【教無(wú)憂】2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）4.5.1 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（九大題型）

4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 3【思維導(dǎo)圖】 3【知識(shí)點(diǎn)梳理】 3【典型例題】 5題型一：求函數(shù)的零點(diǎn) 5題型二：根據(jù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式的參數(shù) 7題型三：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用 8題型四：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍 10題型五：根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍 13題型六：一次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍 17題型七：二次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍 19題型八：指對(duì)冪函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍 24題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用 27

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)詮釋：①函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．歸納：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)見(jiàn)下表.判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)無(wú)實(shí)根無(wú)零點(diǎn)（3）二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).引伸：對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點(diǎn)的判定（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)，使，這個(gè)也就是方程的根.知識(shí)點(diǎn)詮釋：①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但不能確定有幾個(gè)．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一個(gè)；若不單調(diào)，則個(gè)數(shù)不確定．②若函數(shù)在區(qū)間上有，在內(nèi)也可能有零點(diǎn)，例如在上，在區(qū)間上就是這樣的．故在內(nèi)有零點(diǎn)，不一定有．③若函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，在內(nèi)也可能是有零點(diǎn)，例如函數(shù)在上就是這樣的．（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，先考慮解方程，方程無(wú)實(shí)根則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，方程有實(shí)根則函數(shù)有零點(diǎn)．（3）利用數(shù)形結(jié)合法函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【方法技巧與總結(jié)】1、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，且具有單調(diào)性，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).2、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，且函數(shù)具有單調(diào)性，則3、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法（1）直接法：直接求零點(diǎn)，令，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).（2）定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).（3）數(shù)形結(jié)合法：①單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；②兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).4、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間（1）將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求函數(shù)的值；（2）將所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷；（3）若符號(hào)為正且在該區(qū)間內(nèi)是遞增或遞減，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個(gè)零點(diǎn)。5、已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理建立不等式；（2）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．【典型例題】題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)【典例1-1】（2024·高一·四川達(dá)州·期中）“”是“函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)12；當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)1；若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則或．所以“”是“函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”的充分不必要條件．故選：C.【典例1-2】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．1， B．， C．2， D．，【答案】B【解析】令，即，解得：，，所以函數(shù)的零點(diǎn)為和.故選：B【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點(diǎn).【變式1-1】（2024·高一·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知定義在上的是單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意恒有，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C．9 D．27【答案】A【解析】設(shè)，即，因?yàn)?，可得，所以，解得，所以，令，可得，即，解?故選：A.【變式1-2】（2024·高一·遼寧朝陽(yáng)·期末）函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：C.【變式1-3】（2024·高一·江蘇宿遷·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，解得或，故的零點(diǎn)為.故選：A【變式1-4】（2024·高一·北京海淀·階段練習(xí)）若，是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的值是（

）A．3 B．9 C．21 D．33【答案】C【解析】由，是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，，所以，是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，故，故選：C題型二：根據(jù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式的參數(shù)【典例2-1】（2024·高一·江蘇鹽城·期中）已知函數(shù)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的值是.【答案】0或【解析】函數(shù)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),即只有一個(gè)根.當(dāng)，解得，滿足題意.當(dāng)，解得，此時(shí)方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，滿足題意.綜上，a的值是0或.故答案為：0或.【典例2-2】（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）若x＝2是f（x）＝x2－mx－3的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】/【解析】由時(shí)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，可得，解得.故答案為：.【變式2-1】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)的零點(diǎn)是．【答案】1和【解析】∵函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，∴，解得，∴，令，解得或1∴的零點(diǎn)為1和.故答案為：1和【變式2-2】（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值集合為【答案】【解析】（1）若，即時(shí)，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，令，解得，符合題意，（2）當(dāng)時(shí)，令，則，解得或1（舍去），綜上或，則的取值集合為.故答案為：.【變式2-3】（2024·高一·湖南株洲·期中）已知函數(shù)的零點(diǎn)是2，則【答案】3【解析】由題意得，解得，故答案為：3題型三：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用【典例3-1】（2024·高一·北京·期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因和都是上的增函數(shù)，故也是上的增函數(shù)，又，由零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)fx的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B.