2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí) 第十九講 導(dǎo)數(shù)綜合五大考向 專項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第十九講-導(dǎo)數(shù)綜合（五大考向)-專項(xiàng)訓(xùn)練一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考中，導(dǎo)數(shù)是必考內(nèi)容。難度、廣度和深度較大。常規(guī)基礎(chǔ)考查求導(dǎo)公式與幾何意義；中等難度考查求單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；壓軸題考查零點(diǎn)、不等式證明、恒成立或者存在問題、分類討論求參數(shù)等，和數(shù)列、不等式、函數(shù)等知識(shí)結(jié)合。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值2022·新高考Ⅰ卷，22（1）2024·新高考Ⅰ卷，18（1）2024·新高考Ⅰ卷，18（3）2022·新高考Ⅱ卷，22（2）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)2022·新高考Ⅰ卷，22（2）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性2023·新高考Ⅰ卷，19（1）2022·新高考Ⅱ卷，22（1）導(dǎo)數(shù)與不等式證明2023·新高考Ⅰ卷，19（2）2022·新高考Ⅱ卷，22（3）2023·新高考Ⅱ卷，22（1）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值2023·新高考Ⅱ卷，22（2）2024·新高考Ⅱ卷，16（2）二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了導(dǎo)數(shù)中函數(shù)最值、函數(shù)的對(duì)稱性、恒成立問題的綜合運(yùn)用，難度較難。Ⅱ卷考查了曲線的切線和函數(shù)的極值求參數(shù)，常規(guī)考查，難度適中。導(dǎo)數(shù)的高頻考點(diǎn)有：含參函數(shù)的參數(shù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響；用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值；求曲線切線的方程；函數(shù)的零點(diǎn)討論；函數(shù)的圖像與函數(shù)的奇偶性結(jié)合考查等。導(dǎo)數(shù)中頻考點(diǎn)有：用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；利用函數(shù)證明不等式或求不等式的解；求參數(shù)的取值范圍等。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查導(dǎo)數(shù)與切線及恒成立、求參問題。三：試題精講一、解答題1．（2024新高考Ⅰ卷·18）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．2．（2024新高考Ⅱ卷·16）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．高考真題練一、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·22）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．2．（2023新高考Ⅰ卷·19）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．3．（2022新高考Ⅱ卷·22）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．4．（2023新高考Ⅱ卷·22）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、恒成立和有解問題思路一覽設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榛?，或或中之一種，則①若恒成立（即無解），則；②若恒成立（即無解），則；③若有解（即存在使得成立），則；④若有解（即存在使得成立），則；⑤若有解（即無解），則；⑥若無解（即有解），則．【說明】（1）一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法．（2）取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān)，另外要注意①②③④中前后等號(hào)的取舍！（即端點(diǎn)值的取舍）二、分離參數(shù)的方法①常規(guī)法分離參數(shù)：如；②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；【當(dāng)?shù)闹涤锌赡苋〉?，而的值一定不?時(shí)，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】③討論法分離參數(shù)：如:④整體法分離參數(shù)：如； ⑤不完全分離參數(shù)法：如；⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．【注意】（1）分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法（大多數(shù)題可以使用此方法）．但如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后，問題反而變得更復(fù)雜，則不分離參數(shù)，此時(shí)就用含參轉(zhuǎn)化法．（2）恒成立命題對(duì)自變量的范圍有時(shí)有一部分或端點(diǎn)是必然成立的，應(yīng)該考慮先去掉這一部分或端點(diǎn)，再分離參數(shù)求解．【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題．】三、其他恒成立類型一①在上是增函數(shù)，則恒成立．(等號(hào)不能漏掉)．②在上是減函數(shù)，則恒成立．(等號(hào)不能漏掉)．③在上是單調(diào)函數(shù)，則分上述兩種情形討論；(常用方法)四、其他恒成立類型二①，使得方程成立．②，使得方程成．五、其他恒成立類型三①，；②，；③，；④，．六、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題思路利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.七、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題技巧求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，下面是常見函數(shù)的變形模型1.對(duì)于，構(gòu)造模型2.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù).模型3.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型4.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型5.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型6.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型7.對(duì)于，分類討論：（1）若，則構(gòu)造（2）若，則構(gòu)造模型8.對(duì)于，構(gòu)造.模型9.對(duì)于，構(gòu)造.模型10.（1）對(duì)于，即，構(gòu)造．對(duì)于，構(gòu)造．模型11.（1）（2）名校模擬練一、解答題1．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線在點(diǎn)處的切線與二次曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．2．（2024·河北張家口·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：．