2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(十四)空間向量及其加減運(yùn)算空間向量的數(shù)乘運(yùn)算(建議用時(shí)：60分鐘)一、選擇題1．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①任一向量與它的相反向量不相等；②長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|；⑤兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同．A．0B．1C．2D．3B[因?yàn)榱阆蛄颗c它的相反向量相等，所以①不正確；依據(jù)向量的定義，知長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量，②正確；平行且模相等的兩個(gè)向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正確；當(dāng)a＝－b時(shí)，也有|a|＝|b|，④不正確；只要模相等、方向相同，兩個(gè)向量就是相等向量，與向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)無(wú)關(guān)，⑤不正確．綜上可知只有②正確，故選B．]2．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(DB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋λeq\o(CB,\s\up7(→))，則λ等于()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)A[∵eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))，∴λ＝eq\f(2,3)．]3．非零向量e1，e2不共線，使ke1＋e2與e1＋ke2共線的k等于()A．0 B．1C．－1 D．±1D[若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1，))∴k＝±1．]4．在下列條件中，使M與A，B，C肯定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))B．eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0C．eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))C[∵eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up7(→))＝－eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))，∴M與A，B，C必共面．]5．已知在長(zhǎng)方形ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且AF＝eq\f(1,2)EF，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))D．eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))D[如圖所示，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))，eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))，eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))，故選D．]二、填空題6．在四面體O-ABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(OE,\s\up7(→))＝________．(用a，b，c表示)eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c[eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c．]7．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外隨意一點(diǎn)，若由eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋λeq\o(OC,\s\up7(→))確定的一點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面，則λ＝________．eq\f(2,15)[依據(jù)P，A，B，C四點(diǎn)共面的條件，知存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))成立，其中x＋y＋z＝1，于是eq\f(1,5)＋eq\f(2,3)＋λ＝1，所以λ＝eq\f(2,15)．]8．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋2yeq\o(BC,\s\up7(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up7(→))，則x＋y＋z＝________．eq\f(7,6)[如圖所示，eq\o(AC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋(－1)eq\o(C1C,\s\up7(→))．又∵eq\o(AC1,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋2yeq\o(BC,\s\up7(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up7(→))，∴xeq\o(AB,\s\up7(→))＋2yeq\o(BC,\s\up7(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋(－1)eq\o(C1C,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2y＝1，,3z＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(1,2)，,z＝－\f(1,3)，))∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6)．]三、解答題9．已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點(diǎn)．求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋xeq\o(PC,\s\up7(→))＋yeq\o(PA,\s\up7(→))；(2)eq\o(PA,\s\up7(→))＝xeq\o(PO,\s\up7(→))＋yeq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))．[解]如圖所示，(1)∵eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))，∴x＝y(tǒng)＝－eq\f(1,2)．(2)∵eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))－eq\o(PC,\s\up7(→))．又∵eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))＝2eq\o(PQ,\s\up7(→))，∴eq\o(PC,\s\up7(→))＝2eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PD,\s\up7(→))．從而有eq\o(PA,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))－(2eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PD,\s\up7(→)))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))－2eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))．∴x＝2，y＝－2．10．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求證：eq\o(A1N,\s\up7(→))與eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))共面．[證明]∵eq\o(A1B,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))＝eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1M,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up7(→))，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))與eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))共面．1．給出下列命題：①若A，B，C，D是空間隨意四點(diǎn)，則有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；③若eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))共線，則AB∥CD；④對(duì)空間隨意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面．其中不正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4C[明顯①正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②錯(cuò)誤；若eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))共線，則直線AB，CD可能重合，故③錯(cuò)誤；只有當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，故④錯(cuò)誤．故選C．]2．如圖是一平行六面體ABCD-A1B1C1D1，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2eq\o(CE,\s\up7(→))，則eq\o(D1E,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))B[取BC的中點(diǎn)F，連接A1F，則A1D1綊FE，所以四邊形A1D1EF是平行四邊形，所以A1F綊D1E，所以eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\o(D1E,\s\up7(→))．又eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(D1E,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))，故選B．]3．已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up7(→))＋meq\o(OB,\s\up7(→))＋neq\o(OC,\s\up7(→))＝0，那么λ＋m＋n的值為________．0[由λeq\o(OA,\s\up7(→))＋meq\o(OB,\s\up7(→))＋neq\o(OC,\s\up7(→))＝0得eq\o(OA,\s\up7(→))＝－eq\f(m,λ)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\f(n,λ)eq\o(OC,\s\up7(→))由A，B，C三點(diǎn)共線知－eq\f(m,λ)－eq\f(n,λ)＝1，則λ＋m＋n＝0．]4．如圖，O為△ABC所在平面外一點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，若eq\o(AG,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))與eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up7(→))同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)λ的值為_________________________．eq\f(1,2)[eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λeq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，所以1－λ＝eq\f(1,2)，eq\f(λ,2)＝eq\f(1,4)，解得λ＝eq\f(1,2)．]5．如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1．(1)證明：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)若eq\o(EF,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))＋zeq\o(AA1,\s\up7(→))，求x＋y＋z的值．[解](