【教無憂】2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）4．2．1 等差數(shù)列的概念（八大題型）

4．2．1等差數(shù)列的概念目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：等差數(shù)列的判斷 4題型二：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用 7題型三：等差數(shù)列的證明 9題型四：等差中項(xiàng)及應(yīng)用 12題型五：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 14題型六：的應(yīng)用 16題型七：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 18題型八：等差數(shù)列中對稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用 20

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、等差數(shù)列的定義文字語言形式一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示．知識(shí)點(diǎn)詮釋：⑴公差一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；⑵共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)（即公差）；符號(hào)語言形式對于數(shù)列，若（，，為常數(shù)）或（，為常數(shù)），則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差．知識(shí)點(diǎn)詮釋：定義中要求“同一個(gè)常數(shù)”，必須與無關(guān)．等差中項(xiàng)如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)．任意兩實(shí)數(shù)，的等差中項(xiàng)存在且唯一．②三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列的充要條件是．知識(shí)點(diǎn)二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首相為，公差為的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，推導(dǎo)過程：（1）歸納法：根據(jù)等差數(shù)列定義可得：，所以，，，……當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立所以歸納得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（）．（2）疊加法：根據(jù)等差數(shù)列定義，有：，，，…把這個(gè)等式的左邊與右邊分別相加（疊加），并化簡得，所以．（3）迭代法：所以．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①通項(xiàng)公式由首項(xiàng)和公差完全確定，一旦一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差確定，該等差數(shù)列就唯一確定了．②通項(xiàng)公式中共涉及、、、四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過解方程，便可求出第四個(gè)量．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣已知等差數(shù)列中，第項(xiàng)為，公差為，則．證明：因?yàn)椋运杂缮峡芍?，等差?shù)列的通項(xiàng)公式可以用數(shù)列中的任一項(xiàng)與公差來表示，公式．可以看成是時(shí)的特殊情況．知識(shí)點(diǎn)三、等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列中，公差為，則①若，且，則，特別地，當(dāng)時(shí)．②下標(biāo)成公差為的等差數(shù)列的項(xiàng)，，，…組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為．③若數(shù)列也為等差數(shù)列，則，，（k，b為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列．④仍是等差數(shù)列．⑤數(shù)列（為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列中對稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用1、某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：，，公差為；2、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：，，，公差為；3、四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成，，，，公差為．【典型例題】題型一：等差數(shù)列的判斷【典例1-1】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）下列數(shù)列是等差數(shù)列的是（

）A．，，， B．1，，，C．1，，1，－1 D．0，0，0，0【答案】D【解析】∵，故排除A；∵，故排除B；∵，故排除C，常數(shù)列是等差數(shù)列，故D正確.故選：D．【典例1-2】（2024·高三·內(nèi)蒙古包頭·開學(xué)考試）“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若數(shù)列是等差數(shù)列，可設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，則，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，取，則，符合要求，但數(shù)列不為等差數(shù)列，故“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A,【方法技巧與總結(jié)】對于數(shù)列，若（，，為常數(shù)）或（，為常數(shù)），則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差．【變式1-1】（2024·高二·海南·期中）下列數(shù)列的通項(xiàng)公式中，能得到為等差數(shù)列的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，不為常數(shù)，故A錯(cuò)誤，對于B，為常數(shù)，故B正確，對于C,不為常數(shù)，故C錯(cuò)誤，對于D，不為常數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：B【變式1-2】（2024·高二·山東菏澤·期中）從1，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)字，使它們成等差數(shù)列，則這樣的等差數(shù)列共有（