3．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值．4．（2024·山西呂梁·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，使恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2024·廣西欽州·三模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，證明：在上有3個(gè)零點(diǎn).6．（2024·天津河西·三模）已知函數(shù)，，其中．(1)若，求實(shí)數(shù)a的值(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．7．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：．(2)若函數(shù)，試問：函數(shù)是否存在極小值？若存在，求出極小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有相同的最大值，求的值.9．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求.10．（2024·北京·三模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：．（且）11．（2024·四川自貢·三模）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)在上的零點(diǎn)為．證明：．12．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)①求證：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，設(shè)的極值點(diǎn)為，若.求證：13．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．14．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)；（ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ⅱ）求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出a的一個(gè)值，使得不是的極值點(diǎn)，并證明.15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若的最小值為0，(1)求的值;(2)若，證明:存在唯一的極大值點(diǎn)，且.16．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：．17．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，滿足.（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：.18．（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜截式方程；(2)當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的所有零點(diǎn)；(3)證明：.19．（2024·北京順義·三模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在極小值；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).20．（2024·廣東茂名·一模）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）.(1)當(dāng)時(shí)，求的最值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，，都有.22．（2024·新疆·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.23．（2024·北京·三模）已知在處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：僅有一個(gè)極值點(diǎn)，且．(3)若，是否存在使得恒成立，存在請(qǐng)求出的取值范圍，不存在請(qǐng)說明理由參考答案與詳細(xì)解析一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考中，導(dǎo)數(shù)是必考內(nèi)容。難度、廣度和深度較大。常規(guī)基礎(chǔ)考查求導(dǎo)公式與幾何意義；中等難度考查求單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；壓軸題考查零點(diǎn)、不等式證明、恒成立或者存在問題、分類討論求參數(shù)等，和數(shù)列、不等式、函數(shù)等知識(shí)結(jié)合。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值2022·新高考Ⅰ卷，22（1）2024·新高考Ⅰ卷，18（1）2024·新高考Ⅰ卷，18（3）2022·新高考Ⅱ卷，22（2）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)2022·新高考Ⅰ卷，22（2）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性2023·新高考Ⅰ卷，19（1）2022·新高考Ⅱ卷，22（1）導(dǎo)數(shù)與不等式證明2023·新高考Ⅰ卷，19（2）2022·新高考Ⅱ卷，22（3）2023·新高考Ⅱ卷，22（1）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值2023·新高考Ⅱ卷，22（2）2024·新高考Ⅱ卷，16（2）二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了導(dǎo)數(shù)中函數(shù)最值、函數(shù)的對(duì)稱性、恒成立問題的綜合運(yùn)用，難度較難。Ⅱ卷考查了曲線的切線和函數(shù)的極值求參數(shù)，常規(guī)考查，難度適中。導(dǎo)數(shù)的高頻考點(diǎn)有：含參函數(shù)的參數(shù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響；用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值；求曲線切線的方程；函數(shù)的零點(diǎn)討論；函數(shù)的圖像與函數(shù)的奇偶性結(jié)合考查等。導(dǎo)數(shù)中頻考點(diǎn)有：用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。焕煤瘮?shù)證明不等式或求不等式的解；求參數(shù)的取值范圍等。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查導(dǎo)數(shù)與切線及恒成立、求參問題。三：試題精講一、解答題1．（2024新高考Ⅰ卷·18）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）求出后根據(jù)可求的最小值；（2）設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，可證關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為也在函數(shù)的圖像上，從而可證對(duì)稱性；（3）根據(jù)題設(shè)可判斷即，再根據(jù)在上恒成立可求得.【詳解】（1）時(shí)，，其中，則，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，而成立，故即，所以的最小值為.，（2）的定義域?yàn)?，設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵趫D象上，故，而，，所以也在圖象上，由的任意性可得圖象為中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為.（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個(gè)解，所以即，先考慮時(shí)，恒成立.