【典例3-2】（2024·高一·湖南·期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于，則fx為上的增函數(shù)，而，，，，，由于，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，知道函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】解答這類判斷函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間的選擇題，只需用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理依次檢驗(yàn)所提供的區(qū)間，即可得到答案．【變式3-1】（2024·高一·上?！ふn堂例題）下列區(qū)間中存在方程的根的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得1,2存在方程的根.故選：B【變式3-2】（2024·高一·北京·期中）已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下部分對(duì)應(yīng)值表：123456136.115.610.9判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，由數(shù)表知，，因此函數(shù)在區(qū)間上分別至少有1個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為3個(gè).故選：C【變式3-3】（2024·高一·海南·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A．0,1 B． C．2,3 D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，故在0,+∞上是單調(diào)遞增函數(shù)；又，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為2,3.故選：C.【變式3-4】（2024·高一·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，，則的值為（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，且，，即，由零點(diǎn)存在定理可得，的零點(diǎn)區(qū)間為，所以.故選：B題型四：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍【典例4-1】（2024·高一·浙江寧波·期中）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意知函數(shù)在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減，又因，又因在上是連續(xù)不中斷的，所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可得知存在使得.故選：C【典例4-2】（2024·高一·廣東深圳·階段練習(xí)）為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，其中，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，因此直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，而當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，于是，對(duì)于A，由，得，即，A正確；對(duì)于B，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，B正確；對(duì)于C，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：C【變式4-1】（2024·高一·江蘇南京·期末）已知的零點(diǎn)在區(qū)間，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，則零點(diǎn)在區(qū)間上，可得.故選：C.【變式4-2】（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）若函數(shù)在存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．∪【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是一次函數(shù)，必然單調(diào)，故只需即可，即，解得或，即的取值范圍是∪，故選：D【變式4-3】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)得，解得，故選：A【變式4-4】（2024·高一·重慶九龍坡·期末）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】和在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，只需即可，即，解得．故選：B.【變式4-5】（2024·高一·江蘇南京·期末）函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知,,函數(shù)的零點(diǎn)為，可得,函數(shù)的零點(diǎn)為，則又因?yàn)?這兩函數(shù)均單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,解得.故選:D.題型五：根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【典例5-1】（2024·高一·江蘇無(wú)錫·期中）若二次函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】由題意可得方程在上存在一個(gè)根，，由函數(shù)，則其對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，可得，解得；當(dāng)時(shí)，，可得，顯然無(wú)解.綜上所述，.故選：A.【典例5-2】（2024·高一·福建寧德·階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，解得或.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，它對(duì)于解決有更多限制條件的問(wèn)題提供了一種新的途徑．【變式5-1】（2024·高一·北京·期中）已知函數(shù)的圖象與直線恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則，由題意有兩個(gè)零點(diǎn)，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，或，當(dāng)時(shí)，，或，當(dāng)時(shí)，，或，當(dāng)時(shí)，，或，綜上所述，滿足題意的的取值范圍為.故選：A.【變式5-2】（2024·高一·浙江寧波·期中）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)滿足，且有8個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)fx=x2令，則，則，又所以，則，設(shè)，作出函數(shù)的圖象，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，不滿足題意；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)根，其中，，，；作出與、、與的圖象，如圖，顯然幾個(gè)函數(shù)恰有8個(gè)交點(diǎn)，則有8個(gè)不同的解，故B正確；對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)根，其中，，與選項(xiàng)B同理可知與、各有一個(gè)交點(diǎn)，則只有2個(gè)不同的解，不滿足題意，故CD錯(cuò)誤.故選：B.【變式5-3】（2024·高一·陜西渭南·期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則直線與的圖象至少兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象如下，直線恒過(guò)1,0，當(dāng)直線與相切時(shí)，，由可得，此時(shí)與平行，所以此時(shí)方程只有一個(gè)根，不合題意；當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，與y=fx有三個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與y=fx有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若，與y=fx有三個(gè)交點(diǎn)，綜上可知，方程至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.【變式5-4】（2024·高一·安徽蕪湖·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上，與都單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為；在上，與都單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：C題型六：一次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍【典例6-1】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【答案】D【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝1與x軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意，所以a≠0；函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故選：D.【典例6-2】（2024·高二·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值有正也有負(fù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行求解即可..