解：一組數(shù)據(jù)7，2，5，，8的平均數(shù)是5，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是算術(shù)平均數(shù)和方差的計算，解題的關(guān)鍵是掌握方差的計算公式：一般地設個數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，則方差．14.如圖，D是ABC的邊BC的中點，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點E，且AB＝10cm，DE＝2cm，則AC的長為___cm．【14題答案】【答案】6【解析】【分析】延長、交于點，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【詳解】解：延長、交于點，∵BE⊥AE∴∠AEB=∠AEF=90°平分，，在和中，，，，，，，，，故答案為：6．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線等于第三邊的一半．15.如圖，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，D是BC的中點，E是AC上一動點，將CDE沿DE折疊到，連接AC′，當是直角三角形時，CE的長為_____．【15題答案】【答案】或【解析】【分析】分兩種情形，當或時，分別畫出圖形來解答．【詳解】解：當時，將沿折疊到△，，，點、、三點共線，，，由勾股定理得，設，則，，在△中，由勾股定理得：，解得，，當時，，，，不可能為，綜上，或．故答案為：3或．【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會運用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．三、解答題（共8小題）16.已知，求代數(shù)式的值．【16題答案】【答案】【解析】【分析】將的值代入后利用完全平方公式和平方差公式計算即可．【詳解】解：當時，原式．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則及完全平方公式、平方差公式．17.為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖所示的直線上建一座圖書室．本社區(qū)有兩所學校，所在的位置為點和點處，于點，于點．已知，，，要求圖書室到兩所學校的距離相等．（1）在圖中作出點；（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）求出圖書室到點的距離；（3）連接，，，則的形狀是三角形．【17題答案】【答案】（1）見解析；（2）；（3）等腰直角【解析】【分析】（1）連接，作的中垂線交于點，點即為所求；（2）連接、，設，則，根據(jù)，利用勾股定理列出方程求解可得；（3）證明出，即可得知的形狀．【詳解】解：（1）如圖所示，點即為所求；（2）設，則，，，解得：，圖書室到點的距離為；（3）由（2）知，，，且已知，，在與中，，，，，，，，是等腰直角三角形．故答案為：等腰直角．【點睛】本題主要考查作圖應用設計作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中垂線的尺規(guī)作圖及其性質(zhì)、勾股定理．18.如圖，直線y1＝2x﹣2的圖象與y軸交于點A，直線y2＝-2x+6的圖象與y軸交于點B，兩直線相交于點C．（1）方程組的解是；（2）當與同時成立時，的取值范圍為；（3）求的面積；（4）在直線的圖象上存在異于點的另一點，使得與的面積相等，請求出點的坐標．【18題答案】【答案】（1）；（2）；（3）8；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖象，利用其交點坐標得出方程組解；（2）利用函數(shù)圖象得出在軸上方時，對應取值范圍；（3）利用已知圖象結(jié)合三角形面積求法得出答案；（4）利用三角形面積求法得出點橫坐標，進而代入函數(shù)解析式得出點坐標．【詳解】解：（1）如圖所示：方程組的解為：；故答案為：；（2）如圖所示：當與同時成立時，取何值范圍是：；故答案為：；（3）令，則，，，．．；（4）令，，則，．點異于點，，．．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組以及一次函數(shù)與一元一次不等式和三角形面積求法等知識，解題的關(guān)鍵是正確利用數(shù)形結(jié)合分析．19.某校八年級數(shù)學老師們在全年級開展教學創(chuàng)新對比試驗，所有班級都被設為實驗班或?qū)Ρ劝啵粚W期后對全年級同學進行了數(shù)學水平測試，觀察實驗效果．從實驗班和對比班中各隨機抽取20名學生的測試成績（滿分100）進行整理和分析（成績共分成五組：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表：一、收集、整理數(shù)據(jù)：實驗班20名學生的數(shù)學成績分別為：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99，對比班學生數(shù)學成績在C組和D組的分別為：73，74，74，74，74，76，83，88，89．二、分析數(shù)據(jù)：兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)如表所示：成績平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)實驗班8588.5b對比班81.8a74三、描述數(shù)據(jù)：請根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）①補全頻數(shù)分布直方圖；②填空：a＝，b＝；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為實驗班的數(shù)學成績更好還是對比班的數(shù)學成績更好？判斷并說明理由（兩條理由即可）；（3）如果我校八年級實驗班共有學生900名，對比班共有學生600名，請估計全年級本次數(shù)學成績不低于80分的學生人數(shù)．【19題答案】【答案】（1）①見解析；②，；（2）實驗班的數(shù)學成績更好，理由：實驗班成績的平均數(shù)、中位數(shù)均比對比班的高；（3）大約有人【解析】【分析】（1）①求出實驗班20名學生的測試成績（滿分為的人數(shù)，即可補全頻數(shù)分布直方圖；②根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解可得；（2）根據(jù)實驗班和對比班樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)判定即可；（3）分別用實驗班和對比班的總?cè)藬?shù)乘以各自樣本中成績不低于80分的學生人數(shù)所占比例，相加可得．【詳解】解：（1）①實驗班20名學生測試成績（滿分為的人數(shù)：（人，補全頻數(shù)分布直方圖如圖：；②，，故答案為：79.5，89；（2）實驗班的數(shù)學成績更好，理由：①實驗班樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于對比班樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，②實驗班樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)大于對比班樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（3）對比班20名學生本次數(shù)學成績不低于80分的學生人數(shù)：（人，估計全年級本次數(shù)學成績不低于80分的學生人數(shù)：（人，答：估計全年級本次數(shù)學成績不低于80分的學生人數(shù)有930人．