此時(shí)即為在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；綜上，在上恒成立時(shí).而當(dāng)時(shí)，而時(shí)，由上述過程可得在遞增，故的解為，即的解為.綜上，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一個(gè)函數(shù)不等式成立的充分必要條件就是函數(shù)不等式對(duì)應(yīng)的解，而解的端點(diǎn)為函數(shù)對(duì)一個(gè)方程的根或定義域的端點(diǎn)，另外，根據(jù)函數(shù)不等式的解確定參數(shù)范圍時(shí)，可先由恒成立得到參數(shù)的范圍，再根據(jù)得到的參數(shù)的范圍重新考慮不等式的解的情況.2．（2024新高考Ⅱ卷·16）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）解法一：求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知有零點(diǎn)，可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若，則對(duì)任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為.高考真題練一、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·22）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時(shí)，的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)?，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.2．（2023新高考Ⅰ卷·19）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.3．（2022新高考Ⅱ卷·22）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.4．（2023新高考Ⅱ卷·22）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，令因?yàn)?，且，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對(duì)恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，且，則，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮；2.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、恒成立和有解問題思路一覽設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榛?，或或中之一種，則①若恒成立（即無解），則；②若恒成立（即無解），則；③若有解（即存在使得成立），則；④若有解（即存在使得成立），則；⑤若有解（即無解），則；⑥若無解（即有解），則．【說明】（1）一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法．（2）取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān)，另外要注意①②③④中前后等號(hào)的取舍！（即端點(diǎn)值的取舍）二、分離參數(shù)的方法①常規(guī)法分離參數(shù)：如；②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；【當(dāng)?shù)闹涤锌赡苋〉?，而的值一定不?時(shí)，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】③討論法分離參數(shù)：如:④整體法分離參數(shù)：如； ⑤不完全分離參數(shù)法：如；⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．【注意】（1）分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法（大多數(shù)題可以使用此方法）．但如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后，問題反而變得更復(fù)雜，則不分離參數(shù)，此時(shí)就用含參轉(zhuǎn)化法．（2）恒成立命題對(duì)自變量的范圍有時(shí)有一部分或端點(diǎn)是必然成立的，應(yīng)該考慮先去掉這一部分或端點(diǎn)，再分離參數(shù)求解．【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題．】三、其他恒成立類型一①在上是增函數(shù)，則恒成立．(等號(hào)不能漏掉)．②在上是減函數(shù)，則恒成立．(等號(hào)不能漏掉)．③在上是單調(diào)函數(shù)，則分上述兩種情形討論；(常用方法)四、其他恒成立類型二①，使得方程成立．②，使得方程成．五、其他恒成立類型三①，；②，；③，；④，．六、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題思路利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.七、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題技巧求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，下面是常見函數(shù)的變形模型1.對(duì)于，構(gòu)造模型2.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù).模型3.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型4.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型5.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型6.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型7.對(duì)于，分類討論：（1）若，則構(gòu)造（2）若，則構(gòu)造模型8.對(duì)于，構(gòu)造.模型9.對(duì)于，構(gòu)造.模型10.（1）對(duì)于，即，構(gòu)造．對(duì)于，構(gòu)造．模型11.（1）（2）名校模擬練一、解答題1．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線在點(diǎn)處的切線與二次曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間：，單調(diào)減區(qū)間：．(2)或．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求出函數(shù)的切線方程，與曲線聯(lián)立方程，分析得出結(jié)論.【詳解】（1）易知定義域?yàn)镽，，所以，，，．故單調(diào)增區(qū)間：，單調(diào)減區(qū)間：．（2）因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線為把切線方程代入二次曲線方程，得有唯一解，即且，即解得或．2．（2024·河北張家口·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：．【答案】(1)；(2)證明見詳解.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求斜率，由解析式求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后可得切線方程；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，令，求導(dǎo)，利用零點(diǎn)存在性定理判斷極值點(diǎn)，利用隱零點(diǎn)方程化簡(jiǎn)極小值可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得證.