【教無憂】2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）4.1 指數(shù)（六大題型）

4.1指數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：由根式的意義求范圍 4題型二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值 6題型三：有限制條件的根式的化簡 7題型四：根式與指數(shù)冪的互化 9題型五：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值 12題型六：整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 15

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)1、整數(shù)指數(shù)冪的概念2、運(yùn)算法則（1）；（2）；（3）；（4）．知識點(diǎn)二、根式的概念和運(yùn)算法則1、次方根的定義：若，則稱為的次方根．為奇數(shù)時，正數(shù)的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)的奇次方根有一個，是負(fù)數(shù)，記為；0的奇次方根為零，記為．為偶數(shù)時，正數(shù)的偶次方根有兩個，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．2、兩個等式（1）當(dāng)且時，；（2）知識點(diǎn)詮釋：①要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；②計(jì)算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時，開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先寫成的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯誤．知識點(diǎn)三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：知識點(diǎn)四、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）當(dāng)，為無理數(shù)時，是一個確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適用．知識點(diǎn)詮釋：（1）根式問題常利用指數(shù)冪的意義與運(yùn)算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算；（2）根式運(yùn)算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換．如；（3）冪指數(shù)不能隨便約分．如．2、指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運(yùn)算．負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)．在化簡運(yùn)算中，也要注意公式：，，，，的運(yùn)用，能夠簡化運(yùn)算．知識點(diǎn)五、無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪（，為無理數(shù)）是一個確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．（2）定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．知識點(diǎn)六、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．【典型例題】題型一：由根式的意義求范圍【典例1-1】（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）若有意義，則a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由有意義，得，解得，所以a的取值范圍是.故選：B【典例1-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若＋有意義，則a的取值范圍是()A． B．C． D．且【答案】D【解析】由題設(shè)知：，可得.故選：D【方法技巧與總結(jié)】使根式有意義【變式1-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若有意義，則a的取值范圍是（

）A．2,+∞ B．C． D．【答案】B【解析】由題意可知，且，∴a的取值范圍是且．故選：B．【變式1-2】（2024·高一·全國·假期作業(yè)）若有意義，則的取值范圍是（

）A． B．∪C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，解得.故選：D.【變式1-3】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．2,+∞ B． C． D．【答案】C【解析】由負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可知，，所以，即，因此的取值范圍是．故選：C.【變式1-4】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若有意義，則x的取值范圍是（

）A．x≥2 B．x≤3C．2≤x≤3 D．x∈R【答案】C【解析】由題意知，所以2≤x≤3.故選：C．題型二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值【典例2-1】（2024·高一·云南昭通·期末）.【答案】1【解析】.故答案為：1【典例2-2】（2024·高一·陜西寶雞·階段練習(xí)）．【答案】【解析】故答案為：【方法技巧與總結(jié)】此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用．當(dāng)所求根式含有多重根號時，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出，然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡．【變式2-1】（2024·高一·上?！て谥校┗啠?【答案】【解析】.故答案為：.【變式2-2】（2024·高一·上海黃浦·期中）設(shè)是實(shí)數(shù)，若對任意負(fù)數(shù)，代數(shù)式恒為定值，則的值為．【答案】3【解析】由，得，因?yàn)閷θ我庳?fù)數(shù)，代數(shù)式恒為定值，則有，解得，所以的值為3.故答案為：3【變式2-3】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知，化簡：．【答案】【解析】，故答案為：【變式2-4】（2024·高一·江蘇·課后作業(yè)）化簡方程，使結(jié)果不含根式，則方程為．【答案】【解析】本題可對方程兩邊同時平方并化簡即可.因?yàn)?，所以，即，，，，，故答案為?題型三：有限制條件的根式的化簡【典例3-1】（2024·高三·海南?？凇るA段練習(xí)）若代數(shù)式有意義，則．【答案】1【解析】由題意可知：，∴∴故答案為：1【典例3-2】（2024·高一·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若，則.【答案】【解析】因?yàn)椋忠驗(yàn)?，則，所以.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】對于多重根式的化簡，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全次方，再解答，或者用整體思想來解題．化簡分母含有根式的式子時，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可【變式3-1】（2024·高一·上?！て谥校┊?dāng)時，化簡．【答案】【解析】因?yàn)?，所?故答案為：【變式3-2】（2024·高一·上海長寧·期末）當(dāng)時，化簡.【答案】【解析】因?yàn)?，所以故答案為：【變?-3】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若，則化簡.【答案】【解析】因?yàn)樗?，?dāng)時，原式；當(dāng)時，原式.故答案為：【變式3-4】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）當(dāng)有意義時，化簡的結(jié)果是．【答案】【解析】由有意義，得．所以．故答案為：【變式3-5】（2024·高一·山西太原·期末）若，化簡的結(jié)果為．【答案】【解析】由可得，所求式子變形為.故答案為：題型四：根式與指數(shù)冪的互化【典例4-1】用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式（，）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)計(jì)算．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【典例4-2】用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（其中，）：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【方法技巧與總結(jié)】（1）運(yùn)算順序（能否應(yīng)用公式）；（2）指數(shù)為負(fù)先化正；（3）根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．【變式4-1】用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（其中）：(1)；(2)．【解析】（1）（）；（2）（）.【變式4-2】（2024·高一·廣東廣州·期中）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示并計(jì)算下列各式（式中字母均正數(shù)），寫出化簡步驟.(1)；(2)【解析】（1）.（2）.【變式4-3】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（其中，）：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.題型五：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值【典例5-1】化簡（式中各字母均為正數(shù)）：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式.（2）原式.（3）方法一（從里向外化）．方法二（從外向里化）．【典例5-2】（2024·高一·北京平谷·期中）化簡、計(jì)算(1)計(jì)算：.(2)化簡：；【解析】（1）原式.（2）原式.【方法技巧與總結(jié)】根式的化簡結(jié)果應(yīng)寫為最簡根式．（1）被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；（2）被開方數(shù)分母為1，且不含非正整數(shù)指數(shù)冪；（3）被開方數(shù)的每個因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù)．【變式5-1】（2024·高一·陜西榆林·期中）計(jì)算：(1)；(2)（，）.【解析】（1）.（2）.【變式5-2】（2024·高一·江蘇連云港·階段練習(xí)）（1）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下式：；（2）求值：；（3）化簡：.【解析】（1）;（2）；（3）.【變式5-3】計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式．【變式5-4】（2024·高一·遼寧朝陽·期末）計(jì)算：.【解析】原式.【變式5-5】（2024·高一·江西新余·期中）化簡并求出下列各式的值：(1)；(2)已知，，求的值．【解析】（1）原式===.（2）原式===，因?yàn)椋?，所以原?=3.【變式5-6】（2024·高一·湖北武漢·階段練習(xí)）求值：(1)(2)【解析】（1）.（2）.題型六：整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【典例6-1】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知，計(jì)算：.【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，所以，所?【典例6-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知，求的值．【解析】因?yàn)?，所以所以，所以故【方法技巧與總結(jié)】對于“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換”或“化簡后代換”方法求值．對冪值的計(jì)算，一般應(yīng)盡可能把冪化為底數(shù)是質(zhì)數(shù)的指數(shù)冪，再考慮同底冪的運(yùn)算法則以及乘法公式．【變式6-1】（2024·高一·湖南婁底·期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）由題意，所以.（2）由題意，所以.【變式6-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知方程的兩根為，（）.(1)求的值；(2)求的值.【解