高一數(shù)學(xué)人教B版寒假作業(yè)（18）平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用

（18）平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用——高一數(shù)學(xué)人教B版寒假作業(yè)學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題1．[2024春·高一·云南曲靖·期中?？糫如果一架飛機(jī)向西飛行，再向東飛行，記飛機(jī)飛行的路程為s，位移為a，那么()A. B. C. D.1．答案：A解析：依題意，，，所以.故選A.2．一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對(duì)岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，若船的航程最短，則行駛完全程需要的時(shí)間t（單位：）為()A.7.2 B.7.8 C.120 D.1302．答案：B解析：若使得船的航程最短，則船的實(shí)際速度與水流速度垂直，作，，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，如圖所示.由題意可知，，，且，，由勾股定理可得.因此，若船的航程最短，則行駛完全程需要的時(shí)間為，則.故選B.3．已知滿足（其中k是非零常數(shù)），則的形狀一定是()A.等邊三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形3．答案：C解析：因?yàn)樵谥校ㄆ渲衚是非零常數(shù)），所以，即，所以.又，不共線，所以，所以，即一定是等腰三角形.故選C.4．[2023秋·高二·四川宜賓·開學(xué)考試?？糫在平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：，即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則O為的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心4．答案：B解析：記點(diǎn)O到AB，BC，CA的距離分別為，，，則，，.因?yàn)椋瑒t，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)O是的內(nèi)心.故選B.5．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A. B.6 C. D.45．答案：B解析：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，.因?yàn)?，，所以，，，即，，，則，，故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值6.故選B.6．已知平面向量a，b，c滿足，且，，則的最小值為()A. B. C. D.6．答案：B解析：設(shè)，，，則，又，所以點(diǎn)C在以為圓心，2為半徑的圓上.如圖，取，則，，又，所以，即.又因?yàn)?，，所?故選B.7．設(shè)點(diǎn)O在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比值為()A.2 B. C. D.37．答案：A解析：設(shè)，，，如圖所示.根據(jù)題意得，即點(diǎn)O是的重心，取的中點(diǎn)E，連接OE，則，O，E三點(diǎn)共線，且，所以邊上的高是邊上的高的3倍，所以，即，同理可得，，所以.又因?yàn)?，，所以，，故的面積與的面積的比值為.故選A.8．已知中，，，，，，則的最小值為()A.3 B.5 C. D.8．答案：C解析：設(shè)點(diǎn)O為BC上的一點(diǎn)，令，即，當(dāng)時(shí)，取最小值3，此時(shí)根據(jù)勾股定理可得，由此可知為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)時(shí)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則有，，，所以，，所以，，所以，故.因?yàn)?，所以，則，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取最小值，.故選C.二、多項(xiàng)選擇題9．生于瑞士的數(shù)學(xué)巨星歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半.”這就是著名的歐拉線定理.設(shè)在中，點(diǎn)O，H，G分別是其外心、垂心和重心，則下列四個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A.B.C.設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，則有D.9．答案：CD解析：如圖，根據(jù)歐拉線定理得，故A正確；根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知B正確；因?yàn)辄c(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，所以，又，，所以，即，故C錯(cuò)誤；向量，，的模相等，方向不同，故D錯(cuò)誤.10．若的三個(gè)內(nèi)角均小于，點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)M被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn).根據(jù)以上性質(zhì)，已知a是平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，向量b，c滿足，且，則的取值可以是()A.10 B. C.3 D.10．答案：AB解析：因?yàn)?，，所以可設(shè)，，，則，即為點(diǎn)到，，三點(diǎn)的距離之和，則是等腰銳角三角形.如圖，由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí)，點(diǎn)M到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，因?yàn)?，所以，故，則的最小值是.故選AB.三、填空題11．一個(gè)所受重力大小為的物體從傾斜角為，斜面長(zhǎng)的光滑斜面頂端下滑到底端，則重力做的功是__________.11．答案：解析：因?yàn)槲矬w的重力為，物體在重力方向上的位移大小是，所以重力做的功為.12．如圖，在中，，，是正三角形，點(diǎn)M是的中心.若，則__________.12．答案：-4解析：如圖，設(shè)MC交AB于點(diǎn)E.，，點(diǎn)M是的中心，，設(shè)，則，.是的平分線，，.設(shè)，E，A，B三點(diǎn)共線，，，.由，得，，，.四、雙空題13．某人騎車以每小時(shí)的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來(lái)，而當(dāng)速度為時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來(lái)，則實(shí)際風(fēng)速為__________，方向?yàn)開_________.13．答案：；西北方向吹來(lái)解析：設(shè)a表示此人以的速度向東行駛的向量，無(wú)風(fēng)時(shí)此人感到風(fēng)速為，設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v，那么此時(shí)人感到的風(fēng)速為.設(shè)，，，因?yàn)?，所以，這就是感到由正北方向吹來(lái)的風(fēng)速.因?yàn)?，所以，于是?dāng)此人的速度是原來(lái)的2倍時(shí)所感受到由東北方向吹來(lái)的風(fēng)速就是.由題意，，，，從而，為等腰直角三角形，所以，即，所以實(shí)際風(fēng)速為，方向?yàn)槲鞅狈较?五、解答題14．已知，向量，.（1）如圖，若四邊形OACB為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P為線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).14．答案：（1）（2）解析：（1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，因?yàn)?，，，可得，，則，若四邊形OACB為平行四邊形，可得，則解得故點(diǎn)C的坐標(biāo)為.（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由（1）可知，，則，.若點(diǎn)P為線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則，則解得故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.15．已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，且.（1）若點(diǎn)C在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若點(diǎn)M為直線AC外一點(diǎn)，且，問實(shí)數(shù)為何值時(shí)，點(diǎn)P恰為四邊