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，所以切線方程為，即.（2），令，則，因?yàn)?，所以存在，使得，即，易知在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值：，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.3．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值．【答案】(1)答案見詳解(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)與分類討論即可得；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】（1）（），當(dāng)時(shí)，由于，所以恒成立，從而在上遞增；當(dāng)時(shí)，，；，，從而在上遞增，在遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，若，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，解得：，可知的最小值為；若，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)無最大值，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，不合題意；綜上所述：的最小值為.4．（2024·山西呂梁·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，使恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由，定義域?yàn)?，求?dǎo)，令，討論當(dāng)取不同的值時(shí)的正負(fù)情況，即可得到的單調(diào)性；（2）法一：由可化為，令，討論取正、負(fù)、零時(shí)恒成立，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；法二：由可得，令，即恒成立，由，則令，則恒成立，討論取正、負(fù)、零時(shí)的單調(diào)情況，得到極值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，又，，?dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令，解得其中，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上：在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）法一：不妨設(shè)，則，同除以得，所以令，當(dāng)時(shí)，恒成立，，若恒成立，符合題意，，當(dāng)恒成立，令則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，，若，同理恒成立，由知，當(dāng)所以不存在滿足條件的.綜上所述：.法二：.令，則只需在單調(diào)遞增，即恒成立，，令，則恒成立；又，①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增成立；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，又，故不恒成立.不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，由得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得，綜上，.5．（2024·廣西欽州·三模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，證明：在上有3個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)求出、，再由直線的點(diǎn)斜式方程可得答案；（2）得0是的一個(gè)零點(diǎn)，再判斷出為奇函數(shù)，只需要證明在上有1個(gè)零點(diǎn)即可，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上的單調(diào)性，結(jié)合可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2）因?yàn)椋?是的一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，要證在上有3個(gè)零點(diǎn)，只需要證明在上有1個(gè)零點(diǎn)，，令函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以存在，使得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上?個(gè)零點(diǎn)，故在上有3個(gè)零點(diǎn).6．（2024·天津河西·三模）已知函數(shù)，，其中．(1)若，求實(shí)數(shù)a的值(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)可得，由代入計(jì)算，即可求解；（2）求導(dǎo)可得，然后分討論，即可求解；（3）根據(jù)題意，由分離參數(shù)可得，然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得最值即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，則，由可得，解得.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，令，可得或，①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意的，，的單調(diào)遞增區(qū)間為．②當(dāng)，即時(shí)，，得或，，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為③當(dāng)，即時(shí)，得或；，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上所述，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.（3）由，可得，即，其中，令，，若存在，不等式成立，則，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)在端點(diǎn)或處取得最小值．因?yàn)?，，所以，所以，所以，因此，?shí)數(shù)的取值范圍是．7．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：．(2)若函數(shù)，試問：函數(shù)是否存在極小值？若存在，求出極小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；極小值為0．【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得證；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）證明：函數(shù)定義域?yàn)?令，則，當(dāng)時(shí)，，且，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，故得證.（2）由題意，則，令，則當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，又，故，使得，所以當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為.故存在，極小值為0.8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有相同的最大值，求的值.【答案】(1)答案見解析(2)1【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，即可.（2）先對(duì)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，求出最大值，與的最大值建立等量關(guān)系，求出即可【詳解】（1）解

①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.

