2021屆湖北省六校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(教師版含解析)

六校10月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題命題學(xué)校：鄂南高中命題教師：高三數(shù)學(xué)組審題學(xué)校：新洲一中邾城校區(qū)考試時間：2020年10月15日上午8∶00-10∶00試卷滿分：150分第Ⅰ卷(共60分)一、單選題：本大題共8個小題，每小題6分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)，集合，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由或，則，代入即可得解【詳解】由或，則，所以，故選：B.【點睛】本題考查了集合的運算，考查了分式不等式，計算量不大，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的定義域為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域．【詳解】要使函數(shù)有意義，則，故函數(shù)的定義域為.故選：C【點睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題．3.中，已知，，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中條件，先得到，再由正弦定理，即可得出結(jié)果.【詳解】因為在中，，，所以，又，由正弦定理可得，，即.故選：B.【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.4.若，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為，使成立，求的最大值即可.【詳解】因為，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，，因為對稱軸為，所以，所以，故選：C【點睛】本題主要考查了存在性命題的應(yīng)用，考查了函數(shù)最值的求法，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.5.“開車不喝酒，喝酒不開車．”近日，公安部交通管理局下發(fā)《關(guān)于2019年治理酒駕醉駕違法犯罪行為的指導(dǎo)意見》，對綜合治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規(guī)定，根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局下發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)，車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見表．經(jīng)過反復(fù)試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖”見圖，且圖表所示的函數(shù)模型，則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過()小時才可以駕車？(參考數(shù)據(jù)：)車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值駕駛行為類別閾值()飲酒后駕車醉酒后駕車A.5 B.6C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)散點圖可得該人喝一瓶啤酒后的2個小時內(nèi)，其酒精含量閾值大于20，故根據(jù)的解可得正確的選項.【詳解】由散點圖可得該人喝一瓶啤酒后的2個小時內(nèi)，其酒精含量閾值大于20，令，故，所以，故選：B.【點睛】本題考查分段函數(shù)在實際中的應(yīng)用，注意根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)解析式來進(jìn)行計算，本題屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)的圖像與x軸切于點，則的極值為()A.極大值為，極小值為0 B.極大值為0，極小值為C.極小值為，極大值為0 D.極小值為0，極大值為【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，得到，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用極值的定義，即可求解函數(shù)的極大值和極小值，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，則，因為函數(shù)的圖像與軸切于點，則，且，聯(lián)立方程組，解得，即，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值為，極小值為，故選A．【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值問題，其中解答中準(zhǔn)確利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)極值的概念求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7.如圖，在中，，，點為邊上的一動點，則的最小值為()A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作輔助線，利用向量數(shù)量積公式，可求得，，再利用向量的三角形法則，將求的最小值，轉(zhuǎn)化為求得最小值，然后分類討論與O的位置關(guān)系，可知在O右側(cè)時，最小，再利用基本不等式求最值.【詳解】如圖所示，作，，，可得，即，利用向量的三角形法則，可知若與O重合，則若在O左側(cè)，即在上時,若在O右側(cè)，即在上時，，顯然此時最小，利用基本不等式(當(dāng)且僅當(dāng)，即為中點時取等號)故選：C.【點睛】本題考查向量的三角形法則，向量的數(shù)量積公式，及利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.8.已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個零點，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和正弦公式和輔助角公式將函數(shù)整理為，由，得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求得的范圍，從而求得的范圍.【詳解】當(dāng)時，有且僅有3個零點，結(jié)合正弦函數(shù)圖像可知，解得：故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題，解答本題關(guān)鍵是先利用三角恒等變換公式將三角函數(shù)整理為形式，再利用數(shù)形結(jié)合思想求解，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合與計算能力，屬于中檔題.二、多選題(本大題4個小題，每小題5分，共20分，每題有兩個或以上的選項正確，全選對得5分，少選但沒有錯選得3分，有錯選成全不選得0分)9.若函數(shù)(，且)的圖像不經(jīng)過第二象限，則需同時滿足()A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的圖像分布，列式可解得.【詳解】因為函數(shù)(,且)的圖像不經(jīng)過第二象限，即可知圖像過第一、三、四象限，或過第一，三象限及原點，所以其大致圖像如圖所示：由圖像可知函數(shù)為增函數(shù)，所以，當(dāng)時，，故選：AD.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖像，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.10.下列函數(shù)中，最小值是4的函數(shù)有()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】分析】根據(jù)基本不等式，對各項逐個分析判斷，經(jīng)過計算即可得解.【詳解】對A，，可得，當(dāng)時取等，故A正確，對B，，，故B錯誤，對C，，，當(dāng)取等，故C正確，對D，，，當(dāng)時取等，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查了基本不等式，在利用基本不等式求最值時，注意變量的取值范圍，關(guān)鍵是考查能否取等號，屬于基礎(chǔ)題.11.已知函數(shù)，下列是關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，其中正確的是()A.當(dāng)時，有3個零點 B.當(dāng)時，有2個零點C.當(dāng)時，有4個零點 D.當(dāng)時，有1個零點【答案】CD【解析】【分析】令y＝0得，利用換元法將函數(shù)分解為f(x)＝t和f(t)＝﹣1，作出函數(shù)f(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】令，得，設(shè)f(x)＝t，則方程等價為f(t)＝﹣1，①若k＞0，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖：∵f(t)＝﹣1，∴此時方程f(t)＝﹣1有兩個根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f(x)＝t2＜0，此時x有兩解，由f(x)＝t1∈(0，1)知此時x有兩解，此時共有4個解，即函數(shù)y＝f[f(x)]+1有4個零點．