2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題01 集合與常用邏輯用語-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題01集合與常用邏輯用語-專項(xiàng)訓(xùn)練考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1集合間的基本關(guān)系（10年2考）2023·全國(guó)新Ⅱ卷、2020全國(guó)新Ⅰ卷一般給兩個(gè)集合，要求通過解不等式求出集合，然后通過集合的運(yùn)算得出答案。考點(diǎn)2交集（10年10考）2024·全國(guó)新Ⅰ卷、2024年全國(guó)甲卷、2023·北京卷、2023全國(guó)新Ⅰ卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2022年全國(guó)乙卷、2022年全國(guó)甲卷、2022全國(guó)新Ⅰ卷、2021年全國(guó)乙卷、2021年全國(guó)甲卷、2021年全國(guó)甲卷、2021全國(guó)新Ⅰ卷考點(diǎn)3并集（10年8考）2024·北京卷、2022·浙江卷、2021·北京卷、2020·山東卷、2019·北京卷、2017·浙江卷、2017·全國(guó)卷、2016·山東卷、2016·全國(guó)卷、2015·全國(guó)卷考點(diǎn)4補(bǔ)集（10年8考）2024年全國(guó)甲卷、2023年全國(guó)乙卷、2023年全國(guó)乙卷、2022·全國(guó)乙卷、2022·北京卷、2021全國(guó)新Ⅱ卷、2020全國(guó)新Ⅰ卷、2018·浙江卷、2018·全國(guó)卷、2017·北京卷考點(diǎn)5充分條件與必要條件（10年10考）2024·全國(guó)甲卷、2024·天津卷、2024·北京卷、2023·北京卷、2023·全國(guó)甲卷、2023·天津卷、2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全國(guó)甲卷常以關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)作為命題背景，考查充分條件與必要條件，難度隨載體而定。考點(diǎn)6全稱量詞與存在量詞（10年4考）2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2020·全國(guó)新Ⅰ卷、2016·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全國(guó)卷、2015·湖北卷全稱量詞命題和存在量詞命題的否定及參數(shù)求解是高考復(fù)習(xí)和考查的重點(diǎn)?？键c(diǎn)01集合間的基本關(guān)系1．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．2．（2020全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知，若集合，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)02交集1．（2024·全國(guó)新Ⅰ卷高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（2024年全國(guó)甲卷高考真題）若集合，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．4．（2023全國(guó)新Ⅰ卷高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．6．（2022年全國(guó)乙卷·高考真題）集合，則（

）A． B． C． D．7．（2022年全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．8．（2022全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．9．（2021年全國(guó)乙卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．10．（2021年全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．11．（2021年全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B．C． D．12．（2021全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)03并集1．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．（2022·浙江·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．4．（2020·山東·高考真題）設(shè)集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，則A∪B=（

）A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}5．（2019·北京·高考真題）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）6．（2017·浙江·高考真題）已知集合，那么A．（-1,2） B．（0，1） C．（-1,0） D．（1,2）7．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，則A． B． C． D．8．（2016·山東·高考真題）設(shè)集合則=A． B． C． D．9．（2016·全國(guó)·高考真題）已知集合，，則A． B． C． D．10．（2015·全國(guó)·高考真題）已知集合則（）A． B． C． D．考點(diǎn)04補(bǔ)集1．（2024年全國(guó)甲卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（2023年全國(guó)乙卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．3．（2023年全國(guó)乙卷·高考真題）設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．4．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．5．（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．6．（2021全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．7．（2020全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知全集，集合，則等于（

）A． B． C． D．8．（2018·浙江·高考真題）已知全集，，則（

）A． B． C． D．9．（2018·全國(guó)·高考真題）已知集合，則A． B．C． D．10．（2017·北京·高考真題）已知全集，集合，則A． B．C． D．考點(diǎn)05充分條件與必要條件1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件2．（2024·天津·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件6．（2023·天津·高考真題）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件7．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8．（2022·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件考點(diǎn)06全稱量詞與存在量詞1．（2024·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題2．（2020·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）下列命題為真命題的是（

