吉林通化梅河口2020-2021學(xué)年八下期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

梅河口市2020-2021學(xué)年第二學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)八年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（人教版）（時(shí)間：120分鐘滿分：120分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．答題時(shí)，考生務(wù)必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無(wú)效．一、選擇題（每小題2分，共12分）1.下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．【詳解】A、被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，故A符合題意；B、被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，故B不符合題意；C、被開(kāi)方數(shù)含分母，故C不符合題意；D、被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，故D不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．2.每年的6月5日為世界環(huán)境保護(hù)日，為提高學(xué)生環(huán)境保護(hù)意識(shí)，某校對(duì)100名學(xué)生進(jìn)行“保護(hù)環(huán)境知多少”測(cè)試，抽取部分統(tǒng)計(jì)如下表：成績(jī)（分）60708090100人數(shù)（人）72023428本次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的眾數(shù)為（）A.80分 B.85分 C.90分 D.100分【答案】C【解析】【分析】直接利用眾數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：由統(tǒng)計(jì)表可知，本次測(cè)試成績(jī)中，90分的人數(shù)最多，有42人，所以本此測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)為90分，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)表、眾數(shù)，理解眾數(shù)的定義，能從統(tǒng)計(jì)表中獲取有效信息是解答的關(guān)鍵．3.下列各組長(zhǎng)度的線段能構(gòu)成直角三角形的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】A【解析】【分析】求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】解：A、302+402=502，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)正確，符合題意；B、72+122≠132，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、52+92≠122，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、32+42≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．4.如圖在?ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周長(zhǎng)為13cm，則?ABCD的周長(zhǎng)為（）A.26cm B.24cm C.20cm D.18cm【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形周長(zhǎng)定義得到AD+DC=9cm．然后由平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)來(lái)求平行四邊形的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵AC=4cm，若△ADC的周長(zhǎng)為13cm，∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∴平行四邊形的周長(zhǎng)為2（AB+BC）=18cm．故選D．5.已知菱形的邊長(zhǎng)和一條對(duì)角線的長(zhǎng)均為2cm，則菱形的面積為()A.3cm2 B.4cm2 C.cm2 D.2cm2【答案】D【解析】【分析】由四邊形ABCD是菱形，可得菱形的四條邊都相等AB=BC=CD=AD，菱形的對(duì)角線互相平分且相等即AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，又因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)和一條對(duì)角線的長(zhǎng)均為2，易求得OB=1，則可得AC的值，根據(jù)菱形的面積等于積的一半，即可求得菱形的面積．【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=2cm，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，又∵菱形的邊長(zhǎng)和一條對(duì)角線的長(zhǎng)均為2，∴AB=AD=BD=2，∴OB=1，∴OA==，∴AC=2，∴菱形面積為2，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半．6.已知將直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線，則下列關(guān)于直線的說(shuō)法正確的是（）A.經(jīng)過(guò)第一、二、四象限 B.與軸交于C.與軸交于 D.隨的增大而減小【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象的平移規(guī)則：左加右減、上加下減得出直線解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵將直線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線，∴直線的解析式為，∵k=1＞0，b=1＞0，∴直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，故A錯(cuò)誤；當(dāng)y=0時(shí)，由0=x+1得：x=，∴直線與x軸交于（，0），故B正確；當(dāng)x=0時(shí)，y=1，即直線與y軸交于（0，1），故C錯(cuò)誤；∵k=1＞0，∴y隨x的增大而增大，故D錯(cuò)誤，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移變換、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟知圖象平移變換規(guī)律，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共24分）7.使得代數(shù)式有意義的x的取值范圍是_____．【答案】x＞3【解析】【分析】二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴x﹣3＞0，∴x＞3，∴x的取值范圍是x＞3，故答案為x＞3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，如果所給式子中含有分母，則除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．8.已知，，則________．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的加減和乘法運(yùn)算法則得出即可；【詳解】解：∵a＝2，b＝2，∴a+b＝（2）+（2）＝4，a﹣b＝（2）﹣（2）＝2；；故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方差以及二次根式的計(jì)算，正確進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算是解題關(guān)鍵．9.如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．