②若k＜0，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖：∵f(t)＝﹣1，∴此時方程f(t)＝﹣1有一個根t1，其中0＜t1＜1，由f(x)＝t1∈(0，1)，此時x只有1個解，即函數(shù)y＝f[f(x)]+1有1個零點．故選：CD．【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．12.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，依次判斷四個選項，即可得正確答案.【詳解】對于A，寫出數(shù)列的前6項為，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，由，，，……，，可得：，故C正確.對于D，斐波那契數(shù)列總有，則，，，……，，，可得，故D正確；故選：ACD.【點睛】本題以“斐波那契數(shù)列”為背景，考查數(shù)列的遞推關(guān)系及性質(zhì)，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意遞推關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換，屬于中檔題.第Ⅱ卷(共90分)三、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)13.已知向量與的夾角為，，，則________．【答案】【解析】【分析】先計算，再將展開，將已知條件代入即得結(jié)果.【詳解】依題意，，故，即.故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積運算和向量的模的求法，屬于基礎(chǔ)題.14.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為，這一數(shù)值也可以表示為，若，則________．【答案】【解析】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求，然后利用降冪公式，誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式化簡即可．【詳解】根據(jù)題意，且，，化簡.故答案是：．【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，降冪公式，誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．15.等差數(shù)列中，為其前項和，若，，則________．【答案】【解析】【分析】先利用等差數(shù)列的求和公式證得是等差數(shù)列，并由已知條件計算該數(shù)列的公差，進(jìn)而利用等差數(shù)列的推廣的通項公式求解.【詳解】等差數(shù)列中，記首項為，公差為，利用等差數(shù)列求和公式，可得，又所以是首項為，公差為等差數(shù)列，由，，得，所以的公差為所以所以故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明，及等差數(shù)列通項公式的求法，解題的關(guān)鍵是要證得是等差數(shù)列，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運算求解能力，屬于難題.16.若存在兩個正實數(shù)，使等式成立，(其中)則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由條件轉(zhuǎn)化為，換元，令，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的值域即可求解.【詳解】，設(shè)且，設(shè)，那么，恒成立，所以是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在時，取得最大值，，即，解得：，故答案為：【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查了變形運算能力，屬于中檔題.四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.在①②③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求出的最大值；若問題中的三角形不存在，請說明理由(若選擇多個，則按第一個條件評分)問題：已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，________，求的最大值【答案】答案見解析.【解析】【分析】選擇條件①，利用兩角和與差的正弦化簡，可求得，再利用余弦定理，結(jié)合基本不等式求的最大值；選擇條件②，利用正弦定理化簡，可求得，與①一樣可求的最大值；選擇條件③，利用正弦定理化簡，可求得，與①一樣可求的最大值；【詳解】若選擇條件①，，三角形存在.，化簡可得：∵，∴，∴由余弦定理可知，，利用基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，綜上.若選擇條件②，，三角形存在.由正弦定理可得化簡可得∵，∴，∴，同理條件①可得若選擇條件③，，三角形存在.由正弦定理得：化簡得：∵，∴，∴同理條件①可得【點睛】本題考查正余弦定理的應(yīng)用，及利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運算能力，屬于中檔題.18.數(shù)列中，為其前項和，且．(1)求，；(2)若，求數(shù)列的其前項和．【答案】(1)；；(2).【解析】【分析】(1)由，得，進(jìn)而得，再由即可得解；(2)由，利用錯位相減法即可求和.【詳解】(1)當(dāng)時，，則，則，當(dāng)時，當(dāng)時，適合上式，則，(2)由(1)可知，則兩式相減得，∴.【點睛】本題主要考查了利用求數(shù)列通項公式，涉及錯位相減法求和，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點．(Ⅰ)證明：平面；(Ⅱ)設(shè)，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ))連接交于點，連接，根據(jù)中位線定理可得，由線面平行的判定定理即可證明平面；(Ⅱ)以點為原點，以方向為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)連接交于點，連接，則為中點，為的中點，所以，平面平面，所以平面；(Ⅱ)設(shè)菱形的邊長為，，，則.取中點，連接.以點為原點，以方向為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立如圖所示坐標(biāo)系.，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，平面的一個法向量為，即二面角的余弦值為.【點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于中檔題題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：(1)觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20.已知函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的值；(2)設(shè)，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義，求的值，根據(jù)奇函數(shù)若在原點有意義，則必滿足，求的值，從而求得；(2)求參數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，本題形如恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，即轉(zhuǎn)化為求，從而求得的取值范圍.【詳解】(1)由是偶函數(shù)，得即化簡得：，故由為奇函數(shù)，且定義域為，所以，即，經(jīng)檢驗，符合題意；綜上，可得(2)∵，∴又對恒成立，即對恒成立，下面求，又，在區(qū)間上是增函數(shù)又在區(qū)間上是增函數(shù)，由題意，得所以實數(shù)的取值范圍是：．【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)，及函數(shù)恒成立求參數(shù)問題，在解函數(shù)恒成立問題時，往往轉(zhuǎn)化為最值問題求解，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想與計算能力，屬于中檔題.21.已知直線與圓相切，動點到與兩點的距離之和等于、兩點到直線的距離之和．(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線交軌跡于不同兩點、，交軸于點，已知，，試問是否等于定值，并說明理由．【答案】(1)；(2)是定值，為，理由詳見解析.【解析】【分析】(1)由得動點的軌跡是以、為焦點，長軸長為6的橢圓可得答案；(2)直線斜率存在取特殊情況可證明，不存時直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)