多元函數(shù)微分學(xué)總結(jié)復(fù)習(xí)題包括答案

一、選擇題1.極限limx2y=（提示：令yk2x2）（B）x0x4y2y0(A)等于0(B)不存在(C)等于1(D)存在且不等于0或1222、設(shè)函數(shù)f(x,y)xsin1ysin1xy0，則極限limf(,y)=（C）0yxxy0x0xy0（提示：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮?。?A)不存在(B)等于1(C)等于0(D)等于23、設(shè)函數(shù)f(x,y)xyx2y20（Ax2y2x2y2，則f(x,y)）00（提示：①在x2y20，f(x,y)處處連續(xù)；②在x0,y0，令ykx，lim2kx222limkx0f(0,0)，故在x2y20，函數(shù)亦連續(xù).所以，x0kxx01k2y0xf(x,y)在整個(gè)定義域內(nèi)處處連續(xù).）(A)處處連續(xù)(B)處處有極限，但不連續(xù)(C)僅在（0,0）點(diǎn)連續(xù)(D)除（0,0）點(diǎn)外處處連續(xù)4、函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)是它在該點(diǎn)存在全微分的（A）(A)必要而非充分條件(B)充分而非必要條件(C)充分必要條件(D)既非充分又非必要條件5、設(shè)uarctany，則u=（B）xx(A)x(B)y(C)y(D)xy2x2y2x2y2x2y2x26、設(shè)f(x,y)arcsiny，則fx'(2,1)（A）x（A）1（B）1（C）1（D）144227、設(shè)zarctanx，xuv，yuv，則zuzv（C）y（A）uv（B）vu（C）uvvuu2v22v2u2v2（D）2v2uu8、若f(x,2x)x23x,fx'(x,2x)6x1，則fy'(x,2x)=（D）(A)x3(B)x3(C)2x1(D)2x1229、設(shè)zyx，則(zz)(2,1)（A）xy(A)2(B)1+ln2(C)0(D)110、設(shè)zxyexy，則zx'(x,x)（D）(A)2x(1x2)ex2(B)2x(1x2)ex2(C)x(1x2)ex2(D)x(1x2)ex211、曲線x2sint,y4cost,zt在點(diǎn)(2,0,)處的法平面方程是（C）2(A)2xz42(B)2xz4(C)4yz2(D)4yz2212、曲線4xy5,yz,在點(diǎn)(8,2,4)處的切線方程是（A）(A)x8y2z4(B)x12yz4204204(C)x8y2z4(D)x3yz5451413、曲面xcoszycosx2z2在點(diǎn),12,0處的切平面方程為（D）2（A）xz1（B）xy1（C）xy2（D）xz214、曲面x2yzxy2z36在點(diǎn)(32,,1)處的法線方程為（A）（A）x5y5z19（B）x3y2z183188318（C）8x3y18z0（D）8x3y18z1215、設(shè)函數(shù)z1x2y2，則點(diǎn)(00,)是函數(shù)z的（B）（A）極大值點(diǎn)但非最大值點(diǎn) （B）極大值點(diǎn)且是最大值點(diǎn)（C）極小值點(diǎn)但非最小值點(diǎn) （D）極小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn)16、設(shè)函數(shù)zf(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在P0(x0,y0)處，有fx(P0)0,fy(P0)0,fxx(P0)fyy(P0)0,fxy(P0)fyx(P0)2，則（C）（A）點(diǎn)P0是函數(shù)z的極大值點(diǎn)（B）點(diǎn)P0是函數(shù)z的極小值點(diǎn)（C）點(diǎn)P0非函數(shù)z的極值點(diǎn)（D）條件不夠，無(wú)法判定17、函數(shù)f(x,y,z)z2在4x22y2z21條件下的極大值是（C）(A)1(B)0(C)1(D)2二、填空題1、極限limsin(xy)=.答：x0xy2、極限limln(yex2)=.答：ln2x0x2y2y13、函數(shù)zln(xy)的定義域?yàn)?答：xy14、函數(shù)zarcsinx的定義域?yàn)?答：1x1y，y05、設(shè)函數(shù)f(x,y)x2y2xylny，則f(kx,ky)=.答：xk2 f(x,y)6、設(shè)函數(shù)f(x,y)xy，則f(xy,xy)=.答：x2y2xy2x（Qf(xy,xy)(xy)(xy)x2y2）(xy)(xy)2x、設(shè)fxy)ln(1x2y2)x2y21/2，要使f(x,y)處處連續(xù)，則7(,Ax2y21/2A=.答：ln28、設(shè)f(x,y)tan(x2y2)(x,y)(0,0)，要使f(x,y)在（0，0）處連續(xù)，x2y2A(x,y)(0,0)則A=.答：19、函數(shù)zx2y2的間斷點(diǎn)是.答：直線x10上的所有點(diǎn)x110、函數(shù)f(x,y)x212cosy的間斷點(diǎn)為.答：直線yx及yxx011、設(shè)z sin(3x y) y，則 zx