【答案】6cm＃＃6厘米【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得是的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線即可求得．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊，，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，，是的中位線，，，故答案為：6cm．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10.學(xué)校廣播站招聘記者時(shí)，綜合成績(jī)由3部分組成：采訪寫(xiě)作占50%，電腦操作占20%，創(chuàng)意設(shè)計(jì)占30%．應(yīng)聘者小明同學(xué)這3項(xiàng)成績(jī)依次為90分、60分、70分，則小明同學(xué)的綜合成績(jī)?yōu)開(kāi)______分．【答案】78【解析】【分析】利用加權(quán)平均數(shù)的公式即可求出答案．【詳解】解：由題意知，小明成績(jī)=，故答案為：78．【點(diǎn)睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算，能夠理解題意并轉(zhuǎn)化為加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．11.如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】4【解析】【分析】由題意易得OA=OC=5，OD=OB=3，然后根據(jù)勾股定理可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，，∴OA=OC=5，OD=OB=3，∵，∴在Rt△ADO中，，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．12.已知A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）是一次函數(shù)y＝﹣x﹣1圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則y1___y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＞【解析】【分析】由一次函數(shù)可知y隨x值的增大而減小，只需比較﹣3＜﹣2，即可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)y＝﹣x﹣1中，k＝﹣1＜0，∴y隨x值的增大而減小，∵﹣3＜﹣2，∴y1＞y2，故答案為＞．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13.若一次函數(shù)y=（2m﹣1）x+3﹣2m的圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限，則m的取值范圍是__________．【答案】m＜【解析】【詳解】∵y=（2m﹣1）x+3﹣2m的圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限，∴（2m﹣1）＜0，3﹣2m＞0∴解不等式得：m＜，m＜，∴m的取值范圍是m＜．故答案為m＜.14.如圖，在矩形中，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，且于，于，則的值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】首先連接OP，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，可求得OA＝OD＝以及△AOD的面積，繼而可得＝（PE＋PF），則可求得答案．【詳解】解：連接OP，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OD＝BD，，∵AB＝3，AD＝4，∴＝3×4＝12，BD＝5，∴＝＝3，OA＝OC＝，∵＝OA?PE＋OD?PF＝××PE＋××PF＝（PE＋PF）＝3，∴PE＋PF＝．故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理、三角形面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．三、解答題（每小題5分，共20分）15.計(jì)算：．【答案】0【解析】【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．16.如圖，在△ABC中，D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．證明：四邊形DECF是平行四邊形．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】先由中位線定理得到DF∥BC，，再利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定即可．【詳解】證明：∵D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．∴DF∥BC，，∴四邊形DECF是平行四邊形．17.如圖所示是一塊菜地，已知，，，，，求這塊菜地的面積．【答案】96（m2）．【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理可求出∠ACB＝90°，可求出△ACB的面積，減去△ACD的面積，可求出四邊形ABCD的面積．【詳解】解：如圖，連接AC．∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，∴AC10（m）．∵AB＝26m，BC＝24m，102+242＝262．即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°．∴四邊形ABCD的面積＝S△ABC﹣S△ACD10×246×8＝96（m2）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵判斷出直角三角形從而可求出面積．18.已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求這個(gè)正比例函數(shù)的解析式；（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)、點(diǎn)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上．【答案】（1）；（2）點(diǎn)A（-1，3）在正比例函數(shù)圖像上，點(diǎn)B（-1，2）不在正比例函數(shù)圖像上【解析】【分析】（1）把點(diǎn)（2，-6）代入正比例函數(shù)解析式中求解即可；（2）令，則，由此判定即可．【詳解】解：（1）∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-6），∴，解得，∴正比例函數(shù)的解析式為；（2）令，則，∴點(diǎn)A（-1，3）在正比例函數(shù)圖像上，點(diǎn)B（-1，2）不在正比例函數(shù)圖像上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正比例函數(shù)解析式，正比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．四、解答題（每小題7分，共28分）19.如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，的延長(zhǎng)線上，且，分別與，交于點(diǎn)，．求證．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出AF＝EC，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，．∴．∵，∴，即．在和中，∴．∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20.如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，若小方格邊長(zhǎng)為．（1）試判斷是什么形狀，并說(shuō)明理由；（2）若為邊的中點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)．【答案】（1）三角形ABC是直角三角形，理由見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）先利用勾股定理分別求出AB，BC，AC的長(zhǎng)，然后利用勾股定理的逆定理求解即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可．【詳解】解：（1）三角形ABC是直角三角形，理由如下：由題意得：，，，∴,∴三角形ABC是直角三角形；（2）∵D為BC邊的中點(diǎn)，三角形ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．21.已知直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，．（1）求直線的解析式；（2）若第二、四象限的角平分線與直線交于點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線l1的解析式為，然后把A（-4，0），B（0，8）代入求解即可；（2）先求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)直線l1的解析式為，∴，解得，∴直線l1的解析式為；（2）聯(lián)立，解得，∴C（，），∵A（-4，0），∴OA=4，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，求兩直線的交點(diǎn)，三角形面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．22.為進(jìn)一步了解本班學(xué)生的小組學(xué)習(xí)情況，張老師將、兩組學(xué)生成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)．