）A．16個(gè) B．24個(gè) C．32個(gè) D．48個(gè)【答案】C【解析】當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7個(gè)；當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5個(gè)；當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3個(gè)；當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，5，9共1個(gè)，同理，當(dāng)時(shí)，有7個(gè)，當(dāng)時(shí)，有5個(gè)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)，故共有．故選：C．【變式1-3】（2024·高二·浙江·期中）對于數(shù)列，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】充分性：若是等差數(shù)列，則．必要性：若，則，兩式相減得，即，所以是等差數(shù)列．所以甲是乙的充要條件.故選：C．【變式1-4】（2024·高二·重慶·學(xué)業(yè)考試）下列數(shù)列中等差數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A，，相鄰兩項(xiàng)的差為常數(shù)，是等差數(shù)列；對于B，，相鄰兩項(xiàng)的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列；對于C，，相鄰兩項(xiàng)的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列；對于D，，相鄰兩項(xiàng)的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列；故選：A題型二：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用【典例2-1】（2024·高二·江蘇蘇州·期中）數(shù)列與的所有公共項(xiàng)由小到大構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則.【答案】116【解析】與的所有公共項(xiàng)由小到大構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列為，故為首項(xiàng)為2，公差為6的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：116【典例2-2】（2024·高二·甘肅蘭州·期中）若數(shù)列中，，且，則其通項(xiàng)公式.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列中，，且，即，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，則其通項(xiàng)公式.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與應(yīng)用技巧（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由首項(xiàng)與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求出首項(xiàng)與公差即可．（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中共含有四個(gè)參數(shù)，即，，，，如果知道了其中的任意三個(gè)數(shù)，那么就可以由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．（3）通項(xiàng)公式可變形為，可把看作自變量為的一次函數(shù)．【變式2-1】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）在等差數(shù)列，，，，…每相鄰的兩項(xiàng)之間插入一個(gè)數(shù)，使之組成一個(gè)新的等差數(shù)列.(1)求新數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)28是新數(shù)列的項(xiàng)嗎？若是，是第幾項(xiàng)？【解析】（1）原數(shù)列的公差，所以新數(shù)列的公差，所以新數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）是.設(shè)28是新數(shù)列的第項(xiàng)，令，解得，所以28是新數(shù)列中的項(xiàng)，且是第45項(xiàng).【變式2-2】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知無窮等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，依次取出序號(hào)為被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列．(1)求和；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)中的第110項(xiàng)是中的第幾項(xiàng)？【解析】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)閿?shù)列中序號(hào)能被4除余3的項(xiàng)依次是第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng)，…，所以，；（2）設(shè)中的第項(xiàng)是的第項(xiàng)，即，則（），所以，所以的通項(xiàng)公式為（）；（3）因?yàn)?，設(shè)它是中的第項(xiàng)，則，則，所以是中的第439項(xiàng)．【變式2-3】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對于，將數(shù)列中落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列，設(shè)公差為..（2）由（1）得，，，，，…，，.題型三：等差數(shù)列的證明【典例3-1】（2024·高二·河南漯河·期末）已知數(shù)列滿足：，.若，求證：為等差數(shù)列.【解析】因?yàn)?，所以，即，，又，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列；【典例3-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列滿足，證明：數(shù)列為等差數(shù)列．【解析】由，得，所以，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列．【方法技巧與總結(jié)】證明等差數(shù)列的方法（1）定義法或數(shù)列是等差數(shù)列．（2）等差中項(xiàng)法數(shù)列為等差數(shù)列．（3）通項(xiàng)公式法數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式形如（，為常數(shù)）數(shù)列為等差數(shù)列．【變式3-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且．(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）由正項(xiàng)數(shù)列滿足，可得，即，即，又由，可得，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1）可得．所以，將以上式子累加，可得，可得，所以．【變式3-2】（2024·高二·全國·課堂例題）已知函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)由（且）確定．(1)求證：是等差數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，求．【解析】（1）因?yàn)?，可得，即，所以是以公差為的等差?shù)列．（2）由（1）知的公差為，又因?yàn)?，即，可得，所以．【變?-3】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，證明：是等差數(shù)列.【解析】因?yàn)椋?，所以，即所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列.【變式3-4】（2024·高二·全國·課前預(yù)習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足．求證：是等差數(shù)列；【解析】由已知可得，.因?yàn)椋?，?又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．【變式3-5】（2024·高二·全國·課前預(yù)習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【解析】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，因?yàn)?，所以，即所以（為常?shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列．題型四：等差中項(xiàng)及應(yīng)用【典例4-1】（2024·高二·甘肅蘭州·期中）已知三個(gè)數(shù)19，，31是等差數(shù)列，則.【答案】5【解析】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)19，，31成等差數(shù)列，所以.故答案為：5【典例4-2】（2024·高二·上海松江·階段練習(xí)）已知構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】32/【解析】因?yàn)闃?gòu)成等差數(shù)列，所以，解得.故答案為：.【變式4-1】（2024·高二·上?！て谀┑炔顢?shù)列中，，則.【答案】2【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，則，所以.故答案為：2.【方法技巧與總結(jié)】若a，A，b成等差數(shù)列，則；反之，由也可得到a，A，b成等差數(shù)列，所以A是a，b的等差中項(xiàng)．【變式4-2】（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）已知數(shù)列滿足（n為正整數(shù)），且，則．【答案】/【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，故為等差數(shù)列，則，故，故答案為：【變式4-3】（2024·高二·上?！ふn前預(yù)習(xí)）等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，，，則x的值為．【答案】【解析】等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，，，，則.故答案為：.【變式4-4】（2024·高二·上?！て谀┤艉瘮?shù)的四個(gè)零點(diǎn)從小到大恰好構(gòu)成等差數(shù)列，則.【答案】/【解析】，若，無解，舍去，若，此時(shí)，此時(shí)，只有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去，若，，若，則，故，若，則，故，其中，因?yàn)樗膫€(gè)零點(diǎn)從小到大恰好構(gòu)成等差數(shù)列，所以，故，故，解得.故答案為：【變式4-5】（2024·高二·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知，.若a，b，c成等差數(shù)列，則.【答案】6【解析】因?yàn)?，b，成等差數(shù)列，所以，解得.故答案為：6【變式4-6】（2024·高二·廣西南寧·期中）若關(guān)于的方程和（，且）的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則的值為.【答案】【解析】設(shè)方程的根是，方程的根是，∴，，四個(gè)根排成等差數(shù)列，不妨設(shè)為，則，于是，，，因此，，∴，．故答案為：．題型五：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【典例5-1】（2024·高二·陜西漢中·期中）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿，芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，若立春當(dāng)日日影長為尺，立夏當(dāng)日日影長為尺，則春分當(dāng)日日影長為（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當(dāng)日日影長為，立夏當(dāng)日日影長為，所以春分當(dāng)日日影長為.故選：D【典例5-2】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）在北京冬奧會(huì)開幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷了世界．從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，若冬至的日影長為18.5尺，立春的日影長為15.5尺，則春分的日影長為（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺【答案】D【解析】由題意得：為等差數(shù)列，公差為d，則，，則，解得：，則，故春分的日影長為12.5尺.故選：D【方法技巧與總結(jié)】（1）解決實(shí)際應(yīng)用問題，首先要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時(shí)，則這組數(shù)成等差數(shù)列．合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關(guān)鍵，在解題過程中，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵的問題．（2）能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，抽象出數(shù)列的模型，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．【變式5-1】（2024·高二·江蘇蘇州·期末）單分?jǐn)?shù)（分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)）的廣泛使用成為埃及數(shù)學(xué)重要而有趣的特色，埃及人將所有的真分?jǐn)?shù)都表示為一些單分?jǐn)?shù)的和．例如，，……，現(xiàn)已知可以表示成4個(gè)單分?jǐn)?shù)的和，記，其中，，是以101為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則的值為（