x2_________.答：3cos5y112、設(shè)f(x,y)x2y2，則fy(0,1)=_________.答：1xz33113、設(shè)uxyz，則du(1,2,3)=_________.答：ln2dz(,,)ydxdy881614、設(shè)ux2x，則在極坐標(biāo)系下，u=_________.答：0y2r15、設(shè)uxyy2u=_________.答：2y，則x2x3x16、設(shè)uxlnxy，則2u=___________.答：1xyy17、函數(shù)yy(x)由1x2yy所確定，則dy=___________.答：2xyedxeyx218、設(shè)函數(shù)zz(x,y)由方程xy2zxyz所確定，則z=_______.答：y2xyz11xy219、由方程xyzx2y2z22所確定的函數(shù)zz(x,y)在點(diǎn)（，，－）101處的全微分dz=_________.答：dx2dy20、曲線xt2,y2t,z1t3在點(diǎn)(1,2,1)處的切線方程是_________.33答：x1y2z122321、曲線x2te2t,y3e2t,zt2e2t在對(duì)應(yīng)于t1點(diǎn)處的法平面方程是___________.答：x3y1120e22、曲面xeyy2e2zz3e3x21在點(diǎn)(2,1,0)處的法線方程為_________.y1ze答：x222e2e23、曲面arctany在點(diǎn)(2,1,0)處的切平面方程是_________.答：xz14y2z124、設(shè)函數(shù)zz(x,y)由方程1x23xyy25x5yez2z4確定，則函數(shù)z2的駐點(diǎn)是_________.答：（－1，2）27、函數(shù)z2x23y24x6y1的駐點(diǎn)是_________.答：（1，1）25、若函數(shù)f(x,y)x22xy3y2axby6在點(diǎn)(1,1)處取得極值，則常數(shù)a_________，b_________.答：a0，b426、函數(shù)f(x,y,z)2x2在x2y22z22條件下的極大值是_______答：4三、計(jì)算題1、求下列二元函數(shù)的定義域，并繪出定義域的圖形 .(1)z1x2y2(2)zln(xy)(3)z1(4)zln(xy1)ln(xy)解：(1)要使函數(shù)z1x2y2有意義，必須有1x2y20，即有x2y21.故所求函數(shù)的定義域?yàn)镈{(x,y)|x2y21},圖形為圖(2)要使函數(shù)zln(xy)有意義，必須有xy0.故所有函數(shù)的定義域?yàn)镈(x,y)|xy0，圖形為圖(3)要使函數(shù)z1有意義，必須有l(wèi)n(xy)0，即xy0且ln(xy)x y 1.故該函數(shù)的定義域?yàn)?D (x,y)|x y 0，x y 1，圖形為圖(4)要使函數(shù)zln(xy1)有意義，必須有xy10.故該函數(shù)的定義域?yàn)镈{(x,y)|xy1}，圖形為圖yyx+y=0O1xO1x圖 圖yy1x+y=01y=1/xO1x-1O1xx+y=1-1圖圖2、求極限limysin2x.x0xy11y0解：limysin2xlimysin2x(xy11)=4xyx0xy11x0y0y03、求極限lim1x2y1sin(xy).3y2x0y0x解：原式=limx2ysin(xy)lim1sin(xy)13222x0x(1xy1)x01y1xy2y0yy0x4、求極限limxyex.416xyx0y0解：limxyexlimxyex(416xy)=-8xyx0416xyx0y0y05、設(shè)uxsinyycosx，求ux,uy.解：uxsinyysinxuyxcosycosx6、設(shè)zxeyyex，求zx,zy.解：zxeyyexzyxeyex7、設(shè)函數(shù)zz(x,y)由yzzxxy3所確定，試求z,z（其中xy0）.xy解一：原式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得yzxzzy0，則zzy同理可得：zzxxxxyxyyx解二：zFxzy,zFyzxxFyyxyFxyx8、求函數(shù)z2x23xy2y24x3y1的極值.解：由zx4x3y4010,)zy3x4y3，得駐點(diǎn)(0Dzxxzxy43zyxzyy3470zxx9、設(shè)z