過(guò)程如下：【收集數(shù)據(jù)】組：組：【整理數(shù)據(jù)】整理以上數(shù)據(jù)，得到學(xué)生成績(jī)（分）的頻數(shù)分布表：成績(jī)/分組人數(shù)組人數(shù)【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到以下統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)中位數(shù)方差組組根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）表格中的_______，_______；（2）求組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)；（3）請(qǐng)你依據(jù)方差，分析兩組學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)哪組比較穩(wěn)定．【答案】（1）3，83；（2）76.6；（3）B組學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)比較穩(wěn)定【解析】【分析】（1）根據(jù)A組數(shù)據(jù)直接判斷解題，再由中位數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)按順序排列，位于正中間的一個(gè)數(shù)（或正中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）是中位數(shù)；（2）利用平均數(shù)的定義解題；（3）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的方差，方差越小，越穩(wěn)定．【詳解】解：（1）由A組一共有10個(gè)數(shù)據(jù)得，位于60≤x＜85的數(shù)有10-1-2-4=3個(gè)，按順序排列，位于正中間的兩個(gè)數(shù)是84，82，中位數(shù)是，故答案為：3，83；（2）B組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為：（99+95+84+83+80+80+70+70+55+50）÷10＝76.6；（3）即B組的方差比A組小，∴B組的成績(jī)比A組的成績(jī)穩(wěn)定．∴B組的學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)比較穩(wěn)定．【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、平均數(shù)、方差等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．五、解答題（每小題8分，共16分）23.如圖，正方形中，是上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接.（1）求證：.（2）若正方形邊長(zhǎng)是5，，求的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)ASA證明△ABE≌△BCF，可得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）得：△ABE≌△BCF，則CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的長(zhǎng).【詳解】解:（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BH⊥AE，∴∠BHE=90°，∴∠AEB+∠EBH=90°，∴∠BAE=∠EBH，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：∵AB=BC=5，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∴DF=5-2=3，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=5，∠ADF=90°，由勾股定理得：AF=．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，本題證明△ABE≌△BCF是解本題的關(guān)鍵.24.如圖，在矩形中，是邊上的點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，四邊形的形狀是_______；（2）如圖2，當(dāng)是的中點(diǎn)，在矩形內(nèi)部時(shí)，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．①求證：；②若，試探索線段與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）正方形；（2）①見(jiàn)解析；②CF=DF，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)有三個(gè)角是直角得四邊形ABGE是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可以得到AE=BG=AB，從而得四邊形ABGE是正方形；（2）①連接EF，在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝∠D＝90°，由△ABE沿BE折疊得到△GBE，可得BG＝AB，EG＝AE＝ED，∠A＝∠BGE＝90°，進(jìn)而可證△EGF≌△EDF，由此求解即可；②設(shè)AB＝DC＝a，則DF＝b，在Rt△BCF中，由勾股定理可得4ab＝2a2，進(jìn)而可得，則．【詳解】解：（1）正方形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，由折疊得：∠BGE＝∠A＝90°，∠ABE＝∠EBG＝45°，AB=BG∴四邊形ABGE是矩形，∴AE=BG=AB，∴矩形ABGE是正方形；故答案為：正方形；（2）①證明：如圖，連接EF，在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝∠D＝90°，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵△ABE沿BE折疊得到△GBE，∴BG＝AB，EG＝AE＝ED，∠A＝∠BGE＝90°，∴∠EGF＝∠D＝90°，在Rt△EGF和Rt△EDF中，∵EG＝ED，EF＝EF，∴△EGF≌△EDF（HL）∴GF=DF，∴BF=BG+GF=AB+DF；②，理由如下設(shè)AB＝DC＝a，DF＝b，∴AD＝BC＝a，由①得：BF＝AB＋DF，∴BF＝a＋b，CF＝a-b，在Rt△BCF中，由勾股定理得：，∴，∴4ab＝2a2，∵a≠0，∴2b＝a，∴2DF=CD，∴．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：矩形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，正方形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．六、解答題（每小題10分，共20分）25.如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以秒速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）直接寫(xiě)出當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）能，當(dāng)t＝10時(shí)，?AEFD是菱形；（3）當(dāng)t＝時(shí)，△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；當(dāng)t＝12時(shí)，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．【解析】【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的長(zhǎng)，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長(zhǎng)，即可證明；（2）先證明四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD＝AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方程求得t的值；（3）分三種情況，即∠EDF=90°，∠DEF=90°，∠DFE=90°，再建立方程求解即可．【詳解】解：（1）證明：由題意得：CD＝4t，AE＝2t，又∵在Rt△CDF中，∠A＝60°，∴∠C＝30°∴DF＝CD＝2t，∴DF＝AE；（2）∵DF⊥BC，∠B=90°，∴

DFAB，∵

DF＝AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD＝AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，即60﹣4t＝2t，解得：t＝10，即當(dāng)t＝10時(shí)，?AEFD是菱形；（3）當(dāng)t＝時(shí)，△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；當(dāng)t＝12時(shí)，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．理由如下：當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，DEBC．∴∠ADE＝∠C＝30°∴AD＝2AE∵CD＝4t，∴DF＝2t＝AE，∴AD＝4t，∴4t+4t＝60，∴t＝時(shí)，∠EDF＝90°．當(dāng)∠DEF＝90°時(shí)，DE⊥EF，由DFAE，DF=AE，∴

四邊形AEFD是平行四邊形，∴ADEF，∴DE⊥AD，∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∵∠A＝60°，∴