安徽省馬鞍山市2024-2025學(xué)年高一上冊(cè)期中測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

安徽省馬鞍山市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)和座位號(hào)填在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本大題共8個(gè)題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則集合的子集共有（）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【正確答案】C【分析】根據(jù)子集的定義逐一列舉求解.【詳解】因?yàn)榧?，所以集合的子集有：，，?所以集合的子集共有4個(gè).故選：C.2.已知或，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】令，，依題意可得，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榛颍?，令，，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，所以.故選：D3.下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A. B.C D.【正確答案】A【分析】利用同一個(gè)函數(shù)條件是定義域相同，解析式也要相同，從而來(lái)作出判斷.【詳解】選項(xiàng)A，解析式等價(jià)，定義域也相同，所以是同一個(gè)函數(shù)；選項(xiàng)B，解析式化簡(jiǎn)后相同，但定義域不同，因?yàn)榉帜覆荒苋?，所以不是同一個(gè)函數(shù)；選項(xiàng)C，解析式化簡(jiǎn)后都是1，但定義域不同，因?yàn)?的0次冪沒(méi)有意義，所以不是同一個(gè)函數(shù)；選項(xiàng)D，解析式不同，定義域也不同，所以不是同一個(gè)函數(shù).故選:A.4.一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為，面積為，則下列四組數(shù)對(duì)中，可作為數(shù)對(duì)的有（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬為，通過(guò)基本不等式得出和的關(guān)系，最后將各個(gè)選項(xiàng)數(shù)據(jù)依次代入檢驗(yàn)，得出正確的結(jié)果．【詳解】設(shè)矩形長(zhǎng)寬分別為，則，，由基本不等式，可得.對(duì)于A，，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，不合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，不合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，符合題意，故D正確.故選：D.5.函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，所以的取值范圍是.故選：A.6.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用函數(shù)定義域和圖象上的點(diǎn)，排除法選擇正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)椋珺D選項(xiàng)排除；時(shí)，，A選項(xiàng)排除.故選：C.7.設(shè)函數(shù)，若，則（）A. B. C.或 D.或【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分類(lèi)討論，分別計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，又，所以或，解得?故選：C8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，任取x，，當(dāng)時(shí)恒有成立，且存在正數(shù)m使得，則（）A. B.0 C.1 D.2【正確答案】C【分析】令，判斷出函數(shù)的奇偶性，再令，，求出，再求出函數(shù)的周期，根據(jù)函數(shù)的周期求解即可.【詳解】令，則，故，所以為定義域內(nèi)的奇函數(shù)，令，得，解得，所以，是以，所以函數(shù)是以為周期的一個(gè)周期函數(shù)，所以.故選：C.方法點(diǎn)睛：函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性．（2）周期性與奇偶性相結(jié)合，此類(lèi)問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類(lèi)問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.二、選擇題:本大題共4個(gè)題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.9.下列命題中，真命題的是（）A. B.平行四邊形的對(duì)角線互相平分C.對(duì)任意的，都有 D.菱形的兩條對(duì)角線相等【正確答案】AB【分析】對(duì)A，求出判別式判斷；對(duì)B，由平行四邊形的性質(zhì)判斷；對(duì)C，將配方可判斷；對(duì)D，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷.【詳解】對(duì)于A，方程的判別式，故A正確；對(duì)于B，由平行四邊形的性質(zhì)可得對(duì)角線互相平分，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，菱形的對(duì)角線不一定相等，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.下面命題是真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】ACD【分析】對(duì)A，B，利用不等式性質(zhì)可判斷；對(duì)C，利用基本不等式判斷；對(duì)D，利用作差比較法判斷.【詳解】對(duì)于A，，，則，即，故A正確；對(duì)于B，，，又，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，即，故C正確；對(duì)于D，，，，，，則，即，故D正確.故選：ACD.11.某工廠8年來(lái)某產(chǎn)品產(chǎn)量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖，則以下說(shuō)法中正確的是（）A.前2年的產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越快 B.前2年的產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢C.第2年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn) D.第2年后，這種產(chǎn)品產(chǎn)量保持不變【正確答案】AD【分析】根據(jù)給定的年產(chǎn)量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，根據(jù)給定的年產(chǎn)量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖，可得：前2年的產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，所以A正確，B不正確；第2年后，這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量保持不變，所以C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.12.對(duì)，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)．人們更習(xí)慣稱之為“取整函數(shù)”，例如：，，則下列命題中的真命題是（）A.，B.，C.函數(shù)的值域?yàn)椋?，1）D.