七年級數(shù)學(xué)下冊同步學(xué)與練（浙教版）第06講 平行線中的四大基本模型（4類題型+20道拓展培優(yōu)題）（原卷版）

第06講平行線中的四大基本模型（4類題型+20道拓展培優(yōu)題）【題型目錄】題型一平行線基本模型之M模型題型二平行線四大模型之鉛筆模型題型三平行線四大模型之“雞翅”模型題型四平行線四大模型之“骨折”模型【經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型】【結(jié)論1】若AB∥CD，則∠B0C=∠B+∠C【結(jié)論2】若∠BOC=∠B+∠C，則AB∥CD.【結(jié)論3】如圖所示，AB∥EF，則∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和結(jié)論3的模型也稱為鋸齒模型；鋸齒模型的變換解題思路拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯角拆分成2個豬蹄模型【例1】（2023下·福建莆田·七年級校聯(lián)考期中）如圖，，則滿足的數(shù)量關(guān)系為（

）

A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，已知：，，求證：．在證明該結(jié)論時，需添加輔助線，則以下關(guān)于輔助線的作法不正確的是（

）

A．延長交的延長線于點B．連接C．分別作，的平分線，D．過點作（點在點左側(cè)），過點作（點在點左側(cè)）2．（2023下·山東泰安·六年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，為平面內(nèi)一點，連接，．則、、之間的等量關(guān)系為．

3．（2023下·山東聊城·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線，、和、分別交于點、、、，點在直線或上且不與點、、、重合．記，，．

(1)若點在圖（1）位置時，求證：；(2)若點在圖（2）位置時，寫出、、之間的關(guān)系并給予證明．【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】【結(jié)論1】如圖所示，AB∥CD，則∠B+∠BOC+∠C=360°【結(jié)論2】如圖所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，則AB∥CD.變異的鉛筆頭：拐點數(shù)n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐點數(shù)：1拐點數(shù)：2拐點數(shù)：n【例2】（2023下·山東德州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，則下列說法中一定正確的是

A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1、（2023下·甘肅白銀·七年級?？计谥校┤鐖D1是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸．如圖2是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知，，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2、（2023下·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，射線，分別與，交于點M，N，若，則的度數(shù)是．

3、（2023下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級統(tǒng)考期中）探究題(1)如下圖，，，．求度數(shù)；

(2)如下圖，，點在射線上運動，，．

①當(dāng)點P在A，B兩點之間運動時，，，之間的數(shù)量關(guān)系為__________②當(dāng)點P在A，B兩點外側(cè)運動時(點P與點A，B，O三點不重合)，請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】【例3】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點在直線上，則．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓(xùn)練】1、（2023秋·八年級課時練習(xí)）（1）已知：如圖（a），直線．求證：；（2）如圖（b），如果點C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？2、（2023春·廣東東莞·七年級東莞市光明中學(xué)校考期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．3、（2023·全國·七年級假期作業(yè)）已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點，點為上一點，連接，若的平分線交線段于點，連接，若，過點作交的延長線于點，且，求的度數(shù)．【經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】【例4】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．【變式訓(xùn)練】1、（2023春·湖北黃岡·七年級校考期中）如圖，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____．2、（2023春·江蘇鹽城·七年級景山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______3、（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．【拓展培優(yōu)】1．（2024上·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學(xué)校考期末）如圖，，，，則可以表示為（

）A． B． C． D．2．（2022下·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，設(shè)，，則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．與沒有數(shù)量關(guān)系3．（2022下·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期中）如圖，若，則、、之間關(guān)系是（

）

A． B．C． D．4．（2023下·江蘇泰州·七年級泰州市第二中學(xué)附屬初中校考階段練習(xí)）如圖，已知和分別平分和，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2023下·廣東深圳·七年級?？计谥校┤鐖D，E在線段的延長線上，，連交于G，的余角比大，K為線段上一點，連，使，在內(nèi)部有射線，平分．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2023下·重慶北碚·七年級西南大學(xué)附中校考期中）如圖，已知分別為的角平分線，，則下列說法正確的有（

）個．①②③平分④A．4 B．3 C．2 D．17．（2021下·重慶九龍坡·七年級重慶市楊家坪中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，點E在上，點G，F(xiàn)，I在，之間，且平分，平分，．若，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．8．（2022下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，于點，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．9．（2023下·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖一，，，，則．（2）如圖二，，，，，分別平分和，則，滿足的數(shù)量關(guān)系為．

10．（2023下·湖北武漢·七年級校考階段練習(xí)）如圖，，點，在直線上（在的左側(cè)），點在直線上，，垂足為，為線段上的一動點，連接，，與的角平分線交于點，且點在直線，之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①；

②；③若，則；④若，則，其中為正整數(shù)．上述說法正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）．

11．（2022上·廣東廣州·八年級廣州市黃埔軍校紀(jì)念中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖①所示，四邊形為一張長方形紙片．如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（、、），則（度）；

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（、、、），則（度）；（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（、、、、），則（度）；（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是（度）．12．（2022下·四川成都·七年級四川省成都市七中育才學(xué)校校考期末）已知直線，射線、分別平分，，兩射線反向延長線交于點，請寫出，之間的數(shù)量關(guān)系：．13．（2021下·上海浦東新·七年級期中）如圖，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的補角，則∠BAH的度數(shù)是．14．（2021下·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期中）已知，點、分別為、上的點，點、、為、內(nèi)部的點，連接、、、、、，于，，，平分，平分，則（小于平角）的度數(shù)為．15．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）已知：直線與直線內(nèi)部有一個點，連接．(1)如圖，當(dāng)點在直線上，連接，若，求證：；(2)如圖，當(dāng)點在直線與直線的內(nèi)部，點在直線上，連接，若，求證：；(3)如圖，在（）的條件下，、分別是、的角平分線，和相交于點G，和直線相交于點，當(dāng)時，若，，求的度數(shù)．16．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）已知，，直線交于點，交于點，點在線段上，過作射線、分別交直線、于點、．(1)如圖，當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)如圖，若和的角平分線交于點，求和的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖，在（）的基礎(chǔ)上，當(dāng)，且，時，射線繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動時間為秒，當(dāng)射線與的一邊互相平行時，請直接寫出的值．17．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，，點、點分別在線段上．

(1)如圖1，點在直線之間，求證．(2)如圖2，分別過點和點作直線，使，以點為頂點作直角，并且的兩邊分別與直線交于點和點，則____________．（直接寫出角度和）(3)如圖3，在（2）的條件下，若和恰好分別平分和，并且，求的度數(shù)．18．（2022下·湖南長沙·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，，為、之間一點．(1)若平分，平分．求證：；(2)如圖2，若，，且的延長線交的角平分線于點，的延長線交的角平分線于點，猜想的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若點是射線之間一動點，平分，平分，過點作于點，請猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．19．（2022下·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）已知．

知識回顧（1）如圖，點在兩平行線之間，試說明：．知識應(yīng)用（2）如圖，、分別平分、，利用中的結(jié)論，試說明：；（3）如圖，直接寫出、、、四個角之間的數(shù)量關(guān)系．知識拓展（4）如圖，若，，、分別平分、，那么______；只要直接填上正確結(jié)論即可（5）如圖，若、、三個角的和是，、分別平分、，那么______用含的式子表示20．（2023下·河北石家莊·七年級校考期中）【問題解決】如圖①，，點是，內(nèi)部一點，連接，．若，，求的度數(shù)；嘉琪想到了如圖②所示的方法，請你幫她將完整的求解過程補充完整；解：過點作（________________），（已知）（________________）（________）（_______