）A．505 B．404 C．303 D．202【答案】A【解析】根據(jù)題中拆分后分?jǐn)?shù)的特征以及分出結(jié)果中含，對分母增大倍數(shù)進(jìn)行拆分，即得結(jié)果.依題意，拆分后的分?jǐn)?shù)，分子都是1，分母依次變大，又中含，故可分解如下：，又，，是以101為首項(xiàng)的等差數(shù)列，故.故.故選：A.【變式5-2】（2024·高三·遼寧·期末）我國古代數(shù)學(xué)家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，它在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝的一頁，堪稱數(shù)學(xué)史上名垂百世的成就，而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學(xué)家們.定理涉及的是數(shù)的整除問題，其數(shù)學(xué)思想在近代數(shù)學(xué)，當(dāng)代密碼學(xué)研究及日常生活都有著廣泛的應(yīng)用，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1到2022這2022個(gè)數(shù)中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，那么此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【解析】由題意得：能被3除余2的數(shù)為2，5，8，11……，故，，被5除余3的數(shù)為3，8，13……，故，，被7除余1的數(shù)為1，8，15……，故，，由，，，故，，令，解得：，因?yàn)?，所以，故此?shù)列的項(xiàng)數(shù)為20.故選：D【變式5-3】（2024·高三·江蘇淮安·階段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【解析】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為壬，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為午，綜上：100年后的2122年為壬午年.故選：A【變式5-4】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為（