40，函數(shù)z在點(diǎn)(10,)處取極小值z(mì)(1,0)1.e3x2y，而xcost,yt2，求dz.dt解：

dzdt

3e3x2y(sint)2e3x2y(2t)(3sint4t)e3x2yxzz10、設(shè)z

yln(xy)，求,.xy解：zxyxlnylnxy1yxzyxyx1ln(xy)1yxxy11、設(shè)uaxyzlnxa(a0)，求du.解：uaxyzlnaax1，uaxyzzlna，uyaxyzlnaxyzdu (axyzlna ax1)dx axyzlna(zdy ydz)12、求函數(shù)zln(x2y2exy)的全微分.解：z2xyexy,z2yxexyxx2y2exyyx2y2xyedz1xy(2xyexy)dx(2yxexy)dyx2y2e四、應(yīng)用題1、要造一容積為 128立方米的長(zhǎng)方體敞口水池，已知水池側(cè)壁的單位造價(jià)是底部的2倍，問(wèn)水池的尺寸應(yīng)如何選擇，方能使其造價(jià)最低？解：設(shè)水池的長(zhǎng)、寬、高分別為 x,y,z米.水池底部的單位造價(jià)為 a.則水池造價(jià)S xy 4xz 4yzaxyz128令Lxy4xz4yzxyz128Lxy4zyz0由Lyx4zxz0Lz4x4yxy0Lxyz1280得xy8z2由于實(shí)際問(wèn)題必定存在最小值，因此當(dāng)水池的長(zhǎng)、寬、高分別為8米、8米、2米時(shí)，其造價(jià)最低.2、某工廠生產(chǎn)兩種商品的日產(chǎn)量分別為x和y（件），總成本函數(shù)C(x,y)8x2xy12y2（元）.商品的限額為xy42，求最小成本.解：約束條件為(x,y)xy420，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x,y,)8x2xy12y2(xy42)，F(xiàn)x16xy0解方程組Fyx24y0，得唯一駐點(diǎn)(x,y)(25,17)，F(xiàn)xy420由實(shí)際情況知，(x,y) (25,17)就是使總成本最小的點(diǎn)，最小成本為C(25,17) 8043（元）.3、某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，出售單價(jià)分別為 10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品甲與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品乙的總費(fèi)用是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)元，求取得最大利潤(rùn)時(shí)，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？解：L(x,y)表示獲得的總利潤(rùn)，則總利潤(rùn)等于總收益與總費(fèi)用之差，即有利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)L(x,y)(10x9y)[4002x3y0.01(3x2xy3y2)]8