方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根【正確答案】BCD【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)閷?duì)，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，所以，所以B正確，對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，所以，因?yàn)閷?duì)，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，1），所以C正確，對(duì)于D，由，得，令，則方程的解轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知兩函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以D正確，故選：BCD三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.集合且，用列舉法表示集合________．【正確答案】【分析】由集合且,求得，得到且，結(jié)合題意，逐個(gè)驗(yàn)證，即可求解.【詳解】由題意，集合且，可得，則，解得且，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；綜上可得，集合.故答案為.本題主要考查了集合的表示方法，以及集合的元素與集合的關(guān)系，其中解答中熟記集合的表示方法，以及熟練應(yīng)用元素與集合的關(guān)系，準(zhǔn)確判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知冪函數(shù)滿足①函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②，寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)解析式_____________.【正確答案】（答案不唯一）【分析】本題根據(jù)冪函數(shù)的概念，結(jié)合題目給的限制性條件即可找到符合條件的函數(shù).【詳解】因?yàn)閷?duì)，則在上為減函數(shù)，又因?yàn)閮绾瘮?shù)（為常數(shù)），當(dāng)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，即可，故可取.故（答案不唯一）.15.已知且，則的最小值為_(kāi)____________.【正確答案】【分析】依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍遥?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故16.關(guān)于的方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得解.【詳解】原方程等價(jià)于，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：可得當(dāng)時(shí)，兩圖象有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，即方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知全集，集合或.（1）求;（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先求出，再利用交集運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意得，求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，.【小問(wèn)2詳解】，，.18.（1）解不等式；（2）解關(guān)于的不等式.【正確答案】（1）或；（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用分式不等式的解法，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合一元二次不等式的解法，分類(lèi)討論，即可求解.【詳解】（1）不等式，可化為，即，即，解得或，所以不等式組解集為或.（2）①當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解集為；②當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解集為；③當(dāng)時(shí)，原不等式化為；當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為空集；當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為.19.已知，求證:（1）;（2）.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）作“1”代換，根據(jù)基本不等式求解；（2）作“1”代換，根據(jù)基本不等式求解.【小問(wèn)1詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.【小問(wèn)2詳解】，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.20.已知的定義域?yàn)椋液愠闪?（1）求的值;（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論.【正確答案】（1）（2）為上的增函數(shù)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得，求得并檢驗(yàn)；（2）根據(jù)單調(diào)性定義判斷并證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闈M足，故函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，，滿足，符合題意，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，.函數(shù)在上為增函數(shù).證明如下：任取，所以，所以所以.故為上的增函數(shù).21.某工廠生產(chǎn)甲?乙兩種產(chǎn)品所得的利潤(rùn)分別為和(萬(wàn)元),它們與投入資金(萬(wàn)元)的關(guān)系為:.今將300萬(wàn)資金投入生產(chǎn)甲?乙兩種產(chǎn)品,并要求對(duì)甲?乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于75萬(wàn)元.(1)設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金(萬(wàn)元),求總利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于的函數(shù);(2)如何分配投入資金,才能使總利潤(rùn)最大?并求出最大總利潤(rùn).【正確答案】(1);(2)當(dāng)甲產(chǎn)品投入200萬(wàn)元,乙產(chǎn)品投入100萬(wàn)元時(shí),總利潤(rùn)最大為130萬(wàn)元.【分析】（1）根據(jù)題意，對(duì)乙種產(chǎn)品投資（萬(wàn)元），對(duì)甲種產(chǎn)品投資（萬(wàn)元），利用利潤(rùn)公式，可求甲、乙兩種產(chǎn)品的總利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）利用配方法，可求總利潤(rùn)的最大值．【詳解】(1)根據(jù)題意,對(duì)乙種產(chǎn)品投資(萬(wàn)元),對(duì)甲種產(chǎn)品投資(萬(wàn)元),那么總利潤(rùn),由,解得,所以,其定義域?yàn)?(2)令,因?yàn)?故,則所以當(dāng)時(shí),即時(shí),,答:當(dāng)甲產(chǎn)品投入200萬(wàn)元,乙產(chǎn)品投入100萬(wàn)元時(shí),總利潤(rùn)最大為130萬(wàn)元.本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查閱讀理解能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意利用函數(shù)的最值解決問(wèn)題.22.已知函數(shù)有如下性質(zhì)