2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGE2．2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征[目標]1.會求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、方差；2.理解用樣本的數(shù)字特征來估計總體數(shù)字特征的方法；3.會應(yīng)用相關(guān)學(xué)問解決簡潔的統(tǒng)計實際問題．[重點]樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、方差的求解及應(yīng)用．[難點]對樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、方差意義的理解．學(xué)問點一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)[填一填]名稱定義在頻率分布直方圖中的估計方法眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)最高的矩形的中點中位數(shù)一組數(shù)據(jù)按從小到大的依次排成一列，處于中間位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商稱為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和[答一答]1．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)唯一嗎？提示：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)都是唯一的，眾數(shù)不唯一，可以有一個，也可以有多個，還可以沒有．假如有兩個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這兩個數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．2．在一組數(shù)據(jù)中，共有10個數(shù)，其中3出現(xiàn)2次，9出現(xiàn)4次，－3出現(xiàn)1次，5出現(xiàn)3次，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5.4.解析：3出現(xiàn)2次，其和為6,9出現(xiàn)4次，其和為36，－3出現(xiàn)1次，其和為－3,5出現(xiàn)3次，其和為15，則這10個數(shù)據(jù)之和為6＋36－3＋15＝54，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(54,10)＝5.4.學(xué)問點二標準差、方差[填一填]1．標準差(1)定義：標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．(2)計算公式：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).2．方差(1)定義：標準差的平方．(2)計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．[答一答]3．標準差與方差的作用是什么？提示：(1)標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．(2)因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采納標準差．4．現(xiàn)有10個數(shù)，其平均數(shù)為3，且這10個數(shù)的平方和是100，那么這個數(shù)組的標準差是1.解析：由s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2，得s2＝eq\f(1,10)×100－32＝1，所以s＝1.類型一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及應(yīng)用命題視角1：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算[例1]已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是()A．平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)B．平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C．中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)D．眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù)[解析]一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80，它的平均數(shù)為eq\f(1,8)×(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位數(shù)為eq\f(1,2)×(50＋50)＝50，眾數(shù)為50，∴它們的大小關(guān)系是平均數(shù)＝中位數(shù)＝眾數(shù)．故選D.[答案]D平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法平均數(shù)一般是依據(jù)公式來計算的；計算眾數(shù)、中位數(shù)時，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的依次排列，再依據(jù)各自的定義計算．[變式訓(xùn)練1]已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值eq\x\to(x)＝5，則樣本數(shù)據(jù)2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值為11.解析：由條件知eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，則所求均值eq\x\to(x)0＝eq\f(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1,n)＝eq\f(2x1＋x2＋…＋xn＋n,n)＝2eq\x\to(x)＋1＝2×5＋1＝11.命題視角2：直方圖中眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算[例2]從高三抽出50名學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽，由成果得到如下的頻率分布直方圖．試利用頻率分布直方圖求：(1)這50名學(xué)生成果的眾數(shù)與中位數(shù)；(2)這50名學(xué)生的平均成果．[解](1)由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在頻率分布直方圖中高度最高的小長方形的中間值即為所求，所以眾數(shù)應(yīng)為75分．由于中位數(shù)是全部數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中全部小矩形的面積一分為二的直線所對應(yīng)的成果即為所求．因為0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3.所以前三個小矩形面積的和為0.3.而第四個小矩形面積為0.03×10＝0.3,0.3＋0.3>0.5，所以中位數(shù)應(yīng)位于第四個小矩形內(nèi)．設(shè)其為x，高為0.03，所以令0.03(x－70)＝0.2，得x≈76.7(分)．(2)樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”，即全部數(shù)據(jù)的平均值，取每個小矩形底邊的中點值乘以每個小矩形的面積求和即可．所以平均成果為45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65(分)，所以眾數(shù)是75分，中位數(shù)約為76.7分，平均成果為73.65分．