.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，

,易知單調(diào)遞減，令，，當(dāng)時(shí)，0，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值依題意，有，所以令則

由的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最大值0，即,從而可得因此在上單調(diào)遞減，又,所以，.9．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求.【答案】(1)極小值，無極大值；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合幾何意義求出，再分析單調(diào)性求出極值.（2）由函數(shù)零點(diǎn)的意義，等價(jià)變形得在只有一解，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，，依題意，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.（2）函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，則函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)在只有一解，即在只有一解，于是曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在取得極小值同時(shí)也是最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，畫山大致的圖象，如圖，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，所以在只有一個(gè)零點(diǎn)吋，.10．（2024·北京·三模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：．（且）【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．(2)(3)證明見解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo),再根據(jù)的正負(fù)分類討論單調(diào)性即可;（2）若恒成立，即，根據(jù)（1）中的單調(diào)性求出其最大值即可列式求解.（3）由（2）知當(dāng)時(shí),有在恒成立，令,即可推出，再對(duì)不等式兩邊累加求和,即可推出結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋贂r(shí)，，的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；③時(shí)，令得；令得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（2）由（1）知，時(shí)，在上遞增，，不合題意，故只考慮的情況，由（1）知即綜上，的取值范圍為．（3）由（2）知：當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以當(dāng)恒成立，令，進(jìn)而，即，．所以．（且）即．（且）【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．11．（2024·四川自貢·三模）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)在上的零點(diǎn)為．證明：．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）法一：由已知導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)可得的范圍，再令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，利用不等式放縮即可求解.法二：，設(shè)新函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理得，再證明單調(diào)性即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）法一：由（1）可知若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則，即，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上存在唯一零點(diǎn)，所以，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，故，所以，又，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以.法二：因?yàn)?，由?）可知若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則，即，設(shè)，而在上單調(diào)遞增，所以，，所以在上單調(diào)遞增，又，令，所以在上單調(diào)遞增，所以，而，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．12．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)①求證：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，設(shè)的極值點(diǎn)為，若.求證：【答案】(1)(2)①證明見解析②證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性，可得出函數(shù)單調(diào)性，即可求最值；（2）①求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性判斷導(dǎo)數(shù)只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)即可；②作差后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最小值0即可得證.【詳解】（1），令，當(dāng)時(shí)，，，，故在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.（2）由（1）知，，，故在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，，存在唯一的變號(hào)零點(diǎn)，即有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).②由①知：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)且，則當(dāng)時(shí)，，由①知：，要證，只需證：，而，那么，令，則，設(shè)，則，又，所以，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，，在上單調(diào)遞增，，綜上所述，時(shí)，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的第二小問，首先需要對(duì)要證結(jié)論變形，再構(gòu)造函數(shù)，利用，轉(zhuǎn)化為證明，本題第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于需要多次求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)值不小于0，直到得出單調(diào)遞增，再由單調(diào)性得出結(jié)論，過程繁雜，極易出錯(cuò).13．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)數(shù)不等式即可得到的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，要證明，即轉(zhuǎn)化為求證，即證明令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究在的單調(diào)性即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?，令，解得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2），由題意可知，是方程的兩根，則，解得，所以，，要證，即證，只需證，需證令，則需證，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，因此由得，，所以，故得證,【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．14．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)；（ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ⅱ）求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出a的一個(gè)值，使得不是的極值點(diǎn)，并證明.【答案】(1)（?。?（ⅱ）在有2個(gè)零點(diǎn);(2),證明見下文【分析】(1)先求導(dǎo)，在導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，再去出切點(diǎn)，代入點(diǎn)斜式方程即可，判斷零點(diǎn)，求導(dǎo)，研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分析出原函數(shù)的單調(diào)性，判斷區(qū)間端的的正負(fù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)不難發(fā)現(xiàn)，如果不是的極值點(diǎn)，則在左右兩側(cè)必須同號(hào)，所以不可能在增區(qū)間或者減區(qū)間里，因此的導(dǎo)數(shù)在只能為零，所以，然后再利用單調(diào)性證明不是的極值點(diǎn)即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，（ⅰ），，，切線方程：，所以；（ⅱ），當(dāng)，，所以，即在單調(diào)遞減.令，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減；又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即在單調(diào)遞增；因此：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，；，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在有唯一零點(diǎn)；令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，即，所以，所以，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在有唯一零點(diǎn).綜上，在有2個(gè)零點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，不是的極值點(diǎn)，證明如下：當(dāng)時(shí)，，，令，，令，因?yàn)?