）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，五年累計(jì)總投入資金為：，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為120萬元，故選：C.題型六：的應(yīng)用【典例6-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)，，，是等差數(shù)列的項(xiàng)，且．求證：．【解析】證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，因?yàn)?，故，?【典例6-2】（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中：（1）已知，求首項(xiàng)與公差d；（2）已知，求．【解析】（1）由題意得，解得（2）設(shè)等差數(shù)的公差為，則由題意得，所以【方法技巧與總結(jié)】靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以減少運(yùn)算．令，即變?yōu)?，可以減少記憶負(fù)擔(dān)．【變式6-1】（2024·全國·高二單元測試）（1）在等差數(shù)列中，已知，，求首項(xiàng)與公差d；（2）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，求．【解析】（1）等差數(shù)列的公差為，∵，，則解得，∴這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．（2）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則由題意得解得，故．【變式6-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知求及．【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，故可得；又因?yàn)椋?；．題型七：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【典例7-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知，所以，解得，所以，故選：A【典例7-2】（2024·高二·重慶渝中·期中）已知在等差數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，由題意：，故，即，解得；故等差數(shù)列的公差為，通項(xiàng)公式為；故選：A.【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列運(yùn)算的兩種常用思路（1）基本量法：根據(jù)已知條件，列出關(guān)于，的方程（組），確定，，然后求其他量．（2）巧用性質(zhì)法：觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)，若，且，則．【變式7-1】（2024·高二·吉林長春·期中）已知等差數(shù)列滿足，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，解得，故選：D.【變式7-2】（2024·高二·福建漳州·階段練習(xí)）等差數(shù)列中，，求（

）A．36 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由可得，可得，，故選：A【變式7-3】（2024·高三·遼寧·期中）公差不為的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由題可知，，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.【變式7-4】（2024·高二·廣西南寧·期中）在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】D【解析】由題設(shè)，所以.故選：D【變式7-5】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，，，那么數(shù)列的第37項(xiàng)為（

）A．0 B．37 C．100 D．【答案】C【解析】因?yàn)?，都是等差?shù)列，所以也是等差數(shù)列．又因?yàn)椋?，所以?shù)列的公差為0，即數(shù)列為常數(shù)列．所以的第37項(xiàng)為100.故選：C．【變式7-6】（2024·高二·四川自貢·期中）在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【解析】由題意.故選：C.題型八：等差數(shù)列中對稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用【典例8-1】（2024·高二·山西運(yùn)城·開學(xué)考試）（1）三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的倍，求這三個(gè)數(shù).（2）四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為，首末