當(dāng)時(shí)，，函數(shù)值恒為正，不符合題意；當(dāng)時(shí)，要想函數(shù)的值有正也有負(fù)，只需，即.綜上所述：.故選：C【變式6-1】（2024·高一·福建廈門(mén)·期中）已知函數(shù)f（x）=3ax-1-2a在區(qū)間（-1，1）上存在零點(diǎn)，則（）A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=3ax-1-2a在區(qū)間（-1，1）上存在零點(diǎn)，又因?yàn)閒（x）=3ax-1-2a在區(qū)間（-1，1）單調(diào)，所以，即，解得或，故選：C【變式6-2】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】首先判斷函數(shù)在上單調(diào)，利用零點(diǎn)存在性定理即可求解.∵在區(qū)間上單調(diào)且存在零點(diǎn)，∴，∴或．故選：C【變式6-3】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為一次函數(shù)，要使其在區(qū)間上存在零點(diǎn)，要保證其兩端點(diǎn)分別在軸的兩側(cè)，所以即，解得或，故選項(xiàng).題型七：二次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍【典例7-1】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】若，則，它的零點(diǎn)為，故符合題意．若，函數(shù)在區(qū)間恰有一個(gè)零點(diǎn)，則需滿足：①或②或③解①得，或；解②得，解集為；解③得；綜上，的取值范圍是．故選：D．【典例7-2】（2024·高一·河南·期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是.【答案】【解析】易知，令，則滿足條件需關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由解得.故答案為：.【變式7-1】（2024·高一·浙江寧波·階段練習(xí)）若函數(shù)在-1,1內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意，則；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的判別式為：，若，即時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為，符合題意，則；當(dāng)，即時(shí)，由，解得且，則且；當(dāng)時(shí)，，方程另一根，當(dāng)時(shí)，，方程中一根，則或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：【變式7-2】（2024·高一·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可得在1,4上有解，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在1,2上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，故當(dāng)時(shí)，，故的取值范圍是.故答案為：.【變式7-3】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）若三個(gè)方程，和中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根時(shí)，有，，，故三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根時(shí)，的取值范圍為，三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：【變式7-4】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）方程的兩個(gè)根均大于1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)榈膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根均大于1，所以，解得，所以m的取值范圍為．故答案為：.【變式7-5】（2024·高一·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于方程與直線的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意，所以，令，直線過(guò)定點(diǎn)且斜率為（1）當(dāng)時(shí)，如圖所示，要使得與有3個(gè)交點(diǎn)，則滿足，即，由，整理得，因?yàn)橹本€與拋物線相交，所以，解得，所以；（2）當(dāng)時(shí)，如圖所示，要使得與有3個(gè)交點(diǎn)，則滿足，即，由，整理得，因?yàn)橹本€與拋物線相交，所以，解得，所以；綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為,故答案為：.【變式7-6】（2024·高一·四川成都·期末）若關(guān)于的方程恰好有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知時(shí)，，即不是該方程的解，故令，則即為，作出函數(shù)的圖象如圖示：結(jié)合圖象可知，若只有一個(gè)解，則最多有2個(gè)解，不合題意；故要使得恰好有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，需有2個(gè)不等正數(shù)根，且兩根分別處于內(nèi)，由可得，設(shè)，作出其圖象：當(dāng)時(shí)，，故，故答案為：題型八：指對(duì)冪函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍【典例8-1】（2024·高一·云南昆明·期中）已知，若，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則，且，故.故答案為：.【典例8-2】（2024·高一·廣東東莞·期中）已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】的圖象如圖所示，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，得，即?shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：【變式8-1】（2024·高一·安徽阜陽(yáng)·期末）已知函數(shù)，若存在且，使得，則的取值范圍為.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知，且，所以，則，所以，故的取值范圍為．故答案為：．【變式8-2】（2024·高一·上海松江·期末）已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，且，則取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，函數(shù)與有4個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)的圖象可知，即的取值范圍為：，由函數(shù)的圖象可知：，，且，，，，，，令，，，設(shè)，則，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性其單調(diào)遞增，則，又，設(shè)，，對(duì)稱軸為，則即，即范圍為故答案為：．【變式8-3】（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，若方程有四個(gè)根，且，則的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)根，故函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，且，故，當(dāng)時(shí)，，且，所以，解得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，由圖可得，，故，所以，令，，在單調(diào)遞增，所以，，故的取值范圍是.故答案為：.題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【典例9-1】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）對(duì)于二次函數(shù)，若存在，使得成立，則稱為二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；(2)若二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．【解析】（1）由題知，設(shè)的不動(dòng)點(diǎn)為，則，即，解得或，即的不動(dòng)點(diǎn)為或.（2）由題知，設(shè)的不動(dòng)點(diǎn)為，則，即，所以，，因?yàn)?，所以，，解得則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.【典例9-2】（2024·高一·湖南湘潭·期末）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，在上有零點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，求m的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，因此在上有零點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，，由于均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增.又，故在上的值域?yàn)?，且關(guān)于x的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，故或，即或所以m的取值范圍為.【變式9-1】（2024·高一·四川樂(lè)山·階段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求的解析式；(2)若方程有三個(gè)不同的根，求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí)，fx=x2可得，又因?yàn)楹瘮?shù)y=fx是奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的解析式為.（2）要使得方程有三個(gè)不同的根，即函數(shù)y=fx與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示