【點睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計總體，讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息時，解題的關(guān)鍵是必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．20.如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，延長CE，BA交于點F，連接AC，DF．（1）求證：四邊形ACDF是平行四邊形；（2）當CF平分∠BCD時，寫出BC與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【20題答案】【答案】（1）證明見解析；（2）BC=2CD，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根據(jù)CD∥AF，即可得出四邊形ACDF是平行四邊形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根據(jù)E是AD的中點，可得AD=2CD，依據(jù)AD=BC，即可得到BC=2CD．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中點，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四邊形ACDF是平行四邊形；（2）BC=2CD．證明如下：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中點，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．【點睛】方法點睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．21.某超市基于對市場行情的調(diào)查，了解到端午節(jié)甲乙兩種品牌的粽子銷路比較好，通過兩次訂貨購進情況分析發(fā)現(xiàn)，買40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，買20箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900元．（1）請求出購進這兩種品牌粽子每箱的價格分別是多少元？（2）該超市在端午節(jié)期間共購進了這兩種品牌粽子200箱，甲品牌粽子每箱以40元價格出售，乙品牌粽子每箱以50元的價格出售，獲得的利潤為元．設購進的甲品牌粽子箱數(shù)為箱，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）在條件（2）的銷售情況下，要求每種品牌粽子進貨箱數(shù)不少于30箱，且乙品牌粽子的箱數(shù)不少于甲品牌粽子箱數(shù)的5倍，當為何值時，該超市獲得最大利潤？最大利潤是多少？【21題答案】【答案】（1）每箱甲牌粽子進價為35元，每箱乙牌粽子瓜進價為40元；（2）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）當時，該超市獲得的最大利潤，最大利潤為1850元【解析】【分析】（1）設每箱甲牌粽子進價為元，每箱乙牌粽子進價為元，根據(jù)買40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，買20箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900元列出方程組并求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論以及“利潤售價成本”解答即可；（3）設購甲牌粽子箱，則購買乙牌粽子為箱，根據(jù)每種品牌粽子進貨箱數(shù)不少于30箱，且乙品牌粽子的箱數(shù)不少于甲品牌粽子箱數(shù)的5倍列出不等式并求得的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）設每箱甲牌粽子進價為元，每箱乙牌粽子進價為元，，解得：，答：每箱甲牌粽子進價為35元，每箱乙牌粽子瓜進價為40元；（2）根據(jù)題意得，，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）設購甲牌粽子箱，則購買乙牌粽子為箱，則且，解得．由（2）得，，隨的增大而減小，當時，最大，（元．答：當時，該超市獲得的最大利潤，最大利潤為1850元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用和二元一次方程組的應用．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系．22.發(fā)現(xiàn)：（1）如圖一，在矩形ABCD中，點E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G．猜想線段GF與GC的數(shù)量關(guān)系是；探究：（2）如圖二，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．應用：（3）如圖三，將（1）中的矩形ABCD改為正方形，邊長AB＝8，其它條件不變，求線段GC的長．【22題答案】【答案】（1）GF＝GC；（1）成立，理由見解析，（3）2．【解析】【分析】（1）如圖1，連接EG，利用矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)即可證明Rt△EFG≌Rt△ECG（HL），進而得出答案．（2）如圖2，連接FC，運用折疊的性質(zhì)和平行四邊形性質(zhì)即可證得∠GFC＝∠GCF，進而得出GF＝GC．即（1）中的結(jié)論仍然成立．（3）由于正方形是特殊的平行四邊形，由（2）的結(jié)論可得GF＝GC，設GF＝GC＝x，則AG＝8+x，DG＝8﹣x，由勾股定理得AG2＝DG2+AD2，建立方程求解即可．【詳解】解：（1）GF＝GC；理由如下：如圖1，連接EG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵E是BC的中點，∴EB＝EC，∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，∴∠AFE＝∠B＝90°，EF＝EB，∴∠EFG＝180°﹣∠AFE＝90°＝∠C，EF＝EC，又∵EG=EG，∴Rt△EFG≌Rt△ECG（HL），∴GF＝GC；故答案為：GF＝GC．（2）（1）中的結(jié)論仍然成立.證明：如圖2，連接FC，∵E是BC的中點，∴BE＝CE，∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，∴EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B+∠ECD=180°，∵∠EFG+∠AFE＝∠EFG+∠B＝180°，∴∠ECD＝∠EFG，∴∠EFG﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF，∴∠GFC＝∠GCF，∴GF＝GC．即（1）中的結(jié)論仍然成立．（3）如圖3，∵正方形是特殊的平行四邊形，∴（2）中的GF＝GC仍然成立，設GF＝GC＝x，則AG＝8+x，DG＝8﹣x，在Rt△ADG中，AG2＝DG2+AD2，∴（8+x）2＝（8﹣x）2+82，解得：x＝2，即CG＝2．【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的