）A．且 B．或C．， D．，3．（2016·浙江·高考真題）命題“，使得”的否定形式是A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得4．（2015·浙江·高考真題）命題“且的否定形式是（）A．且B．或C．且D．或5．（2015·全國(guó)·高考真題）設(shè)命題，則為A． B．C． D．6．（2015·湖北·高考真題）命題“，”的否定是A．， B．，C．， D．，參考答案與詳細(xì)解析考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1集合間的基本關(guān)系（10年2考）2023·全國(guó)新Ⅱ卷、2020全國(guó)新Ⅰ卷一般給兩個(gè)集合，要求通過解不等式求出集合，然后通過集合的運(yùn)算得出答案?？键c(diǎn)2交集（10年10考）2024·全國(guó)新Ⅰ卷、2024年全國(guó)甲卷、2023·北京卷、2023全國(guó)新Ⅰ卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2022年全國(guó)乙卷、2022年全國(guó)甲卷、2022全國(guó)新Ⅰ卷、2021年全國(guó)乙卷、2021年全國(guó)甲卷、2021年全國(guó)甲卷、2021全國(guó)新Ⅰ卷考點(diǎn)3并集（10年8考）2024·北京卷、2022·浙江卷、2021·北京卷、2020·山東卷、2019·北京卷、2017·浙江卷、2017·全國(guó)卷、2016·山東卷、2016·全國(guó)卷、2015·全國(guó)卷考點(diǎn)4補(bǔ)集（10年8考）2024年全國(guó)甲卷、2023年全國(guó)乙卷、2023年全國(guó)乙卷、2022·全國(guó)乙卷、2022·北京卷、2021全國(guó)新Ⅱ卷、2020全國(guó)新Ⅰ卷、2018·浙江卷、2018·全國(guó)卷、2017·北京卷考點(diǎn)5充分條件與必要條件（10年10考）2024·全國(guó)甲卷、2024·天津卷、2024·北京卷、2023·北京卷、2023·全國(guó)甲卷、2023·天津卷、2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全國(guó)甲卷常以關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)作為命題背景，考查充分條件與必要條件，難度隨載體而定?？键c(diǎn)6全稱量詞與存在量詞（10年4考）2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2020·全國(guó)新Ⅰ卷、2016·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全國(guó)卷、2015·湖北卷全稱量詞命題和存在量詞命題的否定及參數(shù)求解是高考復(fù)習(xí)和考查的重點(diǎn)。考點(diǎn)01集合間的基本關(guān)系1．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，則有：若，解得，此時(shí)，，不符合題意；若，解得，此時(shí)，，符合題意；綜上所述：.故選：B.2．（2020全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知，若集合，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，集合，，可得，滿足充分性，若，則或，不滿足必要性，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.考點(diǎn)02交集1．（2024·全國(guó)新Ⅰ卷高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)集合，由交集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)椋易⒁獾?，從?故選：A.2．（2024年全國(guó)甲卷高考真題）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳解】依題意得，對(duì)于集合中的元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選：C3．（2023·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳解】由題意，，，根據(jù)交集的運(yùn)算可知，.故選：A4．（2023全國(guó)新Ⅰ卷高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)?，而，所以．故選：C．方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．5．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：求出集合后可求.【詳解】[方法一]：直接法因?yàn)?，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解．6．（2022年全國(guó)乙卷·高考真題）集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A.7．（2022年全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A.8．（2022全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D9．（2021年全國(guó)乙卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.10．（2021年全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.11．（2021年全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集定義運(yùn)算即可【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.12．（2021全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集的定義可求.【詳解】由題設(shè)有，故選：B.考點(diǎn)03并集1．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳解】由題意得.故選：C.2．（2022·浙江·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用并集的定義可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故選：D.3．（2021·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合題意利用并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：.故選：B.4．（2020·山東·高考真題）設(shè)集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，則A∪B=（

）A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}【答案】C【分析】根據(jù)集合并集概念求解.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合并集，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5．（2019·北京·高考真題）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）【答案】C【分析】根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【詳解】∵，∴，故選C.【點(diǎn)睛】考查并集的求法，屬于基礎(chǔ)題.6．（2017·浙江·高考真題）已知集合，那么A．（-1,2） B．（0，1） C．（-1,0） D．（1,2）【答案】A【詳解】利用數(shù)軸，取所有元素，得．【名師點(diǎn)睛】對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問題，應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖處理．7．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，則A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，故選A.8．（2016·山東·高考真題）設(shè)集合則=A． B． C． D．【答案】C【詳解】A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．B＝{x|x2－1<0}＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1<x<1}＝{x|x>－1}，故選C．9．（2016·全國(guó)·高考真題）已知集合，，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：集合，而，所以，故選C.【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問題，應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.10．（2015·全國(guó)·高考真題）已知集合則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?,所以故選A.考點(diǎn)04補(bǔ)集1．（2024年全國(guó)甲卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的定義求出，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，故選：D2．（2023年全國(guó)乙卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得的值，然后計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.3．（2023年全國(guó)乙卷·高考真題）設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.4．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤故選:5．（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng)．【詳解】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．6．（2021全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.【詳解】由題設(shè)可得，故，故選：B.7．（2020全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知全集，集合，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用補(bǔ)集概念求解即可.【詳解】.故選：C8．（2018·浙江·高考真題）已知全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿?，，所以根?jù)補(bǔ)集的定義得，故選C.【點(diǎn)睛】若集合的元素已知，則求集合的交集、并集、補(bǔ)集時(shí)，可根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義求解．9．（2018·全國(guó)·高考真題）已知集合，則A． B．C． D．【答案】B【詳解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，從而求得集合A，之后根據(jù)集合補(bǔ)集中元素的特征，求得結(jié)果.詳解：解不等式得，所以，所以可以求得，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)一元二次不等式的解法以及集合的補(bǔ)集的求解問題，在解題的過程中，需要明確一元二次不等式的解集的形式以及補(bǔ)集中元素的特征，從而求得結(jié)果.10．（2017·北京·高考真題）已知全集，集合，則A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榛?，所以，故選：C．【名師點(diǎn)睛】集合分為有限集合和無限集合，若集合個(gè)數(shù)比較少時(shí)可以用列舉法表示；若集合是無限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么．集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問題，應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或Venn圖進(jìn)行處理．考點(diǎn)05充分條件與必要條件1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，則，解得，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2024·天津·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】說明二者與同一個(gè)命題等價(jià)，再得到二者等價(jià)，即是充分必要條件.【詳解】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，和都當(dāng)且僅當(dāng)，所以二者互為充要條件.故選：C.3．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價(jià)于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因?yàn)椋傻?，即，可知等價(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.4．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】解法一：由化簡(jiǎn)得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡(jiǎn)即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【詳解】解法一：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因?yàn)椋?，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因?yàn)椋?，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成?所以“”是“”的充要條件.故選：C5．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，例如但，即推不出；當(dāng)時(shí)，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B6．（2023·天津·高考真題）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】由，則，當(dāng)時(shí)不成立，充分性不成立；由，則，即，顯然成立，必要性成立；所以是的必要不充分條件.故選：B7．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C8．（2022·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.9．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的