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系1眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)的估計值為最高矩形的底邊中點的橫坐標.2中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.3平均數(shù)：平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點橫坐標之和.[變式訓(xùn)練2]一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，請你在直方圖中標出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)對應(yīng)的位置(用虛線標明)，并依據(jù)直方圖讀出其相應(yīng)的估計值．解：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)對應(yīng)的位置如圖中虛線所示(眾數(shù)：右端虛線，中位數(shù)：左端虛線，平均數(shù)：左端虛線)．由直方圖視察可得眾數(shù)為2.25，中位數(shù)為2.02，平均數(shù)為2.02.命題視角3：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用[例3]據(jù)報道，某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？(精確到元)(3)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法．[解](1)平均數(shù)是eq\x\to(x)＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091(元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(2)平均數(shù)是eq\x\to(x′)＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288(元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(3)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平．當(dāng)數(shù)據(jù)較大時，求平均數(shù)時通常先減去某一個常數(shù)如本例中可先減一個1500，而后再求較為簡潔，由于平均數(shù)受極端值影響很大，故有時平均數(shù)不肯定能客觀地反映總體狀況，深刻理解平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的特點，結(jié)合實際狀況敏捷運用.[變式訓(xùn)練3]高一(3)班有男同學(xué)27名，女同學(xué)21名，在一次語文測驗中，男同學(xué)的平均分是82分，中位數(shù)是75分，女同學(xué)的平均分是80分，中位數(shù)是80分．(1)求這次測驗全班的平均分(精確到0.01分)；(2)估計全班成果在80分以下(含80分)的同學(xué)至少有多少人？(3)分析男同學(xué)的平均分與中位數(shù)相差較大的主要緣由．解：(1)利用平均數(shù)計算公式得eq\x\to(x)＝eq\f(1,48)×(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)∵男同學(xué)成果的中位數(shù)是75分，∴至少有14人得分不超過75分．又女同學(xué)成果的中位數(shù)是80分，∴至少有11人得分不超過80分．所以估計全班至少有25人得分低于80分(含80分)．(3)男同學(xué)的平均分與中位數(shù)的差別較大，說明男同學(xué)的成果中兩極分化現(xiàn)象嚴峻，分數(shù)高的和低的相差較大．類型二方差、標準差及應(yīng)用命題視角1：方差、標準差的計算[例4]一組數(shù)據(jù)：10,11,12,11,14,8的方差是________，標準差是________．[解析]方法1：eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(10＋11＋12＋11＋14＋8)＝11，所以s2＝eq\f(1,6)×[(10－11)2＋(11－11)2＋(12－11)2＋(11－11)2＋(14－11)2＋(8－11)2]＝eq\f(1,6)×(1＋0＋1＋0＋9＋9)＝eq\f(10,3)，s＝eq\r(\f(10,3))＝eq\f(\r(30),3).方法2：由于該組數(shù)據(jù)都集中在11旁邊，故每一個數(shù)據(jù)都減去11得到一組新數(shù)據(jù)：－1,0,1,0,3，－3，該組數(shù)據(jù)的方差與原數(shù)據(jù)組方差相等.eq\x\to(x)1＝0，∴s2＝eq\f(1,6)[(－1)2＋02＋12＋02＋32＋(－3)2]＝eq\f(10,3)，s＝eq\f(\r(30),3).[答案]eq\f(10,3)eq\f(\r(30),3)方法2適用于每個數(shù)據(jù)都比較接近同一個數(shù)的問題，當(dāng)數(shù)據(jù)又大又多時，更能體現(xiàn)方法2的優(yōu)越性.[變式訓(xùn)練4]一組數(shù)據(jù)：3,4,6,7,10，其標準差是eq\r(6).解析：∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(3＋4＋6＋7＋10)＝6，∴s2＝eq\f(1,5)×[(3－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(10－6)2]＝eq\f(1,5)×(9＋4＋0＋1＋16)＝6.∴s＝eq\r(6).命題視角2：方差、標準差的實際應(yīng)用[例5]甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)依據(jù)計算結(jié)果推斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．[分析]先計算平均數(shù)和方差，再由方差大小推斷質(zhì)量穩(wěn)定狀況．[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同．又seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．用樣本估計總體時，樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似.實際應(yīng)用中，當(dāng)所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等時，需先分析平均水平，再計算標準差方差分析穩(wěn)定狀況.[變式訓(xùn)練5]某工廠甲、乙兩名工人參與操作技能培訓(xùn)，他們在培訓(xùn)期間參與的8次測試成果記錄如下：甲9582888193798478乙8392809590808575試比較哪個工人的成果較好．解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲的成果較穩(wěn)定．綜上可知，甲的成果較好．1．下列各數(shù)字特征中，能反映一組數(shù)據(jù)離散程度的是(C)A．眾數(shù) B．平均數(shù)C．標準差 D．中位數(shù)解析：反映數(shù)據(jù)離散程度的量是方差和標準差．故選C.2．10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有(D)A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a解析：眾數(shù)c＝17，中位數(shù)b＝15，平均數(shù)a＝14.7，即a<b<c.故選D.3．在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是(D)A．眾數(shù) B．平均數(shù)C．中位數(shù) D．標準差解析：依據(jù)標準差的性質(zhì)，易知答案為D.4．甲、乙兩種水稻，經(jīng)統(tǒng)計甲水稻的株高方差是2.0，乙水稻的株高標準差是1.8，可估計甲水稻比乙水稻長得整齊．解析：因方差、標準差都衡量數(shù)據(jù)的波動性，2<(1.8)2.5.某市有210名初中生參與數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽，隨機調(diào)閱了60名學(xué)生的答卷，成果如