，所以，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，即單調(diào)遞增；再因?yàn)?，所以，即，所以在單調(diào)遞增，所以在無極值點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，不是的極值點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第一問考查求切線方程，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，主要方法：先利用函數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求導(dǎo)，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率即函數(shù)在切線方程為：；零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題主要方法有：研究函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；第二問考查求極值點(diǎn)問題，常見方法有：求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零求出根，導(dǎo)數(shù)在的左右兩側(cè)函數(shù)值必須異號(hào)，左正右負(fù)為極大值點(diǎn)，左負(fù)右正為極小值點(diǎn).15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若的最小值為0，(1)求的值;(2)若，證明:存在唯一的極大值點(diǎn)，且.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分和兩種情況討論求解即可；（2）令，求導(dǎo)后可得在遞減，遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得在存在唯一的使得，在存在唯一的零點(diǎn)，從而得是唯一的極大值點(diǎn).【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，則沒有最小值，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得最小值，得成立，下面證為唯一解，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以方程有且只有唯一解，綜上，；（2）證明:由（1）知，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，上遞增，因?yàn)?，所以在存在唯一的使得，在存在唯一的零點(diǎn)，所以當(dāng)或時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，即是唯一的極大值點(diǎn)，，由，得，所以，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的單調(diào)性，考零點(diǎn)存在性定理，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，第（2）問解題的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定出函數(shù)極值點(diǎn)的范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.16．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：．【答案】(1)極小值為1，無極大值.(2)(3)答案見解析.【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.（2）分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即可.（3）利用（2）的結(jié)論可得，再利用賦值法結(jié)合數(shù)列求和即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值.（2）因?yàn)楹愠闪ⅲ茫?，令，，求?dǎo)的，當(dāng),,當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此，則a≤?1e，所以的取值范圍a≤?1（3）證明：由（2）知，時(shí)，即，于是，，，，因此所以.17．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，滿足.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：.【答案】(1)單增區(qū)間為，單減區(qū)間為(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）（i）由題設(shè)及零點(diǎn)存在定理列不等式組求解即可；（ii）按照和分類討論，若時(shí)，設(shè)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得則在內(nèi)有兩零點(diǎn)和，根據(jù)正弦函數(shù)對(duì)稱性可知，然后證明成立即可.【詳解】（1）由得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故單增區(qū)間為單減區(qū)間為.（2）（i）由題設(shè)及零點(diǎn)存在定理可知，且有，且，所以，所以，即.（ii）若時(shí)，則；若時(shí)，設(shè)，有，且，則在內(nèi)有兩零點(diǎn)和，其中，而關(guān)于對(duì)稱，且有.由在單增，知，有，由在單減，知，有，則，即.綜上，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解.18．（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜截式方程；(2)當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的所有零點(diǎn)；(3)證明：.【答案】(1)；(2)有唯一零點(diǎn)；(3)證明見解析.【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）把代入，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，求出函數(shù)最小值即得.（3）對(duì)所證不等式作等價(jià)變形得，再構(gòu)造函數(shù)依次證明即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，又，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以切線的斜截式方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令，，則，則在單調(diào)遞增，而，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn).（3）不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，則，即，因此，，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，，因此，又，從而，所以原不等式得證.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.19．（2024·北京順義·三模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在極小值；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.（2）討論函數(shù)在區(qū)間和上的符號(hào)即可推理作答.（3）在時(shí)，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再探討在上的零點(diǎn)情況即可作答.【詳解】（1）由函數(shù)求導(dǎo)得：，所以，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）知，，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，，，所以，有，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時(shí)，，，，則有，函數(shù)在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極小值.（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，，顯然是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的解，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，，，所以，有，在，上都遞減，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上遞增，在上遞減，，所以，，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減，取值集合為，在上遞減，取值集合為，所以，當(dāng)或時(shí)，方程有唯一解，當(dāng)或時(shí)，此方程無解，所以，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.20．（2024·廣東茂名·一模）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）構(gòu)建函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求解實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）分離參數(shù)，令，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在指定區(qū)間的最值，即得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以不等式轉(zhuǎn)化為，在上恒成立.令，所以.當(dāng)時(shí)，恒成立.若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，故，符合題意；若，令函數(shù)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，.所以，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，不符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）因?yàn)椋?，即，所?令，，則.令，得.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，即當(dāng)時(shí)，取得極小值.又因?yàn)?，，所?所以.當(dāng)取得極大值，即當(dāng)時(shí)，取得極大值.又因?yàn)?，，所?所以，所以當(dāng)，.所以.又因?yàn)?，所以